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河南省信阳市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理


河南省信阳市 2013-2014 学年高二数学上学期期末考试试题 理(扫描版)新人 教A版

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信阳市 2013~2014 学年度高二上期期末 数学试卷参考答案(理科) x-2 1.D ∵x-3>0,∴x>3 或 x<2. 2.C 綈 p:? x>1,x -1≤0. a b asin B 4×sin 60° 3 3.A ∵sin A=sin B,∴sin A= b = 6 =3. 1 4.B a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,解得 d=-2. 1 1 2 5.C ∵抛物线过点(1,4),∴4=2a,∴a=2,∴抛物线方程为 x =4y,焦点坐标为(0,16). 6.D |AB|==3,设正方体的棱长为 a,则 a=3,解得 a=,所以正方体的体积为 3. 7.B 作出可行域可知目标函数过点(2,-1)时取得最大值为 z=2×2-1=3. 8.B 由 3S3=a4-2,3S2=a3-2, a4 所以 3(S3-S2)=a4-a3,得a3=4=q. A+C=2B, π 9.D ∵角 A、B、C 成等差数列,∴A+C+B=π ,解得 B= 3 . a b 1 π π π π π 由sin A=sin B,可得 sin A=2,∵b>a,∴A< 3 ,∴A= 6 ,从而 C=π - 3 - 6 = 2 , 1 3 ∴S△ABC=2ab=2. 9 1 1 1 1 a1+a4 a2+a3 a1+a2+a3+a4 9 5 10.A ∵a1a4=a2a3=-8,∴a1+a2+a3+a4= a1a4 + a2a3 = a2a3 =8=-3. n2-mn+4 4-n(m-n) 4 11.C 由 m>n>0 知 m-n>0,m+ m-n =m+ m-n =m-n+m-n≥2=4,当且仅当 m-n =2 时取等号. p p 2 12.A 因为 M 在抛物线上,所以设点 M(x,),又因为到抛物线焦点(2,0)的距离为 p,所以有(x-2) p -3p 2 +2px=p ,解得 x=2或 x= 2 (舍).设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 M 为 AB 的中点,所以 x1+x2=p,y1 y1+y2 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 +y2=2p,所以x1+x2=2,又因为 AB 是双曲线上的点,所以满足( a ) -( b ) =1,( a ) -( b ) =1,则 2 2 2 2 b2 c2-a2 y1-y2 e2-1 2 (y2-y1)÷(x2-x1)=a2, a2 =2×x1-x2=2k=e -1,所以 k= 2 . 9 1 1 4 1 1 9 13.8 ∵a1=2,2a2-3a1=2,∴a2=3,则 2a3-3a2=2a3-4=2,得 a3=8. 1 1 1 1 2 14.-14 ∵不等式的解集为(-2,3),∴方程 ax +bx+c=0 的两根分别为 x1=-2,x2=3. 2 1 ∴x1·x2=a=-6得 a=-12,
2

x1+x2=-a=-6得 b=-2.
∴a+b=-14.
5

b

1

9 1 9 15.4 a+b=3≥2ab? ≥2? ab≥4. 5 16.3 不妨设 F1(-c,0),点 P(x0,y0),另一焦点为 F2(c,0),连接 PF2,根据题意有 PF1⊥PF2,|PF2| 2 2 2 2 2 =2b,所以|PF1|===2.由|PF1|+|PF2|=2+2b=2a,化简得 2ab=a -c +2b =3b ,所以 b=3a,c== 5 c 5 3a,故离心率为a=3. 17.解:(Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q, a1+3d=6, a1=0, ∴a1+5d=10,∴ d=2, ∴an=2n-2.(6 分) b1q2=4, q2 4 2 2 (Ⅱ)b1+b1q=3,∴1+q=3,3q -4q-4=0,∴q=2 或-3(舍),b1=1, b1(1-qn) 1-2n n ∴Tn= 1-q = 1-2 =2 -1.(12 分) 18.解:A={x|-1≤x≤3,x∈R},B={x|m-3≤x≤m+3,x∈R,m∈R}. (Ⅰ)∵A∩B=[2,3],∴m-3=2,即 m=5.(6 分) (Ⅱ) ∵p 是綈 q 的充分条件, ∴A? RB, ∴m-3>3 或 m+3<-1, 解得 m>6 或 m<-4.(12 分) b2+c2-a2 a2+c2-b2 19.解:(Ⅰ)由余弦定理及 acos A=bcos B 可得 a· 2bc =b· 2ac , 所以 a (b +c -a )=b (a +c -b ), 2 2 2 2 2 2 2 即(a -b )c =(a -b )(a +b ), 2 2 2 2 2 所以(a -b )(c -a -b )=0, 2 2 2 所以 a=b 或 c =a +b . 3π π π 3π π 2 2 2 若 a=b,则 B=A= 8 ;若 c =a +b ,则 C= 2 ,B= 2 - 8 = 8 . 3π π 综上可知,B= 8 或 8 .(6 分) 2csin A sin C 1 (Ⅱ)由 tan C+ a =0 及正弦定理可得cos C+2sin C=0,而 sin C>0,所以 cos C=-2,所以
2 2 2 2 2 2 2 2

C= 3 .
π 1 1 2 3 由(Ⅰ)可知△ABC 必为等腰三角形,且 A=B= 6 ,故△ABC 的面积为 S=2absin C=2a ·2=,所以 a =2.(12 分) 20.解:(Ⅰ)∵底面 ABCD 是梯形,AD∥BC,∠DAB=90°, ∴BC⊥AB. ∵PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,∴PA⊥BC, ∵PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB.(5 分) (Ⅱ)以 A 为原点,分别以 AD,AB,AP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 D(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2).



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2 假设在侧棱 PA 上存在一点 E,使得平面 CDE 与平面 ADC 所成角的余弦值是3. DC DE 设 E(0,0,m)(m>0),则→=(1,2,0),→=(-1,0,m). 设平面 CDE 的法向量为 n=(x,y,z), DC DE 则 n·→=0,n·→=0, x+2y=0, ∴-x+mz=0. 2 2 令 x=2,∴y=-1,z=m,∴n=(2,-1,m). AP 又∵平面 ACD 的法向量为→=(0,0,2), AP 2 AP 2 2 ∴|cos〈n,→〉|=3,即 | =·2=3, 解得 m=1,∴点 E 的坐标是(0,0,1),AE 的长为 1. 2 ∴在侧棱 PA 上存在一点 E,使得平面 CDE 与平面 ADC 所成角的余弦值是3.(12 分) ab=2, 21.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2,(2 分) a=2, x2 2 得b=1,所以椭圆方程为 4 +y =1.(4 分) x2 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),设直线 PQ 的方程为 x=my+t,代入 4 +y =1 得(m +4)y +2mty+t -4=0,(5 分) t2-4 Δ >0, ,

k1=x1+2,k2=x2-2,由k2=7 得y2(x1+2)=7,
22 2 22 所以12(x1+2)2=49,所以122=49,(7 分) (2-x1)(2-x2) 得(2+x1)(2+x2)=49,得 12x1x2+25(x1+x2)+48=0, ①

y1

y2

k1

y1(x2-2)

x1x2=(my1+t)(my2+t)=

4(t2-m2) m2+4 , 8t

x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=m2+4,
3 8 2 代入①得 6t +25t+24=0,得 t=-2,或 t=-3(是增根,舍去),(9 分) 所以 4(10 分) 16m2+28 1 1 1 2 2 16 2 2 2 所以 |y1 - y2| = (y1 +y2) - 4y1y2=(m2+4)2=- 36(m2+4) + 16 ×m2+4=- 36(m2+4- 9 ) + 9 ≤ 16 1 2 9 ,当 m =2时取最大值.(11 分) 1 所以 S1-S2=2×3×|y1-y2|≤2,所以 S1-S2 的最大值为 2.(12 分)
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22.证明:(Ⅰ)∵CF=FG,∴∠BGC=∠ACE. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠GCB=90°, ∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴∠CBG=90°-∠BGC,∠EAG=90°-∠ACE, ∴∠CBG(D)=∠EAG(C),∴BC=CD,∴C 是 BD 的中点.(5 分) (Ⅱ)∵∠ECB=90°-∠ECA,∠EAC=90°-∠ECA, ∴∠ECB=∠EAC. 又∵由(Ⅰ)知,∠CBG(D)=∠EAG(C),∴∠E(F)CB=∠CBF(G),∴CF=BF. 又∵CF=FG,∴BF=FG.(10 分) x=a+4t, π 23.解:(Ⅰ)把y=-1-2t化为普通方程为 x+2y+2-a=0,把 ρ =2cos(θ + 4 )化为直角坐标方程 为 x +y -2x+2y=0,其的圆心 C 的坐标为(1,-1),半径为, |1-2+2-a| |a-1| 5|a-1| ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d= 12+22 = 5 = 5 .(6 分) 3 2 |a-1| 2 2 2 (Ⅱ)由已知(5) +( 5 ) =() ,∴a -2a=0,即 a=0 或 a=2.(10 分) 24.解:(Ⅰ)由|2x-a|+a≤6 得|2x-a|≤6-a, ∴a-6≤2x-a≤6-a,即 a-3≤x≤3, ∴a-3=-2,∴a=1.(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=|2x-1|+1,令 φ (n)=f(n)+f(-n), 1 则 φ (n)=|2n-1|+|2n+1|+2≥|(2n-1)-(2n+1)|+2=4,当且仅当(2n-1)(2n+1)≤0,即-2 1 ≤n≤2时取等号. ∴φ (n)的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是[4,+∞).(10 分)
2 2

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