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浙江省杭州市学军中学2012届高三第十次月考(数学理)


2011 学年杭州学军中学第十次月考

数学(理科)试题卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答。答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、 班级、学号、姓名; 2.本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分 钟。 参考公式: 球的表面积公式 柱体体积公式

S ? 4?R

2

V ? sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V ?

球的体积公式
4 V ? ? R3 3

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

锥体体积公式

其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 如果事件 A、B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 1.设U ? R, A ? {x | ? x ? 3x ? 0}, B ? {x | x ? ?1} ,则图中阴影部分表示的集合为 (
2



(A) {x | x ? 0} (C) {x | ?3 ? x ? 0} 2.已知 z ? 1 ? i ,则 (A)
4 3 ? i 5 5
24

(B) {x | ?3 ? x ? ?1} (D) {x | x ? ?1} ( (B) ) (C) i (D)
4 3 ? i 5 5

1? z 等于 1? z2

?i

? 1 ? 3.在 ? ? x?3 ? ? 的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有 x? ?
(A) 3 项 4.下列命题正确的是 (A)若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行 (B)若平面 ? ? ? , ? ? ? ,则平面 ? ? ? (C) 平行四边形的平面投影可能是正方形 (B)4 项 (C) 5 项



) (D) 6 项 ( )

(D)若一条直线上的两个点到平面 ? 的距离相等,则这条直线平行于平面 ?
第1页 共8页

2 5.设甲:函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? bx ? c) 的值域为 R ,乙:函数 g ( x) ? x ? bx ? c 有四个单调区间,那

么甲是乙的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 6.已知函数 的图象为 ,

( (B) 必要不充分条件



(D) 非充分非必要条件 ,当 x=a 时, ( 取得最小值 b,则函数 g ( x ) ? ( )

1 x ?b ) a

7.如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD ,

AD ? 1 ,则 AC ? AD =(
(A) 2 3 (B)



3 2

(C)

3 3

(D) 3 )种 (D) 900

8.由 1,2,3,4,5,6,7 七个数字排列成 7 位数,则相邻数互质的排法种数有( (A) 576 (B) 720 (C) 864

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的 a2 b2


交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为(

(A) 2 ? 1

(B) 3 ? 1

(C)

5 ?1 2

(D)

2 2 ?1 2

10.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x. 若存在 a ? ?? 4,4? ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三个不相等的实 数根,则实数 t 的取值范围是 (A) ?1, ? ( ) (C) ? , ?

? 9? ? 8?

(B) ?1, ?

? 3? ? 2?

?9 3? ?8 2?

(D) ?1, ?

? 5? ? 4?

第2页 共8页

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

? 11.如果函数 f ( x) ? sin(?? x ? ) (? ? 0) 在区间 ( ?1, 0) 上有且仅有一条平行于 y 4 轴的对称轴,则 ? 的取值范围是 .
12.如右图,如果执行右面的程序框图,输入正整数 n ? 10 , m ? 4 ,那么输出的

P 等于__________
13.盒中装有 5 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 3 个未经使用. 从盒中随机 抽取 3 个零件,使用后 放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为 X,则 X 的数 ... 学期望 E (X)= 14. 已知一个三棱锥的三视图如图 2 所示,其中俯视图是顶角为120 的等腰三角 形,则该三棱锥的体积为 15.函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0 ,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的 log x , x ? 0 ? 2
主视图 2 3

2 1 左视图

所有零点所构成的集合为________

8 16.底面边长为 1 、侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 个顶点
都在球 O 的表面上, E 是侧棱 AA1 的中点, F 是正方形 ABCD 的中心,则

俯视图

直线 EF 被球 O 所截得的线段长为



图2

17.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 3) 的图像关于(3,0)成中心对称,若 s,t
2 2 2 2 满足不等式 f ( s ? 2s) ? ? f (2t ? t ) ,当 1 ? s ? 4 时,则 t ? s ? 2s 的取值范围是

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分)
2 18.已知函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? 1 ?

(1)若点 A (? , y) ( ? ? [0,

?
4

1 sin 2 x . 2

] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 ? 的值;

(2)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴,求 g (2 x0 ) 的值; (3)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0, 19. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an ? (1) 求数列 {an } 的通项公式;

?
4

] 的值域。

n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N * ) . n ?1

3n ?1 (2) 令 bn ? (n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S2n 与 n 的大小,并证明. an

第3页 共8页

20. 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ,

A1

A

D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
(1)求证: AB1 //平面 BC1D ; (2)若四棱锥 B ? DAAC 1 1 的体积为 2,求二面角

D B1 C1 C B

C ? BC1 ? D 的正切值.

21.已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线上一点 A 的横坐标为 x1 ( x1 ? 0) ,过点 A 作抛 物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D , 交 y 轴于点 Q , 交直线 l : y ? (1)求证: ?AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l 2 交直线 l1 于点 P ,交直线 l 于点 N , 求 ?PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 值.

p ? 于点 M , 当 | FD |? 2 时,?AFD ? 60 . 2

2 x 22.设 f ( x) ? ( x ln x ? ax ? a ? a ? 1)e , a ? ?2 .

(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)讨论 f ( x) 在区间 ( ,?? ) 上的极值点个数; (3)是否存在 a ,使得 f ( x) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切?若存在,求出所有 a 的值.若不存在,说明 理由.

1 e

1 e

第4页 共8页

杭州学军中学第十次月考数学(理)答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给也的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 C

5 B

6 B

7 D

8 C

9 A

10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.

1 5 ?? ? 4 4 19 5




12.

5040



13.

14.

2 3 3
16.



15.

,1 1 {-3, , - ,2 } 4 2
24 [? , 1 2
] 。



42 3



17.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (1) ? ? 0 (2)1 (3) ? 2,

? ?

,3 ? 2 ? ? 2 ?

a a n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 知, n ? n ?1 ? 2 ? 3n ? 2 , n ?1 n n ?1 a a 2 n?2 由累加法,当 n ? 2 时, n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 n 1
19. 解:解:(Ⅰ)由题 an ? 代入 a1 ? 1 得, n ? 2 时,

an 2(1 ? 3n?1 ) ? 1? ? 3n?1 n 1? 3
. . . . . . . . . . . . . . .

又 a1 ? 1 ,故 an ? n ? 3n?1 (n ? N * ) .

1 1 3n?1 1 (II) n ? N 时, bn ? ? ,则 S2n ? 1 ? ? ? 2 3 an n
*

?

1 2n

1 1 1 ? ? ? n)?n 2 3 2 1 1 1 所以 f (n ? 1) ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? (n ? 1) 2 3 2
记函数 f (n) ? S 2n ? n ? (1 ? 则 f (n ? 1) ? f (n) ? (

. . . . . . .

1 1 ? n ? n 2 ?1 2 ? 2

?

1 2n ) ? 1 ? ?1 ? 0 2n?1 2n ? 1
第5页 共8页

所以 f (n ? 1) ? f (n) . 由于 f (1) ? S 21 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 0 ,此时 S21 ? 1 ;

1 2 1 1 1 f (2) ? S22 ? 2 ? (1 ? ? ? ) ? 2 ? 0 ,此时 S22 ? 2 ; 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 f (3) ? S23 ? 3 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3 ? 0 ,此时 S23 ? 3 ; 2 3 4 5 6 7 8

由于, f (n ? 1) ? f (n) ,故 n ? 3 时, f (n) ? f (3) ? 0 ,此时 S2n ? n . 综上所述:当 n ? 1, 2 时, S2n ? n ;当 n ? 3(n ? N * ) 时, S2n ? n . 20.(1)略 (2)如图建系 则 B(0, 2, 0) , C1 (2,0,0) , A(0, 2, 2) , D(1, 2,1) ∴ BC1 ? (2, ?2,0) , BD ? (1,0,1) 设平面 BC1D 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由 n ? BC1 ? 0 及 n ? BD ? 0 得? . . . . . . . . . . .

?2 x ? 2 y ? 0 ,取 x ? 1 ?x ? z ? 0

∴ n ? (1,1, ?1) 又平面 BC1C 的一个法向量 m ? (0,0, ?1) ∴ cos ? m, n ??

3 3

∵所求二面角的平面角为锐角 ∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 2 21. 解: (1)设 A? x1 , 所以 D?

? ? ?

2 2 x1 ? x x ? ,则 A 处的切线方程为 l1 : y ? 1 x ? 1 2p ? p 2p ?

? x12 ? ? x1 ? ? ,0 ? , Q? 0 , ? ? 2p ? ?2 ? ? ?

p x12 ? ? AF ;即 ?AFQ 为等腰三角形 2 2p 又 D 为线段 AQ 的中点,所以 AF ? 4 ,得:
所以 FQ ?

? p x12 ?4 ? ? ? 2 2p ? x 2 ? p 2 ? 16 ? 1

所以 p ? 2 , C : x ? 4 y.
2

第6页 共8页

(2)设 B( x2 , y2 ) ( x2 ? 0) ,则 B 处的切线方程为 y ?

x2 x x? 2 2 4

2

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 x 2 ? x? 1 x1 x1 x1 2 2 4 ? P( x1 ? x2 , x1 x2 ) , ? y ? x ? ? 2 4 ? M ( ? ,1) 2 2 x1 2 4 x2 x ?y ? 1 x? 2 ? 2 4 x xx ( x ? x1 )(4 ? x1 x2 ) 2 2 1 x 2 x 2 同理 N ( 2 ? ……① ,1) ,所以面积 S ? ( 1 ? ? 2 ? )(1 ? 1 2 ) ? 2 2 x2 2 2 x1 2 x2 4 16x1 x2
设 AB 的方程为 y ? kx ? b ,则 b ? 0 由 ? 得: S ?

2

? y ? kx ? b ?x ? 4 y k2 ?b
2

? x ? x2 ? 4k 代入① ? x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 ,得 ? 1 ? x1 x2 ? ?4b

16k 2 ? 16b (4 ? 4b) 2 (1 ? b) 2 (1 ? b) 2 b ,使面积最小,则 k ? 0 得到 S ? ② ? b 64b b (1 ? t 2 ) 2 1 (3t 2 ? 1)(t 2 ? 1) 3 ? t 3 ? 2t ? , S ?(t ) ? 令 b ? t ,②得 S (t ) ? ,所以当 t ? (0, ) 时 S (t ) 单 2 t t 3 t 1 3 16 3 3 2 调递减;当 t ? ( 时, S 取到最小值为 ,此时 b ? t ? , ,??) S (t ) 单调递增,所以当 t ? 3 3 9 3 k ? 0,
所以 y1 ?

1 2 3 ,即 x1 ? 3 3

22. .解: (1)当 a ? 0 时: f ( x) ? ( x ln x ? 1)e x , ( x ? 0) 故 f ( x) ? (ln x ? 1 ? x ln x ? 1)e ? ln x( x ? 1)e ……2 分
' x x ' ' ' 当 x ? 1 时: f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时: f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时: f ( x) ? 0 .

故 f ( x) 的减区间为: (0,1) ,增区间为 (1,??) ……4 分 (2) f ( x) ? (ln x ? x ln x ? ax ? a )e
' 2 x

' 2 令 g ( x) ? ln x ? x ln x ? ax ? a ,故 g ( x ) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ? a , g '' ( x) ? ? 2 ? ,…6 分 x x x

显然 g '' (1) ? 0 ,又当 x ? 1 时: g '' ( x) ? 0 .当 x ? 1 时: g '' ( x) ? 0 .
' ' ' ' 故 g ( x) min ? g (1) ? 2 ? a ,? a ? ?2 ,? g ( x) ? g ( x) min ? 2 ? a ? 0 .

故 g ( x) 在区间 ( ,?? ) 上单调递增,……7 分 注意到:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ,故 g ( x) 在 ( ,?? ) 上的零点个数由 g ( ) ? (a ? 1)( a ? 1 ? ) 的 符号决定. ……8 分 ①当 g ( ) ? 0 ,即: ? 2 ? a ? ?1 ?

1 e

1 e

1 e

1 e

1 e

1 1 或 a ? 1 时: g ( x) 在区间 ( ,?? ) 上无零点,即 e e
第7页 共8页

f ( x) 无极值点.
②当 g ( ) ? 0 ,即: ? 1 ?

1 e

1 1 ? a ? 1 时: g ( x) 在区间 ( ,?? ) 上有唯一零点,即 e e

f ( x) 有唯一极值点.
1 1 或 a ? 1 时: f ( x) 在 ( ,?? ) 上无极值点. e e 1 1 当 ? 1 ? ? a ? 1 时: f ( x) 在 ( ,?? ) 上有唯一极值点. ……10 分 e e 1 (3)假设存在 a ,使得 f ( x) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切,则 f ( x) 必与 x 轴相切于极值点处,由(2) e 1 可知: ? 1 ? ? a ? 1 .不妨设极值点为 x0 ,则有: e
综上:当 ? 2 ? a ? ?1 ?

? f ' ( x0 ) ? (ln x0 ? x0 ln x0 ? ax 0 ? a 2 )e x0 ? 0 …(*)同时成立. ……11 分 ? x0 2 ? f ( x0 ) ? ( x0 ln x0 ? ax 0 ? a ? a ? 1)e ? 0
联立得: ln x0 ? a ? 1 ? 0 ,即 x0 ? e ?( a ?1) 代入(*)可得 e ?( a?1) ? (a ? 1) ? a 2 ? 0 . 令 t ? ?(a ? 1), t ? (?2, ) , h(t ) ? e t ? t ? (t ? 1) 2 .……12 分

1 e

1 1 则 h (t ) ? e ? 2t ? 3 , h (t ) ? e ? 2 ,当 t ? ( ?2, ) 时 h '' (t ) ? h '' ( ) ? e e ? 2 ? 0 e e
' t '' t

1

(? e e ? e 2 ? 2) .故 h ' (t ) 在 t ? ( ?2, ) 上单调递减.又 h ' (?2) ? e ?2 ? 1 ? 0 , h ' ( ) ? e e ? 故 h ' (t ) 在 t ? ( ?2, ) 上存在唯一零点 t 0 . 即当 t ? (?2, t 0 ) 时 h ' (t ) ? 0 , h(t ) 单调递增.当 t ? (t 0 , ) 时 h ' (t ) ? 0 , h(t ) 单调递减.

1

1

1 e

1 e

1

2 ?3? 0. e

1 e

1 e

1 1 3 因为 h(?2) ? e ? 1 ? 0 , h ( ) ? e e ? 2 ? ? 1 ? 0 . e e e
?2
'

1

故 h(t ) 在 t ? (?2, t 0 ) 上无零点,在 t ? (t 0 , ) 上有唯一零点. ……14 分 由观察易得 h(0) ? 0 ,故 a ? 1 ? 0 ,即: a ? ?1 . 综上可得:存在唯一的 a ? ?1 使得 f ( x) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切. ……15 分

1 e

1 e

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