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上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


上海市嘉定区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每题填对得 3 分,否则一律得 零分. 1. (3 分)函数 的定义域是.

2. (3 分)函数 y=x

﹣2

的单调增区间是.

3. (3 分)

已知 lg2=a,lg3=b,试用 a,b 表示 lg6=. 4. (3 分)若函数 f(x)=(a﹣1) 是指数函数,则实数 a 的取值范围是. 5. (3 分)若函数 f(x)= (x>0)是减函数,则实数 m 的取值范围是.
x

6. (3 分)已知函数 f(x)= 7. (3 分)若函数 f(x)=x +
2

(x≥0) ,记 y=f (x)为其反函数,则 f (2)=. (a 是常数)是偶函数,则 a=.

﹣1

﹣1

8. (3 分)已知函数 y=x ﹣2ax 在区间上的最大值比最小值大 ,则 a= .

2

11. (3 分)若函数

在区间(a,b)上的值域是(2,+∞) ,则 logab=.

12. (3 分)若函数 y=|a ﹣1|(a>0,且 a≠1)的图象与函数 y= 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是.

x

二.选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)下列四组函数中,函数 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是() A. C. f(x)=x ,g(x)=1
0

B. D.

14. (3 分)函数 f(x)= A.是奇函数 C. 是非奇非偶函数

() B. 是偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数

15. (3 分)若关于 x 的方程 2 =a 有负实数根,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.(﹣∞,0)∪(0,+∞) C. D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

x

2

(﹣1,0)∪(0,1)

16. (3 分)已知函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x)<f(x+1) ,则 f(x)在 R 上() A.是单调增函数 B. 没有单调减区间 C. 可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间

三.解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (8 分)已知集合
2

,集合 B={x||x﹣1|≤4},求 A∩B.
a+2

18. (10 分)已知函数 f(x)=(a ﹣a+1)x 为幂函数,且为奇函数,设函数 g(x)=f(x)+x. (1)求实数 a 的值及函数 g(x)的零点; (2)是否存在自然数 n,使 g(n)=900?若存在,请求出 n 的值;若不存在,请说明理由. 19. (12 分)某科技公司生产一种产品的固定成本是 20000 元,每生产一台产品需要增加投入 100 元.已 知年总收益 R(元)与年产量 x(台)的关系式是 R(x)= (1)把该科技公司的年利润 y(元)表示为年产量 x(台)的函数; (2)当年产量为多少台时,该科技公司所获得的年利润最大?最大年利润为多少元?(注:利润=总收益 ﹣总成本) 20. (10 分)已知函数 f(x)=k?2 +2 (k 是常数) . (1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数,求 k 的值; (2)若对于任意 x∈,不等式 f(x)<1 都成立,求 k 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)= ﹣ (x∈(0,+∞) ) . (1)求证:函数 f(x)是增函数; (2)若函数 f(x)在上的值域是(0<a<b) ,求实数 m 的取值范围; (3)若存在 x∈(1,+∞) ,使不等式 f(x﹣1)>4x 成立,求实数 m 的取值范围.
x
﹣x

上海市嘉定区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每题填对得 3 分,否则一律得 零分.

1. (3 分)函数

的定义域是{x|x≥﹣1,且 x≠0}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 要求函数的定义域,就是求使函数有意义的 x 的取值范围,因为函数解析式中有分式,所以分母 不等于 0,又因为有二次根式,所以被开放数大于等于 0,最后两个范围求交集即可. 解答: 解:要使函数 有意义,需满足

解不等式组,得 x≥﹣1,且 x≠0 ∴函数的定义域为{x|x≥﹣1,且 x≠0} 故答案为{x|x≥﹣1,且 x≠0} 点评: 本题主 要考查已知函数解析式求定义域,关键是判断函数解析式何时成立. 2. (3 分)函数 y=x
﹣2

的单调增区间是(﹣∞,0) .

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关 系进行求解即可. 解答: 解:函数 y=x 为偶函数,在(0,+∞)内为减函数, 则在(﹣∞,0)内为 增函数, 故函数的增区间为(﹣∞,0) , 故答案为: (﹣∞,0) 点评: 本题主要考查函数单调区间的求解,根据幂函数的性质是解决本题的关键. 3. (3 分)已知 lg2=a,lg3=b,试用 a,b 表示 lg6=a+b. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg(2×3)=lg2+lg3,再把已知条件代入求得结果. 解答: 解:原式=lg(2×3)=lg2+lg3=a+b. 故答案为:a+b. 点评: 本题主要考查对数的运算性质,属于基础题. 4. (3 分)若函数 f(x)=(a﹣1) 是指数函数,则实数 a 的取值范围是(1,2)∪(2,+∞) . 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 函数的性质及应用. 根据指数函数的定义,底数大于 0 且不等于 1,求出实数 a 的取值范围. x 解:∵函数 f(x)=(a﹣1) 是指数函数, ,
x
﹣2

解得 a>1 且 a≠2; ∴实数 a 的取值范围是(1,2)∪(2,+∞) . 故答案为: (1,2)∪(2,+∞) .

点评: 本题考查了指数函数的概念以及应用问题,是基础题目.

5. (3 分)若函数 f(x)=

(x>0)是减函数,则实数 m 的取值范围是(﹣1,+∞) .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据反比例函数的单调性即可求得 m 的取值范围. 解答: 解:根据反比例函数的单调性,若 f(x)是减函数; 则 m+1>0,m>﹣1; ∴实数 m 的取值范围是(﹣1,+∞) . 故答案为: (﹣1,+∞) . 点评: 考查反比例函数的一般形式,及反比例函数的单调性. 6. (3 分)已知函数 f(x)= 考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出原函数的反函数,然后直接取 x=2 求得 f (2) . 2 解答: 解:由 y=f(x)= (x≥0) ,得 x=y (y≥0) , 2 x,y 互换得,y=x (x≥0) . ﹣1 2 ∴f (x)=x (x≥0) . ﹣1 2 则 f (2)=2 =4. 故答案为:4. 点评: 求反函数,一般应分以下步骤: (1)由已知解析式 y=f(x)反求出 x=Ф(y) ; (2)交换 x=Ф(y) 中 x、y 的位置; (3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域) ,是基 础题.
2
﹣1

(x≥0) ,记 y=f (x)为其反函数,则 f (2)=4.

﹣1

﹣1

7. (3 分)若函数 f(x)=x +

(a 是常数)是偶函数,则 a=2.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用定义判断得出即 x ﹣ 解答: 解:∵f(x)=x + ∴f(﹣x)=f(x) , 即x ﹣
2 2 2

=x +

2

恒成立,a﹣2=0,即可求解,

(a 是常数)是偶函数,

=x +

2

恒成立,

a﹣2=0, 即 a=2 故答案为:2 点评: 本题考查了函数的性质,运用偶函数定义判断求解,属于容易题.

8. (3 分)已知函数 y=x ﹣2ax 在区间上的最大值比最小值大 ,则 a= 或 .

2

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的单调性,分 a>1 时和 0<a<1 两种情况,解得 a 的值. 解答: 解:由题意可得,当 a>1 时,函数 f(x)在区间上单调递增,f(2)﹣f(1)=a ﹣a= ,解得 a=0(舍去) ,或 a= . 当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间上单调递减,f(1)﹣f(2)=a﹣a = ,解得 a=0(舍去) ,或 a= . 故答案为: 或 . 点评: 本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 11. (3 分)若函数 在区间(a,b)上的值域是(2,+∞) ,则 logab=3.
2 2

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画函数 = 的图象,结合图象,使得在区间(a,b)上的值域是(2,+∞) ,求出 a

与 b 的值,在计算 logab. 解答: 解:函数 = ,图象如下图:

不难验证 f(8)=

=2,

∴函数图象上点 A 的坐标为(8,2) 要使函数 在区间(a,b)上的值域是(2,+∞) ,则 a=2、b=8

∴logab=log28=3 故答案为:3 点评: 本题主要考查函数的值域,结合图象解决是解决的关键.

12. (3 分)若函数 y=|a ﹣1|(a>0,且 a≠1)的图象与函数 y= 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 (0,1)∪(1,2) . 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先作出函数 y=|a ﹣1|图象,再由直线 y= 与函数 y=|a ﹣1|的图象有 2 个公共点,作出直线,移动 直线,用数形结合求解. 解答: 解:由题意知 a>0 且 a≠1 ①当 a>1 时,作出函数 y=|a ﹣1|图象:
x x x

x

若直线 y= 与函数 y=|a ﹣1|的图象有两个公共点 由图象可知 0< <1,解得 0<a<2, 故 a 的取值范围是(0,1)∪(1,2) ; ②当 0<a<1 时,同理也可得 a 的取值范围是(0,1)∪(1,2) . 故答案为: (0,1)∪(1,2) . 点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性,解答的关键 是数形结合的思想方法. 二.选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)下列四组函数中,函数 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是() A. C. f(x)=x ,g(x)=1
0

x

B. D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数.

解答: 解:对于 A,f(x)= 也不同,∴不是同一个函数;

=|x|(x∈R) ,与 g(x)=

=x(x≥0)的定义域不同,对应关系

对于 B,f(x)=x(x∈R) ,与 g(x)=
0

=x(x≠0)的定义域不同,对应关系也不同,∴不是同一个函数;

对于 C,f(x)=x =1(x≠0) ,与 g(x)=1(x∈R)的定义域不同,∴不是同一个函数; 对于 D,f(x)=|x|= (x∈R) ,与 g(x)= (x∈R)的定义域相同,对应关系也

相同,∴是同一个函数. 故选:D. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,是基础题目. 14. (3 分)函数 f(x)= A.是奇函数 C. 是非奇非偶函数 () B. 是 偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求解定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,运用解析式得出 f(﹣x)=﹣f(x)判断即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴定义域为{x|x≠±1},关于原点对称, ∵f(﹣x)= =﹣f(x) , ,

∴f(x)为奇函数, 故选:A. 点评: 本题考查了奇函数的定义,运用定义判断,属于容易题,难度不大,容易忽视定义域的判断. 15. (3 分)若关于 x 的方程 2 =a 有负实数根,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.(﹣ ∞,0)∪(0,+∞) C. (﹣1,0)∪(0,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 a =2 ∈(0,1) ,解关于 a 的不等式可得. x 2 解答: 解:∵关于 x 的方程 2 =a 有负实数根, 2 x ∴存在负实数 x 使得 a =2 , x 当 x<0 时,2 ∈(0,1) , 2 ∴a ∈(0,1) ,解得 a∈(﹣1,0)∪(0,1) 故选:C 点评: 本题考查根的存在性及个数的判断,涉及对数函数的值域,属基础题. 16. (3 分)已知函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x)<f(x+1) ,则 f(x)在 R 上() A.是单调增函数
2 x x 2

B. 没有单调减区间 C. 可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意取分段函数 f(x)= =x;从而得到答案. 解答: 解:取函数 f(x)= 故由这个函数可知, A,B 不正确; 若 f(x)=x;则 D 不正确; 故选 C. 点评: 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用,属于基础题. 三.解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (8 分)已知集合 ,集合 B={x||x﹣1|≤4},求 A∩B. ; ,再取函数 f(x)

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 > 得: ﹣ = >0,

即(x﹣4) (x+2)>0, 解得:x<﹣2 或 x>4,即 A=(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) , 由|x﹣1|≤4 得:﹣4≤x﹣1≤4,解得:﹣3≤x≤5,即 B=, 则 A∩B=. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 18. (10 分)已知函数 f(x)=(a ﹣a+1)x 为幂函数,且为奇 函数,设函数 g(x)=f(x)+x. (1)求实数 a 的值及函数 g(x)的零点; (2)是否存在自然数 n,使 g(n)=900?若存在,请求出 n 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据幂函数的定义,和奇函数的定义先求出 a 的值,再根据零点求法,零点转化为 g(x ) =0 的实数根,解方程即可 (2)根据函数为增函数,然后验证 f(9)=738,f(10)=1010,即可得出. 2 解答: 解: (1)令 a ﹣a+1=1,解得 a=0 或 a=1.…(1 分) 2 当 a=0 时,f(x)=x ,它不是奇函数,不 符合题意; 3 当 a=1 时,f(x)=x ,它是奇函数,符合题意.
2 a+2

所以 a=1. …(3 分) 此时 g(x)=x +x. 3 令 g(x)=0,即 x +x=0,解得 x=0. 所以函数 g(x)的零点是 x=0.…(5 分) 3 (2)设函数 y=x ,y=x.因为它们都是增函数,所以 g(x)是增函数.…(7 分) 又因为 g(9)=738,g(10)=1010. …(9 分) 由函数的单调性,可知不存在自然数 n,使 g(n)=900 成立. …(10 分) 点评: 本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系,以及函数的单调性与函数值问题. 19. (12 分)某科技公司生产一种产品的固定成本是 20000 元,每生产一台产品需要增加投入 100 元.已 知年总收益 R(元)与年产量 x(台)的关系式是 R(x)= (1)把该科技公司的年利润 y(元)表示为年产量 x(台)的函数; (2)当年产量为多少台时,该科技公司所获得的年利润最大?最大年利润为多少元?(注:利润=总收益 ﹣总成本) 考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由于年产量是 x 台,则总成本为元,从而分段写出函数解析式即可; (2) 当 0≤x≤500 时, 利用配方法 y=﹣ (x﹣400)+60000 求最值, 当 x>500 时, 利用单调性可得 y=105000 ﹣100x<105000﹣100×500=55000.从而解得. 解答: 解: (1)由于年产量是 x 台,则总成本为元. 当 0≤x≤500 时,y=500x﹣ x ﹣, 即 y=﹣ x +400x﹣20000; 当 x>500 时,y=125000﹣, 即 y=105000﹣100x. 所以 (2)当 0≤x≤500 时, y=﹣ (x﹣400) +60000, 所以当 x=400 时,ymax=60000; 当 x>500 时,y=105000﹣100x 是减函数, 即 y=105000﹣100x<105000﹣100×500=55000. 综上,当 x=400 时,ymax=60000. 即当年产量为 400 台时,该科技公司所获得的年利润最大, 最大年利润为 60000 元. 点评: 本题考查了分段函数在实际问题中的应用,属于中档题. 20. (10 分)已知函数 f(x)=k?2 +2 (k 是常数) . (1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数,求 k 的值;
x
﹣x

3

2

2

2



2

(2)若对于任意 x∈,不等式 f(x)<1 都成立,求 k 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)运用 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(0)=0,求解得出 k=﹣1, (2) )解法 1:对于任意 x∈,不等式 不等式 k<﹣t +t 都成立, 2 只需 k<(﹣t +t)min 即可. 解法 2:对于任意 ,不等式 k?t ﹣t+1<0 都成立.又令 g(t)=k?t ﹣t+1.分类讨论求解转化
2 2 2

都成立.转化为对于任意



为不等式组求解即可. 解答: 解: (1)因为函数 f(x)是 R 上的奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) , 令 x=0,所以 f(0)=0,即 k?2 +2 =0,即 k+1=0,解得 k=﹣1, ﹣x x x x x ﹣x 此时 f(x)=﹣2 +2 ,因为 f(﹣x)=﹣2 +2 ,即 f(﹣x)=﹣(﹣2 +2 ) , 则 f(﹣x)=﹣f( x) .所以当函数 f(x)是 R 上的奇函数,k=﹣1. (2)解法 1:由题意知对于任意 x∈,不等式 k?2 +2 <1 都成立. 即对于任意 x∈,不等式 因为 2 >0,则对于任意 x∈,不等式 令 ,则
2 x x
﹣x

0

0

都成立. 都成立. ,不等式 k<﹣t +t 都成立,
2

,且对于任意

只需 k<(﹣t +t)min 即可. 因为
2

,所以



即 (﹣t +t)min=﹣56,因此 k<﹣56. x ﹣x 解法 2:由题意知对于任意 x∈,不等式 k?2 +2 <1 都成立. x x 2 x 因为 2 >0,所以对于任意 x∈,不等式 k?(2 ) ﹣2 +1<0 都成立. 令 t=2 ,则 又令 g(t)=k?t ﹣t+1. ①当 k=0 时,g(t)=﹣t+1, ,不符合题意;
2 x

,且对于任意

,不等式 k?t ﹣t+1<0 都成立.

2

②当 k>0 时,函数 g(t)=k?t ﹣t+1 图象的开口向上,则得

2







③当 k<0 时,函数 g(t)=k?t ﹣t+1 图象的开口向下,对称轴是直线

2



函数 g(t)在区间

上是减函数,则得

,即



解得:k<﹣56. 综上:k<﹣56, 点评: 本题综合考查了函数的性质,不等式的性质,运用分类讨论,基本不等式求解,属于综合题,难 度较大. 21. (12 分)已知函数 f(x)= ﹣ (x∈(0,+∞) ) . (1)求证:函数 f(x)是增函数; (2)若函数 f(x)在上的值域是(0<a<b) ,求实数 m 的取值范围; (3)若存在 x∈(1,+∞) ,使不等式 f(x﹣1)>4x 成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x1、x2 是区间(0,+∞)内的任意两个实数,且 x1<x2,用单调性的定义证明;

(2)由(1)知,函数 f(x)是增函数,则得

,即

.由此式 a、b 可视为方



的两个不相等的正实数根,用韦达定理限制即可; .因为 x∈(1,+∞) ,上述不等式即为

(3)不等式 f(x﹣1)>4x,即为 . 令

,结合二次函数的性质解决.

解答: (1)证明:设 x1、x2 是区间(0,+∞)内的任意两个实数,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=( ﹣ )﹣( ﹣ )= ﹣ =

因为 x1、x2 是∈(0,+∞) ) ,即 x1x2>0, 又 x1<x2,所以 x1﹣x2<0. 于是 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . 因此,函数 f(x)是增函数. (2)解:由(1)知,函数 f(x)是增函数,

则得







所以 a、b 可视为方程

的两个不相等的正实数根,

于是

,解得



(3)不等式 f(x﹣ 1)>4x,即为 因为 x∈(1,+∞) ,上述不等式即为

. .



,则其图象对称轴是直线





,解得 m∈?;



,即

,解得



综上,所求实数 m 的取值范围是



点评: 本题主要考查函数的综合应用,关键是抓住条件,方程与函数相互转化,同时考查二次函数的有 关性质,是一道综合题.


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