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高中数学必修2 知识点与例题


专题一

立体几何之点线面之间的位置关系

考试要求: 1、 熟练掌握点、线、面的概念; 2、 掌握点、线、面的位置关系,以及判定和证明过程; 3、 掌握点、线、面垂直、平行的性质 知识网络:

空间图形的关系

空间基本关系与公理

平行关系

垂直关系

/>
公理

点、线、面的位置关系

判定

性质

应用

判定

性质

应用

知识要点: 1、公理 (1)公理 1:对直线 a 和平面α ,若点 A、B∈a , A、B∈α ,则 (2)公理 2:若两个平面α 、β 有一个公共点 P,则α 、β 有且只有一条过点 P 的公共直线 a (3)公理 3: 不共线的三点可确定一个平面 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ 的范围是 0 <θ ≤90
0 0

1、已知直线 l1 、 2 和 l 3 两两相交,且三线不共点. 求证:直线 1 、 2 和 l 3 在同一平面上.
? C

l

l

l

l2

A

l1 l3 B

2、三个平面将空间分成 k 个部分,求 k 的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论,按条件可将三个平面位置情况分为 5 种:(1)三个 平面相互平行 (2)两个平面相互平行且与第三个平面相交 (3)三个平面两两相交且交线重合 (4)三个平面两两相交且交线平行 (5)三个平面两两相交且交线共 3、已知棱长为 a 的正方体 求证:四边形 是梯形。 中,M、N 分别为 CD、AD 中点。

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4、如图, A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ?ABC , ?ACD 的重心, 求证: GH // BD .

A

G B M

H D N C

5、如图,已知不共面的直线 a, b, c 相交于 O 点, M , P 是直线 a 上的两点, N , Q 分别是 b, c 上的一 点 求证: MN 和 PQ 是异面直线 a
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奎屯 新疆

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奎屯

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M O N

P Q b c

?

D1
6、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则棱 A1B1 所在直线与面对角线 BC1 所在直线间的距离是

A1 D A

C1 B1 C B

直线与平面平行、平面与平面平行 1、 直线与平面的位置关系:平行、相交、在平面内 2、 直线和平面平行的判定及性质 (1) 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行。 (简述为线线平行 线面平行) (2) 性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线就和交线平行。(简述为线面平行 线线平行) 3、 两个平面的位置关系:平行、相交 4、 两个平面平行的判定与性质 (1) 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (2) 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分.叫 做这两个平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离

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P

1、 如图,在三棱锥 P-ABC 中,点Ο 、D 分别是 AC、PC 的中点, 求证: OD//平面 PAB
A O

D

C

B

2、 如图在四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形, 求证:MN//平面 PAD

P

j E N

D

C

A

M

B

3、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD//平面 CB1D1

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

4、在正方形 若 AM=BN=x。

中,已知正方体的棱长为

,M、N 分别在其对角线 AD1 与 DB 上,

(1)求证:MN//平面 CDD1C1; (2)设 MN=y,求 y=f(x)的表达式; (3)求 MN 的最小值,并求此时 x 的值; (4)求 AD1 与 BD 所成的角。

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直线与平面垂直、平面与平面垂直 1、线面垂直的定义 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 垂直,记作 l⊥α 。 2、线面垂直的判定及性质 (1)判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面。 (2)性质 垂直于同一平面的两条直线平行。 3、线面角 直线和平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线 和这个平面所成的角。 特别地,如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它们所成的角是 0°的角, 4、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角 α —l—β 。二面角的取值范围是 。 5、 面面垂直的判定及性质 (1) 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 简述为 “线 面垂直,则面面垂直” 。 (2) 性质 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。 A D 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D.
B C

A1 B1 C1

D1

2、12. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

3、如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面 ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90 ,棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点。 C (1)求 BN 的长; 1 M (2)求 BA1 ,B1C 夹角的余弦值; A1 (3)求证 A1B⊥C1M N C A
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B
1

B

4 、 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 直 角 梯 形 , AB ∥ DC ,

是 PB 的中点。 证明:面 PAD⊥面 PCD

?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= 1 AB =1,M 2

5、已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60?, PD ? 平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点. (1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值.

6. 如图所示,在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过 A 作 PA⊥平面 ABC,AM⊥PB 于 M,AN⊥PC 于 N。 (1)求证:BC⊥面 PAC; (2)求证:PB⊥面 AMN; (3)若 PA=AB=4,设∠BPC=θ ,试用 tanθ 表示△AMN 的面积,当 tan 取何值时,△AMN 的面积最大?最大面积是多少?

θ

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专题二 直线与方程 考试要求: 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率 的计算公式。 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 体会斜截式与一次函数的关系。 4.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 5.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。 知识要点: 一、倾斜角与斜率 知识点 1:当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜 角. 注意: 当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度. 知识点 2:直线的倾斜角 ? (? ? 90?) 的正切值叫做这条直线的斜率.记为 k ? tan ? . 注意: 当直线的倾斜角 ? ? 90? 时,直线的斜率是不存在的
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知识点 3:已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式: k ?

y2 ? y1 . x2 ? x1

知识点 4:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜 率相等,则它们平行,即 l1 // l2 ? k1 = k 2 . 知识点 5:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的 斜率互为负倒数,则它们互相垂直. 1 即 l1 ? l2 ? k1 ? ? ? k1k2 ? ?1 k2 注意: 1. l1 // l2 ? k1 ? k2 或 l1 , l2 的斜率都不存在且不重合.
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2. l1 ? l2 ? k1 k2 ? ?1 或 k1 ? 0 且 l2 的斜率不存在,或 k2 ? 0 且 l1 的斜率不存在. 二、直 线 的 方 程 知识点 6:已知直线 l 经过点 P( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,则方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 为直线的点斜式方程. 注意: ⑴ x 轴所在直线的方程是 , y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是 . ⑶经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是 . 知识点 7:直线 l 与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距.直线 y ? kx ? b 叫做直线的 斜截式方程. 注意:截距 b 就是函数图象与 y 轴交点的纵坐标. 知识点 8:已知直线上两点 P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 且 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则通过这两点的直线方程为 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,由于这个直线方程由两点确定,叫做直线的两点式方程. y2 ? y1 x2 ? x1 知识点 9:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) ,与 y 轴的交点为 B(0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,则直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,叫做直线的截距式方程. a b

注意:直线与 x 轴交点( a ,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距;直线与 y 轴交点(0, b )的 纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距. 知识点 10:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程. 注意: (1)直线一般式能表示平面内的任何一条直线 (2)点 ( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上 ? Ax0 ? By0 ?C ? 0
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3、直线的交点坐标与距离
? A x ? B1 y ? C1 ? 0 两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 ? 1 , ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组有无数组解,则两直线重合;若方程组无解,则两直 线平行.

知识点 11:

2 2 知识点 12:已知平面上两点 P . 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为 OP ? x2 ? y2 . 知识点 13: 已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 则点 P 到直线 l 的距离为:d ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 知识点 14:已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为 A2 ? B 2 知识点 15:巧妙假设直线方程: (1)与 Ax ? By ? C1 ? 0 平行的直线可以假设成: Ax ? By ? C2 ? 0 (C1 和 C2 不相等) (2)与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可以假设成:Bx-Ay+m=0 d? C1 ? C2
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.

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(3)过 l1 :A1x+B1y+C1=0 和 l2 : A2x+B2y+C2=0 交点的直线可以假设成 A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0 (该方程不包括直线 l2 : ) 知识点 16: l1 :A1x+B1y+C1=0 和 l2 : A2x+B2y+C2=0 垂直等价于:A1A2+B1B2=0(A1 和 B1 不全为零;A2 和 B2 不 全为零;) 知识点 17:中点坐标公式: x ?x y ? y1 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点 M ( x, y) ,则 x ? 2 1 , y ? 2 . 2 2 例题解析 例 1. 在第一象限的 ?ABC 中, A(1,1), B(5,1) , ?A ? 60O , ?B ? 45O .求 ⑴ AB 边的方程;⑵ AC 和 BC 所在直线的方程.

例 2.点 (3,9) 关于直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 对称的点的坐标是( A. (?1, ?3) B. (17, ?9) C. ( ?1,3) D. (?17,9)

).

例 3. 求经过直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 7 ? 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

例 4.方程 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0(a ? R) 所表示的直线( A.恒过定点 (?2,3) B.恒过定点 (2,3) C.恒过点 (?2,3) 和 (2,3) D.都是平行直线 例 5.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l2 : ax ? y ? 1 ?a ? 0 . ⑴若 l1 // l2 ,试求 a 的值; ⑵若 l1 ? l2 ,试求 a 的值

).

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例 6 .已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0 , l2 : (a ? 1) x ? y ?b ? 0 ,求分别满足下列条件的 a , b 的值. ⑴直线 l1 过点 (?3, ?1) ,并且直线 l1 与直线 l2 垂直; ⑵直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1 , l2 的距离相等.

例 7. 过点 P(4, 2) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正半轴于 A, B 两点,当 ?AOB 面积最小时,求直线 l 的 方程.

例 8 点 P(x,y)在 x+y-4=0 上,则 x2+y2 最小值为多少?

巩固练习: 1.已知点 (3, m) 到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m ? (
3 3 D. 3 或 ? 3 3 2.已知 P(3, a) 在过 M (2, ?1) 和 N (?3, 4) 的直线上,则 a ?

).

A. 3

B. ? 3

C. ?

. .

3.将直线 y ? ? 3( x ? 2) 绕点 (2, 0) 按顺时针方向旋转 30o ,所得的直线方程是 4.两平行直线 l1 , l2 分别过点 P 1 (1,0) 和 P(0,5) , ⑴若 l1 与 l2 的距离为 5,求两直线的方程; ⑵设 l1 与 l2 之间的距离是 d ,求 d 的取值范围。

5.设直线 l 的方程为 (m ? 2) x ? 3 y ? m ,根据下列条件分别求 m 的值. ⑴ l 在 x 轴上的截距为 ?2 ; ⑵斜率为 ?1 .

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达标测试 一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 1.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是( A. 2 ,



1 3

B. ?2 ,?

1 3

C. ?

1 ,? 3 2

D.-2,-3

2.直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是( A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直



3.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( ) (A)2x-3y=0; (B)x+y+5=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (D)x+y+5 或 x-y+5=0 4.直线 x=3 的倾斜角是( A.0 B. ) D.不存在 )

? 2

C.?

5.圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是( A.(-2,0),2 B.(-2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 6.点(?1,2)关于直线 y = (A) (3,2) x ?1 的对称点的坐标是

(B) (?3,?2) (C) (?3,2)

(D) (3,?2)

7.点(2,1)到直线 3x ?4y + 2 = 0 的距离是 (A)
4 5

( B)

5 4

(C)

4 25

(D)

25 4

8.直线 x ? y ? 3 = 0 的倾斜角是( (A)30° (B)45°

) (D)90°

(C)60°

9.与直线 l:3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为 (A)3x+4y-5=0 (B)3x+4y+5=0 (C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0 10.设 a、b、c 分别为?ABC 中?A、?B、?C 对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与直线 bx-ysinB +sinC=0 的位置关系( ) (A)平行; (B)重合; (C)垂直; (D)相交但不垂直 11.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的 斜率为( ) (A)- ;

1 3

(B)-3;

(C ) ;

1 3

(D)3 ) (D) (2,1)

12.直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时,所有直线都通过定点( (A) (0,0) (B) (0,1) (C) (3,1)

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.直线过原点且倾角的正弦值是

4 ,则直线方程为 5

14.直线 mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为
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15.如果三条直线 mx+y+3=0,x?y?2=0,2x?y+2=0 不能成为一个三角形三边所在的直线,那么 m 的一 . 个 值是_______. . 16.已知两条直线 l1:y=x;l2:ax-y=0(a∈R) ,当两直线夹角在(0, 值范围为 三、解答题(共 48 分) 17. ?ABC 中,点 A ?4,?1?, AB 的中点为 M ?3,2 ?, 重心为 P ?4,2 ?, 求边 BC 的长(12 分)

? )变动时,则 a 的取 12

18.若 a ? N ,又三点 A( a ,0),B(0, a ? 4 ) ,C(1,3)共线,求 a 的值(12 分)

20.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 垂直,求 a 的值(12 分)
2

21 .如图,在 ? ABC 中, ? C=90 , P 为三角形内的一点,且 S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCA ,求证:
O

2 2 2 │ PA│ +│ PB│ =5│ PC│ (12 分)

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专题三 圆与方程 考试要求: 1 掌握圆的定义,圆的标准方程和一般方程; 2 能根据已知条件求圆的方程; 3 会判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系; 4 求圆的切线方程; 5 求弦长切线长。 知识要点: 一.圆的方程: 1).圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,它表示以(a,b)为圆心,以 r 为半径的圆,特别地,当圆心在坐标原 点时,圆的标准方程变为:x2+y2=r2。 2).圆的一般方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),它表示以 ? ?

? D E? , ? ? 为圆心,以 2? ? 2

1 D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆。 2
3).圆与二元二次方程的关系:二元二次方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 表示圆

? A=B≠0,C=0, D 2 ? E 2 ? 4F ? 0
二.点和圆的位置关系:设点 P(x,y)到圆心的距离为 d。点在圆外 ? d>r;点在圆上 ? d=r;点 在圆内 ? d<r。 三.直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系为: 几何法:设圆心到直线的距离为 d, 代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程的判别式为△, 则直线与圆相离 d>r(或△<0); 直线与圆相切 d=r(或△=0);直线与圆相交 d<r(或△>0)。 四.两圆的位置关系:几何法:设两圆的半径分别为 r1,r2,圆心距为 d,则 d> r1+r2 两圆外离; d= r1+r2 两圆外切;|r1-r2|<d<r1+r2 两圆相交;d=|r1-r2| 两圆内切;d<|r1-r2| 两圆内含。 代数法:方程组无解,两圆相离;方程组有唯一解,两圆相切;方程组有两组解,两圆相交。 五.圆中有关计算常用方法 ⒈常用几何法: ①直线被圆截得的弦长 AB ? 2 r ? d (r 为半径,d 为弦心距)
2 2

②过圆 C 外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),则切线长 PA ?

PC ? r 2 (C 为圆心)

2

⒉求过圆 C 外一点 P 待定系数法: 设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , (x 0 , y0 ) 的圆的切线方程求法: 即 kx0 ? y ? y0 ? kx0 ? 0 ,然后用“圆心到切线的距离等于圆的半径”列方程求 k(一般有两个 k, 若只有一个 k,则另一条切线为 x ? x0 )从而写出切线方程。

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一、基础训练 ⒈圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标_________,半径__________; ⒉已知 A(-4,-5),B(6,-1)则以线段 AB 为直径的圆的方程为___________________. ⒊圆(x+1)2+y2=49 和(x-1)2+(y+4)2=4 的位置关系为 ( ) A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 ⒋由点 P(1,3) 引圆 x 2 ? y 2 ? 9 的切线的长是 ⒌若方程 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? a ? 0 表示的曲线是一个圆,则 a 的取值范围是 ⒍点(1,1)在圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4 的内部,求 a 的取值范围 二、典型例题 例1. 求圆心在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程。

练习: 1.求过三点 O(0,0),A(1,0),B(0,1)的圆的方程.

2.求过两圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0和x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点及圆心在直线 x-y-4=0 的 圆的方程。

例2. 圆 C:x +y =1 和过点 P( -1 ,2) 的直线 L ,(1) 若直线 L 与圆 C 相切 , 求直线 L 的方 程;(2) 若直线 L 与圆相交于 A 、 B 两点 , 求直线 L 的斜率范围。

2

2

练习:3.若直线 y=kx+10 与圆 x2+y2=25 相切,求 k 的值.

4.已知直线 x+y-3=0 与圆 x2+y2-2x+4y-11=0 相交于 A,B 两点,求|AB|。

5. 求过点 P(4,6) 且与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 相切的直线方程.

例 3.已知圆 x ? y ? 4 和圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 L 对称,求直线 L 的方程
2 2 2 2

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练习 6.求与圆 C: (x ? 2) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 1关于直线 3x-4y+5=0 对称的圆的方程。

2 例 4.直线 y=x+b 与曲线 x= 1 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围_________

练习 7.曲线 y=1+ 4 ? x 2 与直线 y=k(x-2)+4 有两个相异交点,k 的取值范围( A.(0,



5 ) 12

B.( ,
2 2

1 3 ] 3 4

C.(

5 3 , ] 12 4

D.(

5 ,+∞) 12

例 5.点 P(x,y)满足(x-2) +y =1, 求: (1)

y 的最大值; (2)求 x2 ? y 2 的范围 x

(3)y-x 的最小值.

例 6.已知圆 C: (x-1) +(y-2) =25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

2

2

三、直击高考 1、 已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称. 直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两 点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为________. 2、直线 l 与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? a ? 0(a ? 3) 相交于两点 A,B,弦 AB 的中点为(0,1) ,则直线 l
2 2

的方程为_________.

5) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD , 3、已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3,
2 2

则四边形 ABCD 的面积为( A. 10 6
2 2

) C. 30 6 D. 40 6

B. 20 6

4、已知圆 C: x ? y ? 2x ? ay ? 3 ? 0 (a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的对称点都在 圆 C 上,则 a=________.
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基础知识训练 一、 选择题(每题 3 分,共 54 分) 1、在直角坐标系中,直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( A. )

? 5? 2? C. D. 6 3 3 2 2 2、若圆 C 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( ) 2 2 2 2 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 2 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1
? 6
B. 3、直线 ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a、b、c 应满足( ) A. ab ? 0, bc ? 0 4、已知直线 l1 : y ? B. ab ? 0, bc ? 0 C. ab ? 0, bc ? 0 D. ab ? 0, bc ? 0

1 x ? 2 ,直线 l 2 过点 P(?2,1) ,且 l1 到 l 2 的夹角为 45? ,则直线 l 2 的方程是() 2 1 3 A. y ? x ? 1 B. y ? x ? C. y ? ?3x ? 7 D. y ? 3x ? 7 3 5 5、不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( )
A.左上方 B.右上方
2 2

C.左下方 )

D.左下方 D.相交但不过圆心

6、直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是( A.相交且过圆心 B.相切 C.相离

7、已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则三条边长分别为 a 、 b、 c 的三角形() A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 ) C. ) C. D.不存在

8、过两点 (?1,1)和(3,9) 的直线在 x 轴上的截距是(

3 2 B. ? 2 3 9、点 (0,5) 到直线 y ? 2 x 的距离为(
A. ? A.

2 5
3 2

D.2

5 2

B. 5

D.

5 2

10、下列命题中,正确的是( ) A.点 (0,0) 在区域 x ? y ? 0 内 C.点 (1,0) 在区域 y ? 2 x 内 11、由点 P(1,3) 引圆 x ? y ? 9 的切线的长是 (
2 2

B.点 (0,0) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 D.点 (0,1) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 ) C.1 D.4 )

A.2

B. 19

12、三直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0,4 x ? 3 y ? 10,2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值是( A. ? 2 A. 3或0 B. ? 1 B. ? 3或0 B. ? C.0 C. 3 D.1
?

13、已知直线 l1 : 3x ? y ? 0, l2 : kx ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 到 l 2 的夹角为 60 ,则 k 的值是 ( D. ? 3 ) 14、如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0与直线x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于(

1 2 C. ? D. ? 2 3 3 15、若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 等于( ) 3 2 A. ? 3 B. ? 6 C. ? D. 3 2
A.1
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16、由 y ? x 和圆x 2 ? y 2 ? 4 所围成的较小图形的面积是( A.

)

3? 3? D. 4 2 2 2 17、动点在圆 x ? y ? 1 上移动时,它与定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是(
B. ? C. A. ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

? 4

)

B. ( x ? 3) ? y ? 1
2 2

C. (2 x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 1

D. ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

1 2

二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 19、以点 (1,3)和(5,?1) 为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点 (3,4)且与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是 21、直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0在x、y 轴上的截距分别为

k 2 2 2 23、若方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? a ? 0 表示的曲线是一个圆,则 a 的取值范围是 (2, ? 3), (4,3)及(5, ) 在同一条直线上,则 k 的值等于 22、三点
三、解答题(第 24、25 两题每题 7 分,第 26 题 8 分,第 27 题 9 分,共 31 分) 24、若圆经过点 A(2,0), B(4,0), C (0,2) ,求这个圆的方程。

25、求到两个定点 A(?2,0), B(1,0) 的距离之比等于 2 的点的轨迹方程。

26、求点 A(3,?2) 关于直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 A 的坐标。
'

27、已知圆 C 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) ,求圆 C 的方程。
2 2

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