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江苏省2013-2014学年第二学期期末考试高一数学试卷


江苏省 2013-2014 学年第二学期期末考试 高一数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. cos600 的值是 2.化简 AB ? BD ? AC ? CD ? 3.函数 y ?
0

. . . . 象限.

1 ? log 2 ? x ? 3? 的定义域是 x

4.函数 y ? tan( 5.若 ?

?

x ? ) 的最小正周期是 2 3

?

π ? α ? 0 ,则点 (tanα, cosα) 位于第 2

6.函数 f ? x ? ? 1 ? cos x( x ? R), 取最大值时 x 的值是 7.若函数 f ( x) ? x 3 ? ( )

.

1 2

x?2

的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ), 则 n ? _________. .

8.函数 y ? ?( x ? 5) | x | 的递增区间是 9.为了得到函数 y ? sin(2 x ? 10.若 a ? 1, b ?

? )的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移个___长度单位. 3

2 ,且 a ? b ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为


?

?



11.已知扇形的周长为 8cm ,则该扇形的面积 S 的最大值为 12.设? ? 0, 若函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 [ ?

? ?

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是________. 3 4

13.如图,在△ ABC 中, AD ? AB, BC ? 2BD, AD ? 1, 则 AC ? AD ? ________. A

B

D

C

14.在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(?a, ?b) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,那么称 ? A, B? 为函数 f ( x )

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? ? ?sin x, x ? 0 的一组关于原点的中心对称点( ? A, B? 与 ? B, A? 看作一组).函数 g ( x) ? ? 关于原点的中 2 ? ?log 4 ( x ? 1), x ? 0
心对称点的组数为 . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 80 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. ) 15.A、B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限.记 ?AOB ? ? 且

4 . 5 (1)求 B 点坐标; sin ? ?

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(2)求

?
2

??)
的值.

2 cos(? ? ? )

16.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? . (1)若 ? a ? kc ? ? 2b ? a ,求实数 k; (2)若向量 d 满足 d / / c ,且 d ? 34 ,求向量 d .

?

?

17.已知函数 f ( x) ? x ? 2sin ? ? x ?1 ( ? 为常数) , x ? [?
2

3 1 , ]. 2 2

(1)若 f ( x ) 在 x ? [?

3 1 , ] 上是单调增函数,求 ? 的取值范围; 2 2

第 2 页 共 10 页

(2)当 ? ? ? 0, ? 时,求 f ( x ) 的最小值. ? 2?

? ??

18. 已知 ?OAB 的顶点坐标为 O (0, 0) , A(2,9) , B(6, ?3) , 点 P 的横坐标为 14, 且O P ?? P B ,点 Q 是边

AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 .
(1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标; (3)若 R 为线段 OQ (含端点)上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB) 的取值范围.

19.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? h ( A ? 0,? ? 0, ? ? ? ) .在一个周期内,当 x ? 值 6 ,当 x ?

?
12

时, y 取得最大

7? 时, y 取得最小值 0 . 12

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间与对称中心坐标; (3)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,函数 y ? mf ( x) ?1 的图像与 x 轴有交点,求实数 m 的取值范围. , ? 12 6 ? ?
第 3 页 共 10 页

20. 定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 f ( x) ? M 成立,则称

f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的一个上界.
已知函数 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1 (1)若函数 g ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f ( x ) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

?1? ?2?

x

?1? ?4?

x

1 ? ax . 2 x ?1

5 3

参考答案 一、填空题(14*5 分) 1、 ?

1 2

2、 0 4、2 6、 ? ? 2k? , k ? Z

3、 (?3,0) ? (0, ??)

5、二

7、1

8、 (0, )

5 2

9、

? 6

10、

? 4

第 4 页 共 10 页

11、4

12、 (0 ,1.5]_

13、2

14、1

二、解答题 15、 (12 分) 解: (1) B ( ? , ) (2) ?

3 4 5 5

5 3

16、 (12 分) 解: (1) k ? ?

11 18

(2) d ? (4 2, 2) 或 (?4 2, ? 2)

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17、 (12 分) 解: (1) ? ? ?

2? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? , k ? Z ; 3 ?3 ?

(2) f ( x) min

? 1 ?? ? ? ?? 3 sin ? ? 4 , ? ? ? 3 , 2 ? ? ? ? . ?? ? ? ? ?? sin 2 ? ? 1, ? ? 0, ? ? ? ? 3? ?

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18、 (14 分)
座位号

解:(1)设 P(14, y ) ,则 OP ? (14, y), PB ? (?8, ?3 ? y) ,由

7 OP ? ? PB ,得 (14, y) ? ? (?8, ?3 ? y) ,解得 ? ? ? , y ? ?7 ,所以 4
点 P(14, ?7) 。 (2)设点 Q (a, b) ,则 OQ ? (a, b) ,又 AP ? (12, ?16) ,则由

OQ ? AP ? 0 ,得 3a ? 4b ①又点 Q 在边 AB 上,所以
即 3a ? b ? 15 ? 0 ② 联立①②,解得 a ? 4, b ? 3 ,所以点 Q(4,3)

12 b ? 3 ? , ?4 a ? 6

(3)因为 R 为线段 OQ 上的一个动点, 故设 R(4t ,3t ) , 且0 ? t ?1, 则 RO ? (?4t , ?3t ) , RA ? (2 ? 4t ,9 ? 3t ) , RB ? (6 ? 4t , ?3 ? 3t ) ,

RA+RB ? (8 ? 8t,6 ? 6t )





2 第t 7 ? 页 共 10 50 t (0 ?页 t ? 1) ,故 RO ? (RA ? RB) ? ?4t (8 ? 8t ) ? 3t (6 ? 6t ) ? 50

RO ? (RA ? RB) 的取值范围为 [ ?

25 , 0] . 2

19、 (14 分) 解: (1) f ( x) ? 3sin(2 x ? ( 2 ) 递 增 区 间 ??

?
3

)?3;

? k? ( ? ,3), k ? Z ; 3 2 1 ?9 ? ?1 2? (3) f ( x) ? ? , 6 ? , f ( x) ? ,所以 m ? ? , ? . m ?2 ? ?6 9?

1 ? 5 ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z ; 对 称 中 心 12 ? 12 ?

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20、 (16 分) 解: (1)因为函数 g ( x) 为奇函数, 所以 g (? x) ? g ( x) ,即 log1
2

1 ? ax 1 ? ax , ? ? log1 ? x ?1 x ? 1 2

故 a ? ?1 .

1 ? ax x ?1 ? 即 , 得 a ? ?1 , 而当 a ? 1 时不合题意, ? x ? 1 1 ? ax

(2)由(1)得: g ( x) ? log1

1? x , x ?1 2 1? x 在区间 (1, ??) 上单 x ?1 2

下面证明函数 g ( x) ? log1 调递增, 证明略. 所以函数 g ( x) ? log1

1? x 5 在区间 [ ,3] 上单调递增, x ?1 3 2 1? x 5 在区间 [ ,3] 上的值域为 x ?1 3 2
5 3

所以函数 g ( x) ? log1

[?2,?1] ,
所以 g ( x) ? 2 ,故函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上 界构成集合为 [2,??) .
x x

(3)由题意知, f ( x) ? 3在 [0,??) 上恒成立.

?1? ?1? 9 页 共 ?1? 页 ? 3 ? f ( x) ? 3 , ? 4 ? ? ? ? a? 第 ? ? 2 ? ? 10 ? . ?4? ? 2? ?4? ?1? ?1? ? ?4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 [0,??) 上 恒 成 ? 2? ? 2?
x x x

x

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