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课时作业20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象


课时作业 20 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象、三角函数模型的简单应 用
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) π 1.将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动10个单位长 度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图 象的函数解析式是( π A.y=sin(2x-10) 1 π C.y=sin(2x-10)

) π B.y=sin(2x-5) 1 π D.y=sin(2x-20) 分值:100 分

π π 解析:将 y=sinx 的图象向右平移10个单位得到 y=sin(x-10)的 1 π 图象, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=sin(2x-10) 的图象. 答案:C x π π 2. 将函数 f(x)=2cos(3+6)的图象向左平移4个单位, 再向下平移 1 个单位,得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的解析式为( x π A.g(x)=2cos(3-4)+1 x π B.g(x)=2cos(3+4)-1 x π C.g(x)=2cos(3-12)+1 )

x π D.g(x)=2cos(3-12)-1 1 π π 解析:由题意得 g(x)=2cos[3(x+4)+6]-1 x π =2cos(3+4)-1,故选 B. 答案:B π 3.若将某正弦函数的图象向右平移2以后,所得到的图象的函数 π 式是 y=sin(x+4),则原来的函数表达式为( 3π A.y=sin(x+ 4 ) π C.y=sin(x-4) )

π B.y=sin(x+2) π π D.y=sin(x+4)-4

π π 3π 解析:y=sin(x+4+2)=sin(x+ 4 ). 答案:A π 4.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所 示,则 ω,φ 的值分别为( )

A.2,0 π C.2,-3

π B.2,4 π D.2,6

3 11π π 3π 解析:由图象得4T= 12 -6= 4 , 则 T=π,ω=2. π π π 当 2x+φ=2时,函数取最大值,由 2×6+φ=2 π 得 φ=6. 答案:D 5.(2013· 山东德州一模)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值 π π 为 4,最小值为 0.两个对称轴间最短距离为2,直线 x=6是其图象的 一条对称轴,则符合条件的解析式为( π A.y=4sin(2x+6) π B.y=-2sin(2x+6)+2 π C.y=-2sin(x+3) π D.y=2sin(2x+3)+2 T π 解析:由题意知2=2,所以 T=π.则 ω=2,否定 C. π 又 x=6是其一条对称轴, π π 2π 因为 2×6+3= 3 ,故否定 D. 又函数的最大值为 4,最小值为 0,故选 B. 答案:B π 6.(2013· 安徽合肥八中一模)将函数 f(x)=2sin(2x+4)的图象向右 )

1 平移 φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的2倍,所 π 得图象关于直线 x=4对称.则 φ 的最小正值为( π A.8 3π C. 4 3π B. 8 π D.2 )

π 解 析 : f(x) = 2sin(2x + 4 ) 向右平移 φ――→ 个单位 f(x) = 2sin(2x - 2φ + π 横坐标缩短到 π 1 ) ――→ f ( x ) = 2sin(4 x - 2 φ + 4 原来的2倍 4 ). π π π π 因为直线 x=4为对称轴,所以 4×4-2φ+4=kπ+2(k∈Z),即 φ 1 3π 3π =-2kπ+ 8 (k∈Z).因为 φ>0,则 k=0 时,φmin= 8 .故选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7. 已知函数 y=sin(ωx+φ)的图象如图所示, 则 ω=__________, φ=__________.

T 7π π 解析:由函数图象可得4=12-3, 所以 T=π,则 ω=2.

π π 又由 2×3+φ=π,所以 φ=3. π 答案:2 3 π 8.已知 f(x)=cos(ωx+3)(ω>0)的图象与 y=1 的图象的两相邻交 点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=sinωx 的图象向 __________平移__________个单位. 解析:由题意 f(x)的周期是 π,所以 ω=2,把 y=sin2x 的图象向 π 左平移4个单位,可得到 y=cos2x 的图象,再把 y=cos2x 的图象向左 π π 5π 平移6个单位, 即可得到 y=cos(2x+3)的图象, 共向左平移12个单位. 5 答案:左 12π π π 9.已知函数 f(x)=sin(3x+3)(x>0)的图象与 x 轴的交点从左到右 依次为(x1,0), (x2,0), (x3,0), …, 则数列{xn}的前 4 项和为__________. π π π π 解析:令 f(x)=sin(3x+3)=0,则3x+3=kπ, ∴x=3k-1(k∈N*), ∴x1+x2+x3+x4=3(1+2+3+4)-4=26. 答案:26 三、解答题(共 55 分) π 10.(15 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分 图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sinx 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图 象,试写出变换过程. 解:(1)由图象知 A=2. 5π π 2π f(x)的最小正周期 T=4×(12-6)=π,故 ω= T =2. π π 将点(6,2)代入 f(x)的解析式,得 sin(3+φ)=1. π π 又|φ|<2,∴φ=6. π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6).

π 11.(20 分)(2012· 重庆理)设 f(x)=4cos(ωx-6)sinωx-cos(2ωx+ π),其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域; 3π π (2)若 f(x)在区间[- 2 ,2]上为增函数,求 ω 的最大值. 3 1 解:(1)f(x)=4( 2 cosωx+2sinωx)sinωx+cos2ωx =2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin2ωx+1. 因-1≤sin2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3]. π π (2)因 y=sinx 在每个闭区间[2kπ-2,2kπ+2](k∈Z)上为增函数, k π π kπ π 故 f(x)= 3sin2ωx+1(ω>0)在每个闭区间[ ω -4ω, ω +4ω](k∈ Z)上为增函数. 3π π kπ π kπ π 依题意知[- 2 ,2]?[ ω -4ω, ω +4ω]对某个 k∈Z 成立, 3π π ? - ≥ - ? 2 4ω, 此时必有 k=0,于是? π π ? ?2≤4ω. 1 1 解得 ω≤6,故 ω 的最大值为6. 12.(20 分)(2012· 湖北)已知向量 a=(cosωx-sinωx,sinωx),b= (-cosωx-sinωx,2 3cosωx), 设函数 f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直 1 线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈(2,1). (1)求函数 f(x)的最小正周期;

π 3π (2)若 y=f(x)的图象经过点(4,0),求函数 f(x)在区间[0, 5 ]上的 取值范围. 解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ =-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ π =2sin(2ωx-6)+λ. π 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, 可得 sin(2ωx-6)=± 1. π π 所以 2ωπ-6=kπ+2(k∈Z), k 1 即 ω=2+3(k∈Z). 1 5 又 ω∈(2,1),k∈Z,所以 ω=6. 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y=f(x)的图象过点(4,0),得 f(4)=0, 5 π π π 即 λ=-2sin(6×2-6)=-2sin4=- 2, 即 λ=- 2. 5 π 故 f(x)=2sin(3x-6)- 2, 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ 5 ,有-6≤3x-6≤ 6 , 1 5 π 所以-2≤sin(3x-6)≤1, 5 π 得-1- 2≤2sin(3x-6)- 2≤2- 2, 3π 故函数 f(x)在[0, 5 ]上的取值范围为[-1- 2,2- 2].


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