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高二上期中考试卷及答案(必修3,选修2-1)


2012—2013 学年第一学期期中考试卷
高二年数学(理科平行班)
完卷时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的 代号填在题后的括号内.每题 5 分,共计 50 分. ) 1.下列两变量中具有相关关系的是( ) A.正方体的体积与边长; B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间; C.人的身高与体重; D.人的身高与视力 2.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做 牙齿健康检查。现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k ?

800 ? 16 ,即每 50

16 人抽取一个人。在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33 ~ 48 这 16 个 数中应取的数是( ) A.40. B.39. C.38. D.37. ) 开始 p=1,n=1 n=n+1 ) p=p+n2 p>20?
是 否

3.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是( A.“若一个数是正数,则它的平方是负数” B.“若一个数是正数,则它的平方不是正数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数不是负数,则它的平方是负数” 4.若某程序框图如图所示,则输出的 p 的值是( ) A. 21 B.26 C. 30 D.55 5.已知命题 p : 5x ? 6 ? x ,命题 q :| x ? 1 |? 2 ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直, 则 k=( A.1 ) B.

输出 p 结束

1 5

C.

3 5

D.

7 5

(第 4 题图)

7.已知椭圆 A.1

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2
B.2 C.3 D. 4
?



8.在正方形 ABCD 内任取点 P ,则使 ?APB 大于 90 的概率是( A.



? 8

B.

? 4

C.

? 2
1

D.

? 16

9.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.

6 2

D.

5 2
D1 A1 B1 C1

10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,

1 且 AM= ,点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的 3
距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 那么动点 P 的轨迹 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

二、 填空题 (请把答案填在题中横线上, 每题 4 分, 共计 20 分. ) 11. 抛物线 x ?
2

D P A M B

C

1 y 的焦点到其准线的距离为 2

.

12. 如右图所示,在一个边长为 2 的正方形中随机撒入 200 粒豆子,恰 有 120 粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为 .

13.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两个,则这两个数正好相差 1 的概率 是________. 14.在平行六面体 ABCD ? A B1C1D1 中,化简 AB ? AD ? (DD1 ? BC) 的结果为______; 1 15. 已知椭圆

??? ??? ? ?

???? ??? ? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,其弦 AB 的中点为 M,若直线 AB 和 OM 的斜率都存在,则两条 16 12

直线的斜率之积等于(O 为坐标原点)______; 三、解答题(共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 13 分)已知命题 p : 方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆; 命题 q : m 2 2 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p ? (?q) 为真命题,求 m 的取值范围。

2

17.(本小题满分 13 分)抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴上,且过点(8, 8),焦点为 F; (1)求抛物线的焦点坐标和标准方程: (2)P 是抛物线上一动点,M 是 PF 的中点,求 M 的轨迹方程。

18. (本小题满分 13 分)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图,E、F分别是 BB1 ,CD 的中点, (1)求证: D1 F ? DE; (2)求异面直线 EF 与 CB1 所成的角

19. (本小题满分 13 分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将 其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),?,[140,150)后得到如下部分频 率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[120,130)内的频率; (2)估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该 样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人在分数段[110,120)内的概率.

3

20. (本小题满分 14 分)已知 F1 , F2 两点坐标分别为 (?2, 0), (2, 0) ,动点 P 到 F 的距 1 离与它到 F2 的距离之差等于 2. (1)求动点 P 的轨迹方程. (2)若 A 坐标为(-1,0),求 PA ? PF2 的最小值. 1 1

???? ???? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率 依次成等比数列,求直线 PQ 的斜率。 (3)在(2)的条件下,求△OPQ 面积的取值范围.

3 2 的椭圆过点( 2 , ) . 2 2

4

2012—2013 学年第一学期期中考试卷
高二年数学参考答案(理科平行班)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合要求的. )

题号 答案

1 C

2 B

3 C

4 C

5 A

6 D

7 A

8 A

9 D
15、 ?

10 D
3 4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. ) ???? ???? ? 2 12 1 11、 12、 13、 14、 AB1 (或 DC1 ) 5 4 5 16.(本小题满分 13 分) 解:若命题 p 为真命题:则 m>2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

若命题 q 为真命题:Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0,解得 1<m<3. ∵ p ? (?q) 为真命题 ∴p 为真命题,q 为假命题 即?
? ?m>2 ? ?m≤1或m≥3

2

2

解得 m≥3 17.(本小题满分 13 分) 解: (1)焦点 F (2, 0)

y 2 ? 8x

x0 ? 2 ? ?x ? 2 ? (2)设 M ( x, y), P( x0 , y0 ) ,由 ? ? y ? y0 ? ? 2

??

? x0 ? 2 x ? 2 ? y0 ? 2 y


2

2 ? y0 ? 8x0



?(2 y)2 ? 8(2 x ? 2)
z D1 B1 E D F x A B C y C1

? y ? 4( x ?1)
18. (本小题满分 13 分) 解:建立如图所示的直角坐标系, (1)不妨设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0) ,E(1,1,

A1

1 ) D1(0,0,1) , , 2
5

1 ,0) , 2 ???? 1 1 则 D1 F =(0, ,-1) DE =(1,1, ) , , 2 2 ???? ??? ? ? D1 F ? DE =0, ???? ??? ? ? 即 D1 F ? DE; ? D1 F ? DE ,.
,F(0, (2) B1 (1,1,1) ,C(0,1,0) ,故 CB1 =(1,0,1) EF =(-1,- ,

1 1 ,- ) , 2 2

1 3 ? EF ? CB1 =-1+0- =- , 2 2
则 cos EF , CB ? 1

EF ? 1 ?

1 1 3 , CB ? ? ? 1 4 4 2

2,

EF ? CB1 EF ? CB1

?

?

3 2

??

3 ? 2 2
?

3. 2

??? ???? ? EF , CB1 ? 150?

所以异面直线 EF 与 CB1 所成的角为 30 19. (本小题满分 13 分)

解:(1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1- 0.7=0.3. (2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人). [120,130)分数段的人数为 60×0.3=18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d;设“从样本中任取 2 人, 至少有 1 人在分数段[110,120)内”为事件 A,则基本事件共有(m,n),(m,a),?,(m,

d),(n,a),?,(n,d),(a,b),?,(c,d)共 15 种.
则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,

b),(n,c),(n,d)共 9 种.
9 3 ∴P(A)= = . 15 5
6

20. (本小题满分 14 分) 解:(1) 依题意: | PF | ? | PF2 |? 2 ?| F F2 | ,动点 P 的轨迹是双曲线的右支, 1 1 其中 a ? 1, c ? 2, b ? 3, y2 所以点 P 的轨迹方程为 x2- =1 ( x ? 1) . 3 (2)设 P(x,y)(x≥1),则 PA1 =(-1-x,-y), PF2 =(2-x,-y),

????

????

???? ???? PA1 · 2 =(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5. PF
1 ∵x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图像的对称轴为 x= , 8 ∴当 x=1 时, PA1 · 2 取得最小值-2. PF 21. (本小题满分 14 分)

???? ????

解: (1)由题意可设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>b>0) ,

?c 3 , ? ? ?a ? 2, x2 ?a 2 ? y2 ? 1. 则? 故 ? ,所以,椭圆方程为 4 b ?1 ? ? 2 ? 1 ? 1, ? a 2 2b 2 ?
(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0) P(x1,y1) Q(x2,y2) , , , 由?

? y ? kx ? m,
2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2 2

消去 y 得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0, 则△=64 k b -16(1+4k b ) b -1)=16(4k -m +1)>0, ( 且 x1 ? x2 ?
2 2 2 2 2 2 2

?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2
2


2

故 y1 y2=(kx1+m) kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m . ( 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,

7

所以,

y1 y2 x1 x2

?



k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2

=k ,

2

即,

?8k 2 m 2 1 ? 4k
2

+m =0,又 m≠0,所以 k =

2

2

1 1 ,即 k= ? . 4 2
2 2

(3)由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m <2 且 m ≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△OPQ=

1

1 2 2 d | PQ |= | x1-x2 | | m |= m (2 ? m ) , 2 2

所以 S△OPQ 的取值范围为 (0,1) .

8


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