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3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示


3.1.4—3.1.5 空间向量的坐标表示

从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴,这 样就建立了空间直角坐 标系0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面,分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面.

空间直角坐标系的画法:
z

1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴.
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同, o

x轴上的单位长度为y轴(或z 轴)的单位长度的一半.

1350

y

x

有了空间直角坐标系,那空间中的 任意一点A怎样来表示它的坐标呢?
z

c

o
a

b

A (a,b,c)

y

经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴, 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点,三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序实数对(a,b,c)叫做 点A的坐标

x

记为:A(a,b,c)

在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么 特点?
1.x轴上的点横 坐标就是与x轴交 z 点的坐标,纵坐标 B(0, y , z ) 和竖坐标都是0. R(0,0, z ) 2.xoy坐标平面 ? M ( x, y, z ) C ( x , o, z ) 内的点的竖坐标为 O(0,0,0) y 0,横坐标与纵坐 o Q(0, y ,0) 标分别是点向两轴 A( x , y ,0) x P ( x ,0,0) 作垂线交点的坐标.

练习.如图,已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点A为坐标 原点,射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.
z
A` B` B D`

O A

C` D

y
C

x

单位正交基底: 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直,且大小都为1,那么这个基底叫做单位正交 基底,常用 {i , j , k } 来表示.

k

空间向量

?i , j, k? 为基底
一一对应

i

j
有序实数组 ( x, y, z )

p

p ? xi ? y j ? zk

因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系

空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i ,

j , k } 以点O为原

点,分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴, 这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴,都叫 做叫做坐标轴,点O 叫做原点,向量 i , j , k都叫做坐标向量.通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.

对空间任一向量 数组

a

,由空间

z a k i
Oj

向量基本定理,存在唯一的有序实

A(a1 , a2 , a3 )
y

(a1 , a2 , a3 ),使 a ? a1 i ? a2 j ? a3 k .

有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就 叫做 a 在这一空间直角坐标系 x 下的坐标. 记为 a ? (a , a , a ) . 1 2 3

以 i , j , k 为单位正交基底

z

?

?

z

建立空间直角坐标系O—xyz
P ( x, y, z )
k

?

i , j , k? 为基底 ? ( x, y, z ) p

p ? xi ? y j ? zk

x

i

O?

y

j

x

记 p ? ( x, y, z ) y OP ? ( x , y , z ) ? P ( x, y, z )

若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示 ,而且 也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行 有关判断.
设a ? (a1,a2,a3 ),b ? (b1,b2,b3 ),则
a ?b ? ;

a ?b ?

;

?a ?
a // b ?

;
; .

a // b且a、b均各坐标值非0 ?
规定:0 ? a ? 0

思考: 0 ? a ? ?? (0,0,0)

1.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

2.空间向量数量积的坐标表示:
设空间两个非零向量 a ? ( x1,y1,z1 ),b ? ( x2,y2,z2 ),

则a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2
3.长度的计算 已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ?
x2 ? y2 ? z2
4.空间两点间的距离公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、B( x2 , y2 , z2 ) ,则
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2
注:此公式的 几何意义是表 示长方体的对 角线的长度。

5.角度的计算 已知空间两非零向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b ?
a?b a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

注意:(1)当 cos ? a , b ?? 1时, a 与 b 同向;
(2)当 cos ? a , b ?? ?1时, a 与 b 反向; (3)当cos ? a , b ?? 0 时, a ? b 。
6.空间两非零向量垂直的条件

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0
思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0 时,

的夹角在什么范围内?

练习:已知

? ? a ? (2,?3,5),b ? (?3,1,?4),


解:

? ? ? ? ? ? ? a ? b , a ? b ,8a, a ? b

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1)

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9)

8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40) a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? ?29

练习:
1.求下列两点间的距离:
(1) A(1,1, 0) , B (1,1,1) ; (2) C (?3 ,1, 5) , D (0 , ? 2 , 3) .

2.求下列两个向量的夹角的余弦:
(1) a ? (2 , ? 3 , 3),b ? (1, 0 , 0) ; (2) a ? (?1, ? 1,1),b ? (?1, 0 ,1) ;

ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , 3.已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________;
4. Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x,0,1) ,则 x ? ____; 2

例题:
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ,求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则

A

M

B
O

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

1 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB) ? ? (3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ?? ? ? 2 , , 3? , ? ? 2 2 ? 2 ?

AB ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 .

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。

解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例2:已知两点( A 1, 2, 3),( B 2, 1, 2),( P 11 , , 2),点Q在 OP上运动,求当QA QB取得最小值时,点Q的坐标。

设OQ ? ?OP ? (?, ?, 2? ),
?QA QB ? 6? ?16? ? 10
2

4 2 ?当? ? 时, QA QB取得最小值 ? 。 3 3

4 4 8 此时Q ( , ,) 3 3 3

例3

B1 E1 ? 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

z

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

D1 A1

F1

? 1 ? D (0 , 0 , 0) , F 0 , , 1 . 1? ? D C y ? 4 ? O 1 ? ? 3 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , A B 4 ? ? 4 ? ? x ? 1 ? 15 ? 1? 1 ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 BE1 DF1 15 16 17 17 ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . | BE1 |? , | DF1 |? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 4.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是 BB1 , D1 B1 中点,求证: EF ? DA1

证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ,
1 1 1 E (1 , 1 , ) F ( , , 1) 则 , 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 , 1)
1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

例5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,, CD中点,求证:D1F ? 平面ADE
以DA??, ??DC??,??DD1为单位正交 证明:设正方体棱长为1, 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得:

1 DA ? (1, 0, 0), DE ? (1,1, , ) 2 1 因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以D1 F ? DA ? 0??, ??

D1

z

C1 B1 E

A1

???????? D1 F ? DE ? 0

D

即D1F ? DA??, ??D1F ? DE 又DE DA ? D 所以 D1 F ? 平面ADE

F B

C y

A
x

例:如图,在直三棱柱ABC -A1 B1C1中,?ACB =900, ?BAC =30 ,BC =1,A1 A= 6,M 是棱CC1的中点。
0

求证:A1 B ? AM。
z
B1 C1
A1 A1 M C1

z
B1

y
B

y
M A C

x
x
A

C

B

练习:
z
C1 A1 M B1

N C

建立空间直角坐 标系来解题。

A

B

x

y

学习小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐 标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。


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