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二面角习题及答案


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二面角 1.如图三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC = 为 2 的正三角形,求二面角 P-AB-C 的大小。 解:由已知条件,D 是 BC 的中点 ∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2 ∴ D 是△ABC 之外心又在 BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形, ∴ AB⊥AC, 又 PC⊥面

ABC ∴ PA⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角, 易求 ∠PAC =30°
2 3

,D 是 BC 的中点,且△ADC 是边长
P

C D B A

3. 如图:ABCD 是矩形,AB =8,BC =4,AC 与 BD 相交于 O 点,P 是平面 ABCD 外一点,PO⊥面 ABCD,PO =4,M 是 PC 的中点,求二面角 M-BD-C 大小。 解:取 OC 之中点 N,则 MN∥PO ∵ PO⊥面 ABCD ∴ MN⊥面 ABCD 且 MN =PO/2 =2, 过 N 作 NR⊥BD 于 R,连 MR, P 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE⊥BD 于 S 1 M 则 RN = CE 在 Rt△BCD 中,CD·BC =BD·CE 2 ∴ ∴
CE ?
RN ?

CD ? BC 8 ? BD 5
4 5
tan?MRN ? MN 5 ? RN 2

D N O A R S B

C



5 ?M R N ?arct an 2

11. 如图,设 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,E、F 分别为 AB、A1B1 的中点,且 AB=2AA1 =2a,AC=BC= 3 a. (1)求证:AF⊥A1C (2)求二面角 C—AF—B 的大小

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分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC=BC,E 为 AB 中点,∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1 为直棱柱,∴CE⊥面 AA1BB 连结 EF,由于 AB=2AA1 ∴AA1FE 为正方形 ∴AF⊥A1E,从而 AF⊥A1C (2)设 AF 与 A1E 交于 O,连结 CO,由于 AF⊥A1E,知 AF⊥面 CEA1 ∴∠COE 即为二面角 C—AF—B 的平面角 ∵AB=2AA1=2a,AC=BC= 3 a
2a 2 2 a ∴CE= 2 a,OE= 2 a,∴tan∠COE= 2 =2.

∴二面角 C—AF—B 的大小是 arctan2. 13. 在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, K ? BB1 , M ? CC1 ,且 平面 AKM 与 ABCD 所成角的大小.
BK ? 1 3 BB1 CM ? CC1 4 4 , ..求:

解析:由于 BCMK 是梯形,则 MK 与 CB 相交于 E.A、E 确定的直线为 l,过 C 作 CF⊥l 于 F,连结 MF,因为 MC⊥平面 ABCD,CF⊥l,故 MF⊥l.∠MFC 是二面角 M-l-C 的平 面角. 设正方体棱长为 a, 则
CF ?
CM ? 3 1 1 a BK ? a EB ? a 4 , 4 . 2 , 在△ECM 中, 由 BK∥CM 可得

3 5 5 5 a tan?MFC ? arctan π ? arctan 5 ,故 4 .因此所求角的大小为 4 或 4 .

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