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湖南省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


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湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)给出下列两 个推理: ①在△ABC 中,若 D 为 BC 的中点,则 若 M 为△BCD 的重心,则 = ( + = ( + ) . + ) ,由此推测:在空间四面体 ABCD 中,

②无根不循环小数都是无理数,因为 e=2.7182818459045?是无限不循环小数,所以 e 是无 理数. 对于上述两个推理,下列判断正确的是() A. ①是类比推理,②是归纳推理 B. ①是类比推理,②是演绎推理 C. ①是归纳推理,②是演绎推理 D. ①是演绎推理,②是类比推理

2. (5 分) 在空间中, 设直线 l 的方向向量为 , 平面 α 的法向量为 , 对于原命题“若 ? =0, 则 l∥α ”,下列判断正确的是() A. 原命题为真,否命题为真 C. 原命题为假,否命题为真 3. (5 分)已知复数 z=3﹣2i﹣ A. 第一象限 B. 第二象限

B. 原命题为假,否命题为假 D. 原命题为真,否命题为假 ,则复数 z 对应复平面上的点 Z 位于() C. 第三象限 D. 第四象限
2

4. (5 分)已知某个车轮旋转的角度 α (弧度)与时间 t(秒)的函数关系是 α = (t≥0) ,则车轮启动后第 1.6 秒时的瞬时角速度是() A. 20π 弧度/ 秒 B. 10π 弧度/秒 C. 8π 弧度/秒 5. (5 分)“ >1”是“函数 f(x)=(3﹣2a) 单调递增”() A. 充分不必要 C. 充分且必要 B. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
x

t

D. 5π 弧度/秒

6. (5 分)从某 5 人中选派 3 人分别参加数学、物理、化学竞赛,每个学科各 1 人,其中甲、 乙两人至多选 1 人参赛,则不同的参赛方案共有() A. 24 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 48 种 7. (5 分)某中学为了解学校办公楼每天的用电量 x(度)与当天最高气温 x(℃)之间的 关系,随机统计了近期某 4 天的有关数据如下表示: 最高气温 x(℃) 10 4 ﹣2 ﹣8 用电量 y(度)20 44 56 80

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 据回归分析,上述 4 线样本数据具有线性相关关系,计算得回归直线的斜率 b=﹣3.2,由回 归方程可以预报最高气温为 6℃时当天的用电量约为() A. 32 度 B. 34 度 C. 36 度 D. 38 度 8. (5 分)口袋里装有大小相同的 3 个白球和 2 个黑球,每次从中不放回随机抽取 1 个球, 连续抽出 2 次,则在第一次抽到白球的条件下,第二次抽到白球的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)已知双曲线 C 与椭圆

+

=1 有相同的焦点 F1、F2,点 P 为双曲线 C 与椭圆的一

个交点,且满足|PF1|=2|PF2|,则双曲线 C 的渐近线方程是() A. y=± x B. y=± x C. y=±x D. y=± x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 10. (5 分)某射手每次射击命中目标的概率都是 0.8,设连续射击 10 次命中目标的次数为 X,则随机变量 X 的方差 D(X)=. 11. (5 分)在(2 ﹣ ) 的展开式中,含 x 项的系数是.
6 2

12. (5 分)设复数 z=1﹣i,若实数 a,b 满足 z +az+b= ,则|a+bi|=. 13. (5 分)对任意给定的实常数 a,设命题 p:方程 ax +(a﹣2)y =1 的曲线是双曲线;命 题 q:? x0>0,x0+a﹣1=0,若“p∧(¬q)”为真命题,则 a 的取值范围是. 14. (5 分)当 x∈[﹣1,1]时,函数 f(x)=e (sinx﹣cosx)的最小值是.
x 2 2

2

15. (5 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)长轴的两端点分别为 A、B,点 M 在椭圆上,若直

线 AM 与 BM 的斜率之积为﹣ ,则椭圆的离心率为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为 和 ,假设两人射击相 互独立,且每人各次射击互不影响. (Ⅰ)若甲、乙两人各射击 1 次,求至少有一个命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙两人各射击 4 次,求甲命中目标 2 次,且乙命中目标 3 次的概率.

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17. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥底面 ABC,AB⊥AC,E 分别是 A1B1 ,CC1 的中点. (Ⅰ)用基向量 , , 表示向量 ;

(Ⅱ)若 AB=AC=AA1=1,求直线 DE 与平面 AB1C1 所成角的正弦值.

18. (12 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1?an﹣2an+1=0(n∈N ) . n (Ⅰ)猜测数列{a }的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论; (Ⅱ)设 n,k 为任意两个正整数,用反证法证明: 与 中至少有一个小于 2.

*

19. (13 分)对某中学 2014-2015 学年高二某班 40 名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查, 将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示. (Ⅰ)根据图中相关数据完成以下 2×2 列联表;并计算在犯错误的概率不超过多少的前提 下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”? 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计 男 女 总计 40 (Ⅱ)从该班所有女生中随机选取 2 人交流学习体会,求这 2 人中喜欢数学课程的人数 X 的分布列和数学期望. 参考公式:K = 临界值附表: 2 P(K ≥k0) 0.5 k0 0.455
2



0.4 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.1 2.706

0.01 6.635

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20. (13 分)在平面直角坐标系中,已知三定点 A(1,2) ,B(1,﹣2)和 P(3,2) ,O 为 坐标原点,设满足| + |= ? +2 的动点 M 的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过曲线 C 的焦点 F 作倾斜角为 α (α 为锐角)的直线 l,交曲线 C 于 D、E 两点,线 段 DE 的垂直平分线交 x 轴于点 T,试推断当 α 变化时,|FT|?(1﹣cos2α )是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

21. (13 分)已知函数 f(x)=lnx+

,其中 a 为实常数.

(Ⅰ)当 a=1 时,计算由曲线 y=f(x)﹣lnx 和直线 x=0,x=2 以及 x 轴所围图形的面积 S; (Ⅱ)若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 a 的取范围; (Ⅲ)若 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2,当 x>0 时,比较 与

的大小.

湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)给出下列两个推理: ①在△ABC 中,若 D 为 BC 的中点,则 若 M 为△BCD 的重心,则 = ( + = ( + ) . + ) ,由此推测:在空间四面体 ABCD 中,

②无根不循环小数都是无理数,因为 e=2.7182818459045?是无限不循环小数,所以 e 是无 理数. 对于上述两个推理,下列判断正确的是() A. ①是类比推理,②是归纳推理 B. ①是类比推理,②是演绎推理 C. ①是归纳推理,②是演绎推理 D. ①是演绎推理,②是类比推理 考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据类比推理,演绎推理的定义,对两个推理进行判断即可得出正确选项. 解答: 解:平面结论推广到空间是类比推理,三段论是演绎推理, 故选 B. 点评: 考查类比推理,演绎推理的定义,理解定义,运用定义,套准定义是解题的关键.

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2. (5 分) 在空间中, 设直线 l 的方向向量为 , 平面 α 的法向量为 , 对于原命题“若 ? =0, 则 l∥α ”,下列判断正确的是() A. 原命题为真,否命题为真 C. 原命题为假,否命题为真

B. 原命题为假,否命题为假 D. 原命题为真,否命题为假

考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题的 条件与结论,判定命题是否为真,再根据逆命题的定义写出逆命题判 定逆命题的真假; 然后根据命题与其逆否命题的同真性判定, 否命题与逆否命题的真假即可. 解答: 解:“若 ? =0,则 ⊥ ,得到 l∥α ,或 l? α ,所以原命题为假命题, 若 l∥α ”则 ⊥ ,得到 ? =0,所以逆命题为真命题,从而否命题为真, 故选:C. 点评: 本题考查四种命题的真假关系.命题与逆否命题同真、同假. 3. (5 分)已知复数 z=3﹣2i﹣ A. 第一象限 B. 第二象限 ,则复数 z 对应复平面上的点 Z 位于() C. 第三象限 D. 第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标得答案. 解答: 解:∵z=3﹣2i﹣ = =3﹣

2i+1﹣2i=4﹣4i, ∴复数 z 对应复平面上的点 Z 的坐标为(4,﹣4) ,位于第四象限. 故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的代数表示法及其几何意义, 是 基础题. 4. (5 分)已知某个车轮旋转的角度 α (弧度)与时间 t(秒)的函数关系是 α = (t≥0) ,则车轮启动后第 1.6 秒时的瞬时角速度是() A. 20π 弧度/秒 B. 10π 弧度/秒 C. 8π 弧度/秒 考点: 实际问题中导数的意义. 专题: 导数的综合应用. 分析: 直接利用函数的导数的几何意义求解即可. 解答: 解:由题意可得 α ′= =10π . ,车轮启动后第 1.6 秒时的瞬时角速度:
2

t

D. 5π 弧度/秒

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:B. 点评: 他考查函数的导数的应用,注意导数的几何意义是解题的关键,考查计算能力.
x

5. (5 分)“ >1”是“函数 f(x)=(3﹣2a) 单调递增”() A. 充分不必要 C. 充分且必要 B. 必要不充分 D. 既不充分也不必要

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件,进行判断即可. 解答: 解:由 >1 得 0<a<1, 若函数 f(x)=(3﹣2a) 单调递增, 则 3﹣2a>1, 解得 a<1, 故“ >1”是“函数 f(x)=(3﹣2a) 单调递增”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据不等式的关系以及指数函数的性质 是解决本题的关键. 6. (5 分)从某 5 人中选派 3 人分别参加数学、物理、化学竞赛,每个学科各 1 人,其中甲、 乙两人至多选 1 人参赛,则不同的参赛方案共有() A. 24 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 48 种 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 根据题意,分 2 种情况讨论:①、甲乙两人中有 1 人参加竞赛,可以分 3 步进行分 析先在甲乙中选取 1 人,在剩余 3 人选取 2 人,将选出的人对应三科竞赛;求出每一步的情 况数目,由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目;②、甲乙都不参加竞赛,只 需将剩余 3 人,对应参加三科竞赛,有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目;最后由 分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 种情况讨论: ①、甲乙两人中有 1 人参加竞赛, 2 先在甲乙中选取 1 人,有 2 种选法;在剩余 3 人选取 2 人,有 C3 =3 种选法;将选出的人对 3 应三科竞赛,有 A3 =6 种情况, 则此时有 2×3×6=36 种选法; ②、甲乙都不参加竞赛, 3 只需将剩余 3 人,对应参加三科竞赛,有 A3 =6 种情况, 则一共有 36+6=42 种不同的参赛方案; 故选 C. 点评: 本题考查排列、组合的应用,解题时注意分析“甲、乙两人至多选 1 人参赛” 的 条件,明确分类讨论的思路.
x x

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7. (5 分)某中学为了解学校办公楼每天的用电量 x(度)与当天最高气温 x(℃)之间的 关系,随机统计了近期某 4 天的有关数据如下表示: 最高气温 x(℃) 10 4 ﹣2 ﹣8 用电量 y(度)20 44 56 80 据回归分析,上述 4 线样本数据具有线性相关关系,计算得回归直线的斜率 b=﹣3.2,由回 归方程可以预报最高气温为 6℃时当天的用电量约为() A. 32 度 B. 34 度 C. 36 度 D. 38 度 考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出 x,y 的平均数,根据所给的线性回归方程知道 b 的值,根据样本中心点 满足线性回归方程,把样本中心点代入,得到关于 a 的一元一次方程,解方程求出 a 值,再 将 x=6 代入可得答案. 解答: 解: 由表格知样本中心点为 则回归方程是 =﹣3.2x+a, 将(1,50)点代入得:a=53.2, 则回归方程是 =﹣3.2x+53.2, 则当 x=6 时,y 的预测值为 , ,

故选:B. 点评: 本题考查回归分析, 考查样本中心点满足回归直线的方程, 考查求一组数据的平均 数,是一个运算量比较小的题目. 8. (5 分)口袋里装有大小相同的 3 个白球和 2 个黑球,每次从中不放回随机抽取 1 个球, 连续抽出 2 次,则在第一次抽到白球的条件下,第二次抽到白球的概率为() A. B. C. D.

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 设已知第一次取出的是白球为事件 A,第二次也取到白球为事件 B,先求出 n(A) , n(AB)的种数,然后利用条件概率公式进行计算即可. 解答: 解:设第一次抽到白球为事件 A,第二次抽到白球为事件 B, 则 n(A)= 所以 P(B|A)= =12,n(AB)= = = . =6,

点评: 本题主要考查条件概率的求法,熟练掌握条件概率的概率公式是关键.

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9. (5 分)已知双曲线 C 与椭圆

+

=1 有相同的焦点 F1、F2,点 P 为双曲线 C 与椭圆的一

个交点,且满足|PF1|=2|PF2|,则双曲线 C 的渐近线方程是() A. y=± x B. y=± x C. y=±x D. y=± x

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可. 解答: 解:由椭圆定义可知:|PF1|+|PF2|=6, 又∵|PF1|=2|PF2|,∴3|PF2|=6,即|PF2|=2, 由双曲线定义可知:|PF1|﹣|PF2|=2a, 又∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2a,即 a=1, 由已知,双曲线的焦半距 c=2,则 b= , ∴双曲线的渐近线方程为:y=± x, 故选:A. 点评: 本题考查求椭圆的离心率,注意解题方法的积累,属于基础题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 10. (5 分)某射手每次射击命中目标的概率都是 0.8,设连续射击 10 次命中目标的次数为 X,则随机变量 X 的方差 D(X)=1.6. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意可判断 n 次独立重复试验问题,X 服从 B(10,0.8) ,二项分布问题,根 据方差求解即可. 解答: 解:∵根据题意可判断:X 服从 B(10,0.8) , ∴则随机变量 X 的方差 D(X)=10×0.8×0.2=1.6, 故答案为 1.6 点评: 本题主要考查了 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率, 以及离散型随机变量的 放出,同时考查了计算能力,属于中档题 11. (5 分)在(2 ﹣ ) 的展开式中,含 x 项的系数是﹣192.
6 2

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 2 分析: 写出二项展开式的通项,由 x 的次数为 2 求得 r 值,则含 x 项的系数可求. 解答: 解:∵ 由 3﹣r=2,得 r=1. ∴含 x 项的系数是﹣ 故答案为:﹣192.
2

=



×2 =﹣192.

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了二项式系数的性质, 关键是对二项展开式通项的记忆与运用, 是基础题. 12. (5 分)设复数 z=1﹣i,若实数 a,b 满足 z +az+b= ,则|a+bi|=5. 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把 z=1﹣i 代入 z +az+b= ,整理后利用复数相等的条件求得 a,b,再由复数模的 计算公式得答案. 解答: 解:由 z=1﹣i,且 z +az+b= ,得 2 (1﹣i) +a(1﹣i)+b=1+i,即﹣2i+a﹣ai+b=1+i, ∴a+b﹣(a+2)i=1+i. ,解得 a=﹣3,b=4. 故 a+bi=﹣3+4i. ∴|a+bi|= .
2 2 2

故答案为:5. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算, 考查了复数相等的条件及复数模的求法, 是 基础题. 13. (5 分)对任意给定的实常数 a,设命题 p:方程 ax +(a﹣2)y =1 的曲线是双曲线;命 题 q:? x0>0,x0+a﹣1=0,若“p∧(¬q)”为真命题,则 a 的取值范围是[1,2) . 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 若 p∧(¬q)为真,则 p 真,q 假,然后分别求出 p,q 为真命题的等价条件即可. 解答: 解:∵“p∧(¬q)”为真命题, ∴p 真,q 假, 若命题 p 为真,则 a(a﹣2)<0,即 0<a<2, 若命题¬q 为真,? x>0,x+a﹣1≠0,则 1﹣a≤0,即 a≥1, ∴ ,
2 2

解得 1≤a<2 故 a 的取值范围为[1,2) . 故答案为:[1,2) . 点评: 本题主要考查复合命题的应用,要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系. 14. (5 分)当 x∈[﹣1,1]时,函数 f(x)=e (sinx﹣cosx)的最小值是﹣1. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数 f(x)的导数,求得 f(x)在(﹣1,1)内的单调区间,即可得到极小 值,也为最小值. x 解答: 解:函数 f(x)=e (sinx﹣cosx)的导数为 x x f′(x)=e (sinx﹣cosx)+e (cosx+sinx)
x

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =2e sinx(x∈[﹣1,1]) , 由 f′(x)>0,可得 0<x<1,即 f(x)在(0,1)递增, 由 f′(x)<0,可得﹣1<x<0,即 f(x)在(﹣1,0)递减. 即有 x=0 处 f(x)取得极小值,也为最小值,且为﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,正确求导是解题的关键.
x

15. (5 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)长轴的两端点分别为 A、B,点 M 在椭圆上,若直

线 AM 与 BM 的斜率之积为﹣ ,则椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过设点 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,M(m,n) ,利用 kAM?kBM=﹣ 及 即得结论. 解答: 解:设点 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,M(m,n) , 则 kAM?kBM= ? = =﹣ , ,计算





∴n =b (1﹣

2

2

)=

(a ﹣m ) ,即

2

2

=﹣

=﹣ ,



= ,则 e= =

=

= ,

故答案为: . 点评: 本题考查求椭圆的离心率,注意解题方法的积累,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为 和 ,假设两人射击相 互独立,且每人各次射击互不影响. (Ⅰ)若甲、乙两人各射击 1 次,求至少有一个命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙两人各射击 4 次,求甲命中目标 2 次,且乙命中目标 3 次的概率. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率, 再用 1 减去此概率的值,即为所求. (Ⅱ)由条件根据 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式,求得甲命中目标 2 次,且 乙命中目标 3 次的概率. 解答: 解: (Ⅰ)若甲、乙两人各射击 1 次,由题意可得他们都没有击中目标的概率为(1 ﹣ )?(1﹣ )= , = .

故至少有一个命中目标的概率为 1﹣

(Ⅱ)若甲、乙两人各射击 4 次,则甲命中目标 2 次,且乙命中目标 3 次的概率为 ? ? ? ? ?(1﹣ )= .

点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,以及 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式,事件和它的对立事件概率之间的关系,属于基础题. 17. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥底面 ABC,AB⊥AC,E 分别是 A1B1,CC1 的中点. (Ⅰ)用基向量 , , 表示向量 ;

(Ⅱ)若 AB=AC=AA1=1,求直线 DE 与平面 AB1C1 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;空间向量的基本定理及其意义. 专题: 空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)利用向量的分解和合成表示向量 .

(Ⅱ)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,利用向量的数量积求出线面间的正弦值 解答: 解: (Ⅰ) = = (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,则点 B1(1,0,1)C1(0,1,1)D( ,0,1) ,E (0,1,2) 设 为平面 AB1C1 的法向量,则 =

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因为 取 x=1,则 则 ,

因为

,则

所以直线 DE 与平面 AB1C1 所成的角的正弦值为

点评: 本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用, 属常考 题型、中档题. 18. (12 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1?an﹣2an+1=0(n∈N ) . n (Ⅰ)猜测数列{a }的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论; (Ⅱ)设 n,k 为任意两个正整数,用反证法证明: 与 中至少有一个小于 2.
*

考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)先猜想通项公式,利用数学归纳法证明. (Ⅱ)先假设(Ⅱ)假设 ,且 ,因为 an,ak>0,利用两式子加和后的

式子退出与已知矛盾,得出原命题成立. 解答: 解: (Ⅰ)由已知, ,又 a1=2,则 a2=2﹣

a3=2﹣

,a4=2﹣

,由此可猜想: ,所以猜想正确.

证明: (1)当 n=1 时,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)假设当 n=k(k≥1,k∈Z)时,猜想成立,即



=

,即当 n=k+1 时也成立.

结合(1) (2)可知,数列{an}的递推公式是

(Ⅱ)假设

,且

,因为 an,ak>0

则 1+an>2an,且 1+ak>2an,两式相加得, (1+an)+(1 +ak)≥2an+2ak,即 an+ak≤2 因为 >1,则:ak+an>2,矛盾.

所以假设不成立,即:



中至少有一个小于 2.

点评: 本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用, 2015 届高考经常涉及, 属中档题型. 19. (13 分)对某中学 2014-2015 学年高二某班 40 名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查, 将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示. (Ⅰ)根据图中相关数据完成以下 2×2 列联表;并计算在犯错误的概率不超过多少的前提 下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”? 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计 男 女 总计 40 (Ⅱ)从该班所有女生中随机选取 2 人交流学习体会,求这 2 人中喜欢数学课程的人数 X 的分布列和数学期望. 参考公式:K = 临界值附表: 2 P(K ≥k0) 0.5 k0 0.455
2



0.4 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.1 2.706

0.01 6.635

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 离散型随机变量及其分布列;独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据条形图所给数据,得 2×2 列联表;根据列联表所给的数据,代入求观 测值的公式,求出观测值,即可得出结论. (Ⅱ)X 的取值为 0,1,2,求出相应的概率,即可求这 2 人中喜欢数学课程的人数 X 的分 布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)根据条形图所给数据,得 2×2 列联表为 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计 男 15 10 25 女 5 10 15 总计 20 20 40 因为 K =
2

≈2.667>2.072,P(K ≥2.072)=0.15

2

故在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”; (Ⅱ)X 的取值为 0,1,2,则 P(X=0)= X 的分布列 X P EX=0× +1× +2× = . = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,

0

1

2

点评: 本题考查独立性检验的应用, 考查分布列和数学期望, 本题解题的关键是正确利用 观测值公式求出观测值,求概率. 20. (13 分)在平面直角坐标系中,已知三定点 A(1,2) ,B(1,﹣2)和 P(3,2) ,O 为 坐标原点,设满足| + |= ? +2 的动点 M 的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过曲线 C 的焦点 F 作倾斜角为 α (α 为锐角)的直线 l,交曲线 C 于 D、E 两点,线 段 DE 的垂直平分线交 x 轴于点 T,试推断当 α 变化时,|FT|?(1﹣cos2α )是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)利用向量由| + |= ? +2 得到点 M 的轨迹方程.

(Ⅱ)曲线 C 的焦点为 F(1,0)则直线 AB 的方程为 y=tanα (x﹣1) ,直线和抛物线联立 求得方程,利用韦达定理列得 条件,根据题目条件列式求解. 解答: 解: (Ⅰ)设 M(x,y)则 ,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 从而 则 由已知, ,则(x﹣1) +y =(x+1) ,即 y =4x.
2 2 2 2

,所以|

|=

,又



(Ⅱ)曲线 C 的焦点为 F(1,0)则直线 AB 的方程为 y=tanα (x﹣1) 联立 y =4x,消去 x,得 y=tanα ( 即 y tanα ﹣4y﹣4tanα =0, 设点 D(x1,y1) ,E(x2,y2) 则 y1+y2= ,x1+x2= ,
2 2

) ,

所以线段 DE 的垂直平分线方程为

令 y=0,得 x=

,所以点 T(



故|FT|=(1﹣cos2α )=(
2

) (1﹣cos2α )=2(



2sin α =4 为定值. 点评: 本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题, 属于中档题型 , 在 2015 届高考中属常考题型.

21. (13 分)已知函数 f(x)=lnx+

,其中 a 为实常数.

(Ⅰ)当 a=1 时,计算由曲线 y=f(x)﹣lnx 和直线 x=0,x=2 以及 x 轴所围图形的面积 S; (Ⅱ)若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 a 的取范围; (Ⅲ)若 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2,当 x>0 时,比较 与

的大小.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据定积分的几何意义即可求出面积 s, (Ⅱ)先求导,再分离参数,利用基本不等式即可求出 a 的范围; (Ⅲ)根据零点即是导数等于 0 时的方程的根,根据根与系数的关系得到 x1x2=1,化简整理 f( x1)+f(x2) ,再根据做差法比较大小,需要构造函数 g(x)=x﹣lnx﹣1,利用导数求出 函数的最小值,问题得以证明.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx+ y=f(x)﹣lnx= ∴S= dx= >0, (1﹣ )dx=[x﹣ln(x+1)]| =2﹣ln3; ,

(Ⅱ)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f′(x)= + ≥0 恒成立,

∴a≥﹣ ∵x+ +2≥2

=﹣(x+ +2) , +2=4,当且仅当 x=1 时取等号,

∴a≥﹣4, 故 a 的取范围为[﹣4,+∞) ; (Ⅲ)由(Ⅱ)知 f′(x)= + 令 f′(x)=0, 2 得到 x +(a+2)x+1=0, 由题意得 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=1, ∴f(x1)+f(x2) =lnx1+ +lnx2+ =lnx1x2+ + =a =a? =a, ,

于是 设 g(x)=x﹣lnx﹣1, 则 g′(x)=1﹣ =



=



=



当 g′(x)< 0 时,即 0<x<1,在 g(x)在(0,1)上单调递减, 当 g′(x)>0 时,即 x>1,在 g(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=0, ∴当 x∈(0,+∞)时,x﹣lnx﹣1>0, 故 ≥ ,当且仅当 x=1 时取等号.

点评: 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系, 以及函数恒成立, 不等 式的证明等问题,考查了转化能力,运算能力,属于难题.


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