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向量组的线性相关性教案


第四章
1.教学目的和要求:

向量组的线性相关性

(1)理解 n 维向量、向量的线性表示的概念. (2)理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关、线性无关的 有关性质及判别法. (3)了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及 秩. (4)了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. (5)理解线性方程组解的性质. (6)理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和 通解的求法. (7)理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. (8)会用初等行变换求解线性方程组. 2.教学重点:向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3.教学难点: (1)向量组的线性相关性中相关定理的证明. (2)求向量组的秩及最大线性无关组. (3)线性方程组的解的结构定理及其应用. 4.教学内容: §1 定义 1 定义 2 向量组及其线性组合

n 个有次序的数 ?1 ,?,? n 所组成的数组称为 n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n
个分量,第 i 个数称为第 i 个分量. 对 n 维向量 ? 及

? 1 ,?,? m , 若有数组 k1 ,?, k m , ? = k1?1 + ? + k m? m , 称 ? 为 ? 1 ,?,? m 的线性组合,或 ? 可由 ? 1 ,?,? m 线性 使得
表示.

?1? ? 1? ? 3? ? 5? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0? ? 2 ? ?1? ? 3 ? ? 1? ? 4 ? ? ? 3? ?1? ? ? ? ? ?, ? ? 1? ?, ? ? 1? ?, ? 1? ? 试判断 ? 4 可否由 ?1 , ? 2 , ? 3 例1 设
线性表示? 解 设

? 4 ? k1 ? 1 ? k2 ? 2 ? k3 ? 3 ,比较两端的对应分量可得

3? ? k 1 ? ? 5? ? k 1 ? ?0? ? 1 1 ? ? ? k ? ? ? 2? ? 0 1 ? ? ? 1? ? k 2 ? ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? ?? ?1 ? ? ?k 3 ? ? ? ?k 3 ? ? ? ? 1? ? , 求得一组解为 ? ? ? 0? 1 ? 2? 2 ? 1? 3 , 即 ? 4 可由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示. 于是有 4

1

? k 1 ? ? 2? ? k ? ? ? 3? ? 2? ? ? ? k ? ?0? ? ? 2? 1 ? 3? 2 ? 0? 3 . [注] 取另一组解 ? 3 ? ? ? 时, 有 4 a ,?, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1 ,?, am ) 定理 1 向量 b 能由向量组 A : 1
的秩等于矩阵的秩 B =

(a1 ,?, am , b) .

l , 若 B 组中每个向量都能由向量组 m及 B : 1 定义 3 设有两个向量组 A : 1 A 线性表示, 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示.若向量组 A 与向量组 B 能互相线 性表示, 则称这两个向量组等价.

a ,?, a

b ,?, b

定理 2

向量组 B :

b1 ,?, bl 能由向量组 A : a1 ,?, am 线性表示的充分必要条件是矩阵

A = (a1 ,?, am ) 的 秩 等 于 矩 阵 的 秩 (A,B) = (a1 ,?, am , b1 ,?, bl ) 的 秩 , 即 R(A) ? R(A,B)
推论

a ,?, am 与 向 量 组 B : b1 ,?, bl 等 价 的 充 分 必 要 条 件 是 向量组 A : 1

R(A) ? R( B) ? R(A,B) , 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵. b ,?, bl 能 由 向 量 组 A : a1 ,?, am 线 性 表 示 , 则 定理 3 设向量组 B : 1 R(b 1 ,?, bl ) ? R(a1 ,?, am )
课后作业: 习题四 1,2,3,4,5 §2 定义 4 线性相关:对 n 维向量组 向量组的线性相关性

? 1 ,?,? m , 若有数组 k1 ,?, k m 不全为 0, 使得 k1?1 + ? + k m? m = 0 ? ,?,? m 线性相关, 否则称为线性无关. 则称向量组 1 ? 1 ,?,? m , 仅当数组 k1 ,?, k m 全为 0 时, 才有 k1?1 + ? + k m? m = 0 ? ,?,? m 线性无关, 否则称为线性相关. 则称向量组 1

线性无关:对 n 维向量组

[注]

对于单个向量 ? :若 ? = 0 , 则 ? 线性相关;

0 , 则 ? 线性无关. 若? ≠ 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.
例2 判断例 1 中向量组

? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的线性相关性.

解 设

k1 ?1 + k 2 ? 2 + k3 ? 3 + k 4 ? 4 = 0 , 比较两端的对应分量可得 ?k ? 3 5? ? 1 ? ? 0? ? 1 1 ? 0 1 ? ? k 2 ? ? ? 0? 1 3 ? ? ?k ? ? ? 3 ? ? ? 1 1 ? 1 1? ? ?k ? ? ? 0? ? ? 4? 即 Ax ? 0 .因为未知量的个数是 4, 而 R( A) ? 4 , 所以 Ax ? 0
有非零解, 由定义知

? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关.

例3

已知向量组

? 1 ,? 2 ,? 3 线性无关, 证明向量组
2

? 1 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 3 ? ? 1 线性无关. k ? + k 2 ? 2 + k3 ? 3 = 0 , 则有 证 设 1 1 (k1 ? k3 )?1 ? (k1 ? k 2 )? 2 ? (k 2 ? k3 )? 3 ? 0 ? ,? ,? 因为 1 2 3 线性无关, 所以
?k1 ? k 3 ? 0 ? ?k1 ? k 2 ? 0 ?k ? k ? 0 3 ? 2 ?1 0 1 ? ? k 1 ? ? 0? ?1 1 0? ? k ? ? ? 0? ? ?? 2? ? ? ?0 1 1? ?? ? 0? ? ?k 3 ? ? ? , 即 ?

1 0 1 1 1 0 ?2?0 系数行列式 0 1 1 , 该齐次方程组只有零解. ? ,? ,? 故 1 2 3 线性无关.
例4 判断向量组

e1 ? (1, 0, 0,?, 0) , e 2 ? (0, 1, 0,?, 0) , ?, en ? (0, 0,?, 0, 1)
的线性相关性. 解 设

k1e1 + k 2 e2 + ? + k n en = 0 , 则有 (k1 , k 2 ,?, k n ) = 0 ? k ? 0, k 2 ? 0,?, k n ? 0 只有 1

故 定理 4

e1 , e 2 ,?, e n 线性无关.

(1) 向量组 1 2 向量线性表示. 证 必要性 已知

? ,? ,?,? m ( m ? 2) 线性相关 ? 其中至少有一个向量可由其余 m ? 1 个 ? 1 ,? 2 ,?,? m 线性相关, 则存在 k1 , k 2 ,?, k m 不全为零, k1?1 + k 2? 2 + ? + k m? m = 0 使得

不妨设 k1 ? 0 , 则有 充分性 不妨设

? 1 ? (?

k k2 )? 2 ? ? ? ( ? m )? m k1 k1 .

? 1 ? k2? 2 ? ? ? km? m , 则有 (?1)?1 + k 2? 2 + ? + k m? m = 0 (?1) , k 2 ,?, k m 不全为零, 所以 ? 1 ,? 2 ,?,? m 线性相关. 因为

(2)若向量组

? 1 ,? 2 ,?,? m 线 性 无 关 , ? 1 ,? 2 ,?,? m , ? 线 性 相 关 , 则 ? 可 由 ? 1 ,? 2 ,?,? m 线性表示, 且表示式唯一.



? 1 ,?,? m , ? 线性相关, 所以存在数组 k1 ,?, k m , k 不全为零, k1?1 + ? + k m? m + k? = 0 使得 k ? + ? + k m? m = 0 ? k1 ? 0 , ?, k m ? 0 .矛盾! 若 k ? 0 , 则有 1 1
因为 故 k ? 0 , 从而有

? ? (?

k k1 )? 1 ? ? ? ( ? m )? m k k .

下面证明表示式唯一:
3

若 则有 因为

? ? k1? 1 ? ? ? k m? m , ? ? l1? 1 ? ? ? l m? m
( k1 - l1 )?1 + ? + ( k m - lm )? m = 0

? 1 ,? 2 ,?,? m 线性无关, 所以
k1 ? l1 ? 0, ? , k m ? l m ? 0 ? k1 ? l1 , ? , k m ? l m

即 ? 的表示式唯一.

(3) ? 1 ,?,? r 线性相关 ?

? 1 ,?,? r ,? r ?1 ,?,? m (m ? r ) 线性相关.

证 因为 ? 1 ,?,? r 线性相关, 所以存在数组 k1 ,?, k r 不全为零, 使得

k1?1 + ? + k r? r = 0 ? k1?1 + ? + k r? r + 0? r +1 + ? + 0? m = 0 ? ,?,? r ,? r ?1 ,?,? m 线性相关. 数组 k1 ,?, k r ,0,?,0 不全为零, 故 1
推论 向量组线性无关 ? 任意的部分组线性无关. 定理 5 设

? i ? (ai1 , ai 2 ,?, ain ) , i ? 1,2,?, m

? ? 1 ? ? a 11 a 12 ? a 1n ? ?? ? ? a a 22 ? a 2 n ? 21 2 ? ? ? ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? m ? ?a m 1 a m 2 ? a mn ? ? ,? ,?,? m 线性相关? (R)A < m ; (1) 1 2 ? ,? ,?,? m 线性无关? (R)A = m . (2) 1 2

1 1 2 2 m m 设 比较等式两端向量的对应分量可得

k ? + k ? +?+ k ? = 0

? a 11 a 21 ? a m 1 ? ? k 1 ? ?0? ?a ?? ? ? ? ? 12 a 22 ? a m 2 ? ? k 2 ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ?a 1n a 2 n ? a mn ? ? k m ? ?0? T 即 A x ? 0 .由定理可得: ? 1 ,? 2 ,?,? m 线性相关 ? AT x ? 0 有非零解

? R( A)T ? m ? R( A) ? m 推论 1 在定理 5 中, 当 m ? n 时, 有 ? ,? ,?,? n 线性相关 ? de tA ? 0 ; (1) 1 2

? 1 ,? 2 ,?,? n 线性无关 ? de tA ? 0 . 在定理 5 中, 当 m ? n 时, 有 ? ,? ,?,? m 线性相关 ? A 中所有的 m 阶子式 Dm ? 0 ( (R)A < m ) (1) 1 2 ; D ? 0 ? , ? , ? , ? m m 线性无关 ? A 中至少有一个 m 阶子式 (2) 1 2 ( (R)A = m ). ? ,? ,?,? m 线性相关. 推论 3 在定理 5 中, 当 m ? n 时, 必有 1 2
(2) 推论 2 因为 R( A) ? n ? m , 由定理 5(1)即得. 推论 4 向量组 T1 :

? i ? (ai1 , ai 2 ,?, air ) , i ? 1,2,?, m

4

向量组 T2 :

? i ? (ai1 , ai 2 ,?, air , ai ,r ?1 ,?, ain ) , i ? 1,2,?, m
a 12 a 22 ? am2 ? a1r ? ? a 2r ? ? ? ? ? ? a mr ? ? a 1, r ? 1 a 2,r ?1 ? a m ,r ?1 ? a1n ? ? a 2n ? ? ? ? ? ? a mn ? ?

若 T1 线性无关, 则 T2 线性无关(即无关组添加分量仍无关).

Am ?r


? ? 1 ? ? a 11 ?? ? ? a 21 2 ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? m ? ? ?a m 1

? ? 1 ? ? a11 ? a1r ? ? ? ?a ? a 2r 21 2 B m ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? m ? ? ?a m 1 ? a mr T1 线性无关 ? R( A) ? m

A 是 B 的子矩阵 ? R( B) ? R( A) ? m

? R( B) ? m ? T2 线性无关

Am ?n
定理 6 划分

?? 1 ? ?? ? 2 ? ? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ?? m ?

?2 ? ?n?
, 则有

(1) A 中某个 Dr ? 0 ? A 中“ Dr 所在的” r 个行向量线性无关;

A 中“ Dr 所在的” r 个列向量线性无关.
(2) A 中所有 Dr ? 0 ? A 中任意的 r 个行向量线性相关; A 中任意的 r 个列向量线性相关. 证 只证“行的情形” :

B r ?n
(1) 设 Dr 位于 A 的 i1 ,?, i r 行, 作矩阵

?? i1 ? ? ? ?? ? ? ?? i ? ? r ? , 则有
?? i1 ? ? ? ?? ? ? ?? i ? ? r?,

rank B ? r ? ? i1 ,?,? ir

线性无关.

B r ?n
(2) 任取 A 中 r 个行, 设为 i1 ,?, i r 行, 作矩阵 则有 [注] 称

R( B) ? r ? ? i1 ,?,? ir

线性相关.

? 1 ,? 2 ,?,? m 为 A 的行向量组, ? 1 , ? 2 ,?, ? n 为 A 的列向量组.

定义 5

§3 向量组的秩 向量组的秩:设向量组为 A , 若

(1) 在 A 中有 r 个向量 ? 1 ,? 2 ,?,? r 线性无关; (2) 在 A 中任意 r ? 1 个向量线性相关(如果有 r ? 1 个向量的话) .
5

称 ? 1 ,? 2 ,?,? r 为向量组为 A 的一个最大线性无关组, 称 r 为向量组 A 的秩, 记 作:秩 ( A) = r . [注] (1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为 0. (2) 秩 ( A) = r 时, A 中任意 r 个线性无关的向量都是 A 的一个最大无关组.

?1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ?4 ? ? ? ?1? , ?2? 的秩为 2. ? 0? , ?1? , 例如, ? 1 ,? 2 线性无关 ? ? 1 ,? 2 是一个最大无关组

?1 ?

?0?

?1?

?2?

? 1 ,? 3 线性无关 ? ? 1 ,? 3 是一个最大无关组
[注] 定理 7 一个向量组的最大无关组一般不是唯一的.
m× n 设 , 则 (1) A 的行向量组(列向量组)的秩为 r ;

R( A

) = r ?1

(2) A 中某个 Dr ? 0 ? A 中 Dr 所在的 r 个行向量(列向量)是 A 的行向量组(列向量组)的最大无关组. 证 只证“行的情形” :

(R)A = r ?A 中某个 Dr ? 0 , 而 A 中所有 Dr ?1 ? 0 由定理 6 ? A 中 Dr 所在的 r 个行向量线性无关
A 中任意的 r ? 1 个行向量线性相关
由定义: A 的行向量组的秩为 r , 且 A 中 Dr 所在的 r 个行向量是 A 的向量组的最大无关组.

? ? 2? ? 1? ? 3? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0? ? 2 ? ?2? ? 3 ? ? ? 1? ? 4 ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 1? ?, ? ? 2? ?, ? 0? ?, ? 5? ? 例 5 向量组 A :
求 A 的一个最大无关组.

解 构造矩阵

A ? ?? 1

?2

?3

? 1 3 ? 2 2? ? ?? ? 0 2 ? 1 3? ?4 ? ? 1 5? ?? 2 0 ?

求得 R( A) ? 2 ? 秩 ( A) = 2

1 3 =2≠ 0 0 2 A 矩阵 中位于 1,2 行 1,2 列的二阶子式 故 ? 1 , ? 2 是 A 的一个最大无关组.
[注] A 为行向量组时, 可以按行构造矩阵. 定理 8

Am?n , Bm?n c ,?, c k 列”线性相关(线性无关) ? (1) 若 A ? B , 则“ A 的 1 c ,?, c k 列”线性相关(线性无关) “B 的 1 ; r ,?, rk 行”线性相关(线性无关) ? (2) 若 A ? B , 则“ A 的 1 r ,?, rk 行”线性相关(线性无关) “B 的 1 .
6




证 (1) 划分


Am?n ? ?? 1 ? 2 ? ? n ?, Bm?n ? ?? 1

?2 ? ?n ?

由 A ? B 可得

??

c1

? ? ck ? ? c1
? ? ck

? ?


? ? ck

?

??
故方程组

c1

?

? x 1 ? ?0? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?0? ? ? xk ? ? ?

??
与方程组 同解.于是有
1 k

c1

? ? ck

?

? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? xk ? ? ?

? c ,?,? c 线性相关

? 存在 x1 ,?, xk 不全为 0, 使得 x1? c ? ? ? xk? c ? 0 ? 存在 x1 ,?, xk 不全为 0, 使得 x1 ? c ? ? ? xk ? c ? 0
1 k 1 k

? ? c1 ,?, ? ck
同理可证(2).

线性相关

[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵 A 化为阶梯形矩阵 B ,当阶梯形 矩阵 B 的秩为 r 时, B 的非零行中第一个非零元素所在的 r 个列 向量是线性无关的. 定义 6 若

T : 等价向量组:设向量组 T1 : ? 1 ,? 2 ,?,? r , 2

? 1 , ? 2 ,?, ? s

? i (i ? 1,2,?, r ) 可由 ? 1 , ? 2 ,?, ? s 线性表示, 称 T1 可由 T2 线性表示; 若 T1 与 T2 可以互相线性表示, 称 T1 与 T2 等价.

(1) 自反性: T1 与 T1 等价 (2) 对称性: T1 与 T2 等价 ? T2 与 T1 等价 (3) 传递性: T1 与 T2 等价, T2 与 3 等价 ? T1 与 定理 9 向量组与它的最大无关组等价.

T

T3 等价

证 设向量组 T 的秩为 r , T 的一个最大无关组为 T1 : ? 1 ,? 2 ,?,? r . (1) T1 中的向量都是 T 中的向量 ? T1 可由 T 线性表示; (2) 任意 ? ? T , 当 ? ? T1 时, 当 ? ? T1 时,

? 可由 T1 线性表示; ? 1 ,? 2 ,?,? r ,? 线性相关, 而 ? 1 ,? 2 ,?,? r 线性无关

则 ? 可由 T1 线性表示.故 T 可由 T1 线性表示. 因此, T 与 T1 等价. 推论 向量组的任意两个最大无关组等价. 定理 10

T : 向量组 T1 : ? 1 ,? 2 ,?,? r , 向量组 2

? 1 , ? 2 ,?, ? s .

若 T1 线性无关, 且 T1 可由 T2 线性表示, 则 r ? s . 证 不妨设

? i 与 ? j 都是列向量, 考虑向量组
7

T : ? 1 ,? 2 ,?,? r , ? 1 , ? 2 ,?, ? s 易见, 秩 (T ) ? 秩 (T1 ) ? r .构造矩阵 A ? ?? 1 ? ? r


?1 ? ? s ?

因为 T1 可由 T2 线性表示, 所以

A ? ?0 ? 0 ? 1 ? ? s ? ? rank A? s 于是可得 r ? 秩 (T ) ? R( A) ? s .
推论 1 若 T1 可由 T2 线性表示, 则 秩 (T1 ) ? 秩 (T2 ) . 证 设 秩 (T1 ) ? r , 且 T1 的最大无关组为 ? 1 ,?,? r ;

? ,?, ? s , 则有 秩 (T2 ) ? s , 且 T2 的最大无关组为 1
T1 可由 T2 线性表示 ? ? 1 ,?,? r 可由 T2 线性表示

? ? 1 ,?,? r 可由 ? 1 ,?, ? s 线性表示 ? r ? s (定理 10) 推论 2 设向量组 T1 与 T2 等价, 则 秩 (T1 ) ? 秩 (T2 ) . [注] 由“秩 (T1 ) ? 秩 (T2 ) ”不能推出“ T1 与 T2 等价” !
正确的结论是:

T1可由T2线性表示? ?? 秩(T1 ) ? 秩(T2 ) ? T1 与 T2 等价 T2 可由T1线性表示? ?? 秩(T1 ) ? 秩(T2 ) ? T1 与 T2 等价 A B 例 6 设 m?l , l ?n , 则 R( AB ) ? R( A) , R( AB ) ? R( B) . ?b1 ? ? c1 ? Δ ? ? ? B ? ? ? ? AB ? C ? ? ? ? ? ? ? A ? aij m?l ? bl ? ? ?c m ? ?
证 设

? ?

,

,

, 则

ci ? a i 1b1 ? ? ? ail bl (i ? 1,2,?, m) c ,?, c m 可由 b1 ,?, bl 线性表示, 故 R(C ) ? R ( B) . 即 1
根据上述结果可得

R( C) ? R( C T ) ? R( BT AT ) ? R( AT ) ? R( A)
§4 线性方程组解的结构

? a11 ?a 21 A?? ? ? ? ?a m 1
齐次方程组 非齐次方程组

a12 a 22 ? am2

? a1n ? ? a 2n ? ? x? ? ? ? ? a mn ? ,
(b ? 0)

? x1 ? ?x ? ? 2? b ? ? ? ? ? ? ? xn ? ,

? b1 ? ?b ? ? 2? ? ? ? ? ? ? bm ?

Ax ? 0 Ax ? b

8

结论

d ? , Ax ? b 与 Cx ? d 同解. (2) Ax ? 0 有非零解 ? rank A ? n . ~ A ? rank A. (3) Ax ? b 有解 ? rank ~ (4) 设 R( A) ? R( A) ? r , 则


(1)

?A

b? ? ?C

r ? n 时, Ax ? b 有唯一解;

r ? n 时, Ax ? b 有无穷多解.
定义 7 (1) Ax ? 0 的解空间: 解集合 S ? x

?

Ax ? 0 , x ? R n

?

? x, y ? S , A( x ? y ) ? Ax ? Ay ? 0 ? x ? y ? S
? x ? S , ? k ? R, A(k x ) ? k ( Ax ) ? 0 ? k x ? S 故 S 构成向量空间, 称为 Ax ? 0 的解空间.
(2) Ax ? 0 的基础解系 不妨设 Ax ? 0 的一般解为

? x1 ? ? b1,r ?1 k 1 ? b1,r ? 2 k 2 ? ? ? b1n k n? r ? x ? ?b k ? b 2,r ?1 1 2 , r ? 2 k 2 ? ? ? b2 n k n ? r ? 2 ???? ? ? x r ? ? br ,r ?1 k 1 ? br ,r ? 2 k 2 ? ? ? brn k n? r ? k1 ? x r ?1 ? ? xr?2 ? k2 ? ? ?????? ?x ? k n? r ? n

(

? k1 , k 2 ,?, k n? r ? R )

? k 1 ? ?1 ? ? 0? ?0? ?k ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 0? , ?1 ? , ? , ? 0? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? k n ? r ? ?0? ?0? ?1 ? ? 依次令 ? ? b1,r ?1 ? ? ? b1,r ? 2 ? ? ? b1n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? br , r ? 1 ? ? ? br , r ? 2 ? ? ? brn ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 0 ? ? n? r ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ?, ? ? , ?, ? ? 可求得 ? , ? ,?, ? n? r 线性无关 因为 (1) 1 2

x ? k1? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k n?r ? n?r (2) ? x ? S ,
所以

? 1 , ? 2 ,?, ? n? r 是解空间 S 的一个基, 称为 Ax ? 0 的基础解系.
9

0? ?1 2 2 ? A ? ?1 3 4 ? 2? ? ? ? 1 1 0 2 ? ? , 求 Ax ? 0 的一个基础解系. 例7 设 4? ?1 0 ? 2 行 ? ? x1 ? 2 x 3 ? 4 x 4 A ? ?0 1 2 ? 2? ? ? x ? ?2 x 3 ? 2 x 4 ? ? 0 0 0 0 ? ? 解 , 同解方程组为 ? 2
? 2? ? ? 4? ? ? 2? ? 2? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 0? ? x 3 ? ?1? ?0? ? , ? ? ? ? ? x ? ?0? ?1? 0 ? ? ? 1? ? ? ? ? 4 ? ? 依次取 , 可求得基础解系为 , (3) Ax ? b 解的结构
① A? 1 ? b , A? 2 ? b ? A(?1 ? ? 2 ) ? 0 ? ② A? 1 ? b , A? ? 0 ? A(?1 ? ? ) ? b ? 设 Ax ? 0 的一个基础解系为

?1 ? ? 2 ? S

?1 ? ? 是 Ax ? b 的解

? 1 , ? 2 ,?, ? n? r

? Ax ? b 的特解为? , 一般解为 ? , 则有 ? ? ? ? ? S ? ? ? ? ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn?r? n?r
? ? ? ? ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn?r? n?r

(

? ki ? R )

0? ? 5? ?1 2 2 ? ? ? ? A ? ?1 3 4 ? 2? b ? ?6? ? ? 2? ? 4? ? , 求 Ax ? b 的通解. ?1 1 0 ?, 例8 设 0 5? 4 3? ?1 2 2 ?1 0 ? 2 行 ? ? ? ?A b? ? ?1 3 4 ? 2 6? ? ?0 1 2 ? 2 1? ? ? ? ? ? 1 1 0 2 4 0 0 0 0 0 ? ? ? ? 解
? x1 ? 3 ? 2 x 3 ? 4 x 4 ? ? x2 ? 1 ? 2 x3 ? 2 x4

同解方程组为

? 2? ? ? 4? ? 3? ? ? 2? ? 2? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?2 ? ? ?? ? ? 1? ? 0? ?0? ? ? ? ? ? ? ? 0? , ? 1? ; Ax ? b 特解: ?0? Ax ? 0 基础解系: ? Ax ? b 通解: ? ? ? ? k1? 1 ? k 2? 2 ( ? k1 , k 2 ? R )
例9 设

R( A3×3 ) = 2 , Ax ? b (b ? 0) 的 3 个解 ?1 ,? 2 ,? 3 满足

? 2? ? 3? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 0? ? 1 ? ? 3 ? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ?, ? ? 1? ? , 求 Ax ? b 的通解.

10



R( A) = 2 ?Ax = 0 的基础解系中含有 3 ? 2 ? 1 个解向量
因为

A[(?1 ? ? 2 ) ? (?1 ? ? 3 )] ? 0

? ? 1? ? ? ? (? 1 ? ? 2 ) ? (? 1 ? ? 3 ) ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? 是 Ax ? 0 的基础解系 所以 ? 1? 1 ? ? ? (? 1 ? ? 2 ) ? ? 0? 1 ? ? 2 A[ (? 1 ? ? 2 )] ? b ? ? 1 2 ? ? ? ? 是 Ax ? b 的特解 又
故 Ax ? b 的通解为 x ? ? ? k?
?

(? k ? R) .

例 10

R( An×n ) = r (r < n) , ? 0 ,?1 ,?,? n? r 是 Ax ? b (b ? 0) 的解, 证明: ?1 ? ?0 ,?,? n?r ? ?0 是 Ax ? 0 的基础解系 ? ? 0 ,?1 ,?,? n? r 线性无关.




(1)必要性 设数组 左乘 A , 利用

k 0 , k1 ,?, k n? r 使得 k0?0 ? k1?1 ? ? ? k n?r? n?r ? 0

A? i ? b 可得 (k0 ? k1 ? ? ? k n?r )b ? 0 k ? k1 ? ? ? k n?r ? 0 ? k0 ? ?(k1 ? ? ? k n?r ) 因为 b ? 0 , 所以 0 k1 (?1 ? ?0 ) ? ? ? k n?r (? n?r ? ?0 ) ? 0 由此可得
因为

?1 ? ?0 ,?,? n?r ? ?0 是 Ax ? 0 的基础解系, 所以线性无关, 从而有

k1 ? 0, ?, k n? r ? 0 ? k0 ? 0 ? ,? ,?,? n? r 线性无关. 故 0 1
(2)充分性 设数组 则 因为

A (? i ? ?0 ) ? 0 ? ? i ? ?0 是 Ax ? 0 的解向量

k1 ,?, k n? r 使得 k1 (?1 ? ?0 ) ? ? ? k n?r (? n?r ? ?0 ) ? 0 ? (k1 ? ? ? k n?r )?0 ? k1?1 ? ? ? k n?r? n?r ? 0

? 0 ,?1 ,?,? n? r 线性无关, 所以只有
? (k1 ? ? ? k n?r ) ? 0 , k1 ? 0, ?, k n?r ? 0

故向量组 因此

?1 ? ?0 ,?,? n?r ? ?0 线性无关.

?1 ? ?0 ,?,? n?r ? ?0 是 Ax ? 0 的基础解系.

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