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第二章《二次函数回顾与思考》(1)


y

x

广东省深圳市松泉中学

巫国辉

回顾与思考
?1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图象来进行描述. ?2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流. ?3.小结作二次函数图象的方法. ?4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向、对称轴和顶

点坐标?请用具体例子进行说明. ?5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系. ?6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.

本课知识小结
二次函数
定义 相关概念 性质和图象 抛物线

对称轴
顶点

开口方向、对称轴、顶点坐标 图象 增减性 三点式 解析式的确定 顶点式 交点式

思索归纳

二次函数 的定义

定义:一般地,形如y=ax?+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.

提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.

随堂练习

1.下列函数中,哪些是二次函数?

怎么判 断?

1 (1)y=3(x-1)?+1; (2) y ? x ? . x (是)
(3) s=3-2t?.
(是)

1 ( 4) y ? 2 . x ?x
(不是)

(不是)

?

(5)y=(x+3)?-x?.
(不是)

二次函数的图象和性质
(一)形如y = ax 二次函数
2

(a≠0) 的二次函数

y = ax 2

开口方向 对称轴 顶点坐标 a > 0 向上 x=0 (0,0) a < 0 向下 (a≠0) 的二次函数 对称轴 顶点坐标

(二)形如y = ax 2+k 二次函数

y = ax 2+k

开口方向 a > 0 向上 a<0

X=0

(0,k)

(三)形如y = a (x-h) 二次函数 y = a(x-h) 2

2

( a≠0 ) 的二次函数 对称轴 顶点坐标

开口方向 a > 0 向上 a<0
2

x=h

(h,0)

(四) 形如y = a (x-h) 二次函数

+k

(a ≠0) 的二次函数 对称轴 顶点坐标

开口方向 a > 0 向上 a<0

y = a(x-h)

2+k

x=h

(h,k)

二次函数y=a(x-h)? +k与y=ax? 的关系
1、平移关系
当h>0时,向右平移

y=ax2

2 当k>0时,向上平移 y=a(x-h)
当k<0时,向下平移

当h<0时,向左平移

y=a(x-h)2+k

2、顶点变化 (0,0) (h,0) (h,k)

观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象,说说y=x26x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的?
6

y=x2-6x+7

5 4

=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
?-4 ? -3 ? -2

3
2 1 ? -1 0 -1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4

-2

巩固练习1: (1)抛物线y = x 2的开口向 上 ,对称轴是y轴 , 顶点坐标是 (0,0),图象过第 一、二 象限 ; (2)已知y = - nx 2 (n>0) , 则图象 ( 不可能 ) Y (填“可能”或“不可能”)过点A(-2,3)。 (3)抛物线y =x 2+3的开口向 上 ,对称 O B X x=0 ,顶点坐标是 (0,3) 轴是 ,是由抛 A 物线y =x 2向 上 平移 3 个单位得到的; (4)已知(如图)抛物线y = ax 2+k的图象, 则a > 0,k < 0;若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ,则a = 0.5 ,k = -2 ;函数关系 式是y = 0.5x 2-2 。

(5)抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向上 , 对称轴 x=1/2 , 顶点坐标是 (1/2,1) (6)若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下,顶 点在第四象限,则a <0, m < 0, n <0。

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

a>0
开口方向
b x?? 当 2a 时 b 4ac ? b 2 (? , ) y随x的增大而增大 2a 4a b x?? b 时 当 x ? ?2a

a<0
向下 ? b 时 当 x ? 2a
b 4ac ? b 2 y随x的增大而减少 (? , ) 2a 4a b
x 当? ?b? 2a x?

向上

顶点
对称轴



增减性
最 值

y随x的增大而减少 当
x?? b 2a

2a

y随x的增大而增大 当 x??
ymax ?

2a



ymin

4ac ? b 2 ? 4a

4ac ? b 4a

b 时 2a 2

1.若无论x取何实数,二次函数y=ax2+bx+c的 值总为负,那么a、c应满足的条件是( C )
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示,请根据图象判断下 列各式的符号:a < 0 ,b < 0,
c > 0 ,? > 0 , a-b+c > 0,a+b+c = 0

3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标 系内的图象大致是( C )

4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0, 请画一个能反映这样特征的二次函数草图.

二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点,通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标(h, k),通常 y=a(x-h)2+k(a≠0) 设抛物线解析式为_______________

3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________

1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点 在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6),求 a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x

2.若a+b+c=0,a?0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析: (1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线

答案:y=-x2+6x-5

3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分 别交于A、B两点,与y轴负半轴交于点C。若 OA=4,OB=1,∠ACB=90°,求抛物线解析式。 解: ∵点A在正半轴,OA=4, ∴点A(4,0) y ∵点B在负半轴, OB=1, ∴点B(-1,0) B O 又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA· OB=4 C ∴OC=2,点C(0,-2) 抛物线的解析式为 1 2 3 y ? x ? x?2 2 2

A x

4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)当x为何值时,y随x的增大而增大?

(2)当x为何值时,y<0? (3)求它的解析式和顶点坐标。
y

O

x

作业:课本复习题1-5


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