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河南省郑州市2012届高三第二次质量预测数学试题


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若 , , ,则 ( )

A.{2,4} B.{1,3} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 2.若复数 ( 为虚数单位)是纯虚数,则实数 ( A. B. C.0 D.1 )

3.等差数列 的前 n

项和为 ,且 9 ,3 , 成等比数列. 若 =3,则 = ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 )

4. 设 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 有两个不相等的实数根的概率为( A B C D )

5. 已知变量 x、y 满足条件 则 的最大值是( A.2 B.5 C.6 D.8

6. 下列各命题中正确的命题是 ( ) ①命题“ 或 ”为真命题,则命题“ ”和命题“ ”均为真命题; ② 命题“ ”的否定是“ ” ; ③“函数 最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件; ④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件 是“ ” . A.②③ B.①②③ C.①②④ D.③④

7. 把边长为 的正方形 沿对角线 折起,使得平面 平面 ,形成三棱锥 的正视图与俯视图如下图所 示,则侧视图的面积为 ( A. B. C. ) D.

8.点 为双曲线 : 和圆 : 的一个交点,且 ,其中 为双曲线 的两个焦点,则双曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. D.

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 若向量 , 满足条件 ,则 =______ 10. 在 ABC 中, , ,面积为 ,那么 的长度为________ 11. 右图是求 的值的程序框图,则正整数 __

12.已知圆 的圆心与抛物线 的焦点关于 轴对称, 又直线 与圆 相切,则圆 的标准方程为 _

13.已知函数 ,令 , 则二项式 ,展开式中常数项是第 __________项. 第 14、15 题为选做题,只能选做一题,全答的,只计前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选讲)在极坐标系 中, 曲线 与 的交点的极坐标为 .

15. (几何证明选讲)如图, 是圆 的直径,直线 与 圆 相切于点 , 于点 ,若圆 的面积为 , , 则 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题共 12 分)已知函数 ( R). (1)求 的最小正周期和最大值; (2)若 为锐角,且 ,求 的值. 17.(本小题共 12 分)今有 4 种股票和 3 种基金,李先生欲购买其中的任意 3 种产品. (1)求李先生所购买的 3 种产品中恰好只含一种基金的概率; (2)记购买的 3 种产品中,包含基金的种数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望. 18.(本小题共 14 分)如图,在长方体 中, , 为 中点. (1)求证: ; (2)在棱 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求 的长;若不存在,说明理由. (3)若 AB=2,求二面角 的平面角的余弦值。

19. (本小题共 14 分)已知 是函数 的一个极值点。 (1)求 的值; (2)求函数 的单调区间; (3)若直线 与函数 的图象有 3 个交点,求 的取值范围。 20.(本小题共 14 分)直线 与椭圆 交于 , 两点,已知 , ,若 且椭圆的离心率 ,又椭圆经过 点 , 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 过椭圆的焦点 ( 为半焦距) ,求直线 的斜率 的值; (3)试问: 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是, 请说明理由.

21. (本小题共 14 分)已知数列 中, ,对于任意的 ,有 , (1)求数列 的通项公式; (2)数列 满足: , ,求数列 的通项公式; (3)设 ,是否存在实数 ,当 时, 恒成立,若存在,求实数 的取值范围,若不存在,请说明理 由。

2012-2013 学年度高三级第一学期期中数学科(理数)考试答案 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A C A D C 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. ; 10. 49 ; 14. 15. 1 11. 100 ; 12. ; 13. 5

三、解答题(写出必要的文字说明,计算或证明过程。共 80 分) 16. (本小题共 12 分)

17. (本小题共 12 分) 解: (1)设事件 A 表示“李先生所购买的 3 种产品中,恰好只含一种基金” …………1 分 …………3 分 答:李先生所购买的 3 种产品中恰好只含一种基金的概率为 …………4 分 (2) …………5 分

…………9 分

…………12 分 18. (本小题共 14 分)

解: (1)连结 长方体 中, , 则 …………1 分 ∵ ∴ …………2 分 ∴ 面 …………3 分 又面 ∴ …………4 分 (2)存在 的中点 P,使得 , 证明:取 的中点为 , 中点为 ,连接 在 中, 又 ∴ Ks5u ∴四边形 PQDE 为平行四边形 ∴ 又 ∴ 此时 ………8 分

(3)法一:在平面 上,过点 作 交 于 ,连结 ∵ ∴ ∴ 为二面角 的平面角 在 中, 又 ,则 在 中, ∴ 即二面角 的平面角的余弦值为 . 法二:因为 建立如图所示坐标系

∵ ∴平面 ABE 的一个法向量

设平面 的法向量为

由 ,得 取 ,则平面 的一个法向量 ∴ 经检验,二面角 B-AE-B 所成平面角为锐角,其余弦值为 19. (本小题共 14 分) 解: (1)因为 所以 , 因此 (2)由(1)知, …………2 分 …………4 分

…………5 分 当 时, 当 时, 所以 的单调增区间是 的单调减区间是 …………8 分 …………6 分

(3)由(2)知, 在 内单调增加,在 内单调减少,在 上单调增加, 且当 或 时, 所以 的极大值为 ,极小值为 …………10 分 因为

所以在 的三个单调区间 直线 与 的图象各有一个交点,当且仅当 因此, 的取值范围为 …………14 分 20. (本小题共 14 分) 解: (1)∵ ……2 分 ∴ ……………3 分 ……………4 分 …………13 分

∴椭圆的方程为

(2)依题意,设 的方程为 由 显然 ………………5 分

………………6 分 由已知 得:

解得

……………………8 分

(3)①当直线 斜率不存在时,即 , 由已知 ,得 又 在椭圆上, 所以 ,三角形的面积为定值.………10 分 ②当直线 斜率存在时:设 的方程为

必须 即 得到 , ∵ ,∴ 代入整理得: …………13 分 …………………12 分 ………………11 分

所以三角形的面积为定值. ……14 分 21. (本小题共 14 分) 解: (1)取 ,则 ∴() …………4 分

∴ 是公差为 ,首项为 的等差数列 ∴ (2)∵ ∴ ② ①

①-②得: ∴ …………6 分 当 时, (3) . . . 当 为正偶函数时, 恒成立, ∴ ,满足上式 ∴ …………8 分 假设存在 ,使

∴. ∴ …………11 分

当 为正奇数时, 恒成立. ∴ ∴ .∴ . 综上可知,存在实数 .使 时, 恒成立. …………14 分


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