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三角数列练习题(带答案)


三角数列练习题
一、选择题(共 14 个小题,每小题 5 分)
1、在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则 A=( A、 90
0

) D、 150 ) D、 60
?

B、 60

0

C、1350

>
0

2、在 ?ABC 中, b ? 8, c ? 8 3, S?ABC ? 16 3 ,则 A 等于( A、 30
?

B、 150

?

C、 30 或 150

?

?

3、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 A ? A、

?
6

, a ? 1, b ? 2, 则 c ? ( )

1或 3

B、 2或 3

C、 3 ? 1

D、 3

4、在 ?ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? logsin C ? lg 2 ,则 ?ABC 的形状是 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 ) D、 ( 2 ,2) ) D、不能确定

5、在锐角 ?ABC 中, A ? 2 B, 则 a 的取值范围是( b A、 (0, 2 ) B、 ( 2 , 3 )

C、 ( 3,2)

? 1 ? 6、数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a7 ? 1 ,又数列 ? ? 是等差数列,则 a8 =( ? a n ? 1?
A、

11 13

B、0

C、

2 3

D、 ? 1

7、已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 ,那么 ? 13 A、2 B、4 C、6

1 是此数列的第( )项。 2
D、8

8、等差数列 ?an ? 的公差不为零,首项 a1 ? 1, a2是a1和a5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和是 A、90 B、100 C、145 D、190 )

9、在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a3a8 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a10 ? ( A、 1 B、4 C、2 D、 log3 5

10、等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a2 ? a5 ? a8 ? 33, 则 a3 ? a6 ? a9 ? ( A、30 11、设 an = B、27 C、24 D、21 )



1 1 1 + +…+ (n∈N*) ,那么 an?1 ? an ? ( n ?1 n ? 2 2n 1 1 A. B. 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 C. + D. - 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2

12、在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30? 、 60? ,则塔高为( A.



400 m 3
n

B.

400 3 m 3

C.

200 m 3

D. 200 3 m 3

1? 13、已知 a n ? ? ? ? ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, ? 3?

a1 a2

a3 a7

a4

a5

a6

a8

a9

…… 记 A(m, n) 为第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12) =( )
94

?1? A、 ? ? ? 3?

92

?1? B、 ? ? ? 3?

93

1? C、 ? ? ? ? 3?

1? D、 ? ? ? ? 3?
)B D、3

112

14、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 6 ? 3, 则 S9 ? ( S3 S6

7 8 C、 3 3 二、填空题(共 5 个小题,每小题 5 分)
A、2 B、

15、在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cos C 等于



a b 16、在△ABC 中,∠C=60° ,a,b,c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,则 + =______ b+c c+a

17、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 , a n?1 ? 1 ? (n ? N * ) ,则 a16 ? ________ 2 an

18、设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a12 ? ?8, S 9 ? ?9 ,则 S16 =_______ 19、已知 {an } 是递增的数列,且对于任意 n ? N * , 都有 an ? n 2 ? ?n 成立,则实数 ? 的取值范 围是___________

三、解答题(共 4 个小题,共 55 分)
20、 (12 分) △ABC 中,a, b, c 是角 A, B, C 所对的边, S 是该三角形的面积, 且 (1)求角 B 的大小; (2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值。 21、 (12 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到 达 D 点需要多长时间?

cos B b ?? cos C 2a ? c

?

?

22、 (15 分)设数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n ? 2an ? 3n . (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列, (2)求出 ?an ? 的通项公式。 (3)求数列 ?nan ? 的前 n 项和. 23. (16 分)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , {an } 中的部分项组成的数列 ak1 , ak2 ,...akn 恰好 成等比数列,其中 k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17 , 求(1) k n ; (2)求数列 {k n } 的前 n 项和 Tn .

选择题:BCDCB ABBCB DABB
1 2 cos B b cos B sin B ?? ? ?? 20、⑴由 cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C

填空题:15、 ?

1 4

16、1

17、

18、-72

19、 ? ? ?3

? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ? ? sin A
1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
⑵ 由a ? 4, S ? 5 3有S ?

1 1 3 ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2
3 ? b ? 61 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ?

21 解: (1)? S n ? 2an ? 3n 对于任意的正整数都成立, ? S n?1 ? 2an?1 ? 3?n ? 1? 两式相减,得 S n?1 ? S n ? 2an?1 ? 3?n ? 1? ? 2an ? 3n ∴ an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 , 即 an?1 ? 2an ? 3

? an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? ,即 bn ?
∴数列 ?bn ? 是等比数列。 由已知得 S1 ? 2a1 ? 3

an ?1 ? 3 ? 2 对一切正整数都成立。 an ? 3

即 a1 ? 2a1 ? 3,? a1 ? 3

∴首项 b1 ? a1 ? 3 ? 6 ,公比 q ? 2 ,?bn ? 6 ? 2n?1 。?an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 。

(2)

nan ? 3 ? n ? 2n ? 3n, ? n ? 2n ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 2 n ?1 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ?
n ?1

? Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Sn ? 3(1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? Sn ? 3(2 ? 2 ? 2 ?
2 3 n

? n), ? n), ? n),

? 2 ) ? 3n ? 2

? 3(1 ? 2 ? 3 ?

2(2n ? 1) 3n( n ? 1) ? 6n ? 2 n ? 2 ?1 2 3 n ( n ? 1) ? Sn ? (6n ? 6) ? 2n ? 6 ? . 2 ? 3?
22 解:由题知 AB ? 5(3 ? 3) , ?DAB ? 450 , ?DBA ? 300 , ? ?ADB ? 1050 AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3 ) ? sin 450 ?ABD中,BD ? ? ? 10 3 海里 sin ?ADB sin 1050

?BCD中,?DBC ? 1800 ? 600 ? 600 ? 600 , BC ? 20 3 ? CD 2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? BD cos?DBC ? 900 ? CD ? 30 海里 又航行速度为 30 海里/小时,所以航行时间为 1 小时。

23、由题知,等差数列 ?an ? 中, a1 , a5 , a17 成等比数列,

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 (a1 ? 16d ),? d ? 0,? a1 ? 2d a a ? 4d ?q ? 5 ? 1 ? 3, a1 a1 ? akn ? ak1 ? q n?1 ? a1 ? q n?1 ? a1 ? 3n?1 ,
又 a kn ? a1 ? (k n ? 1)d ? a1 ? (k n ? 1) ?

a1 , 2

? a1 ? (k n ? 1) ?

a1 ? a1 ? 3 n ?1 2

? an ? 0 ? k n ? 2 ? 3n?1 ? 1
(2) S n ? 2 ? (30 ? 31 ? 32 ? ... ? 3n ?1 ) ? n ? 2 ?

1 ? 3n ? n ? 3n ? n ? 1 1? 3


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