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解三角形高考大题


解三角形高考大题,带答案
1. (宁夏 17) (本小题满分 12 分)

△ ACD 是等边三角形, △ ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB ? 90 ,BD 交 AC 于 E , 如图,
?

AB ? 2 . (Ⅰ)求 cos ∠CAE 的值; (Ⅱ)求 AE .
解 :( Ⅰ ) 因 为 ∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 ,
? ? ?

D E A

C

CB ? AC ? CD ,
所以∠CBE ? 15 .
?

B

所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ?
? ?

6? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 4

(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 , 由正弦定理

AE 2 ? . ? ? sin(45 ? 15 ) sin(90? ? 15? )

2sin 30? 故 AE ? ? cos15?

2?

1 2

6? 2 4

? 6 ? 2 . 12 分

2. (江苏 17) (14 分) 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、 B 及 CD 的中点 P 处, 已知 AB=20km, BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A、B 与 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总 长为 ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短。 P D C 【解析】 :本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 A (1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO=θ(rad),则 OA ? 故 OB ? O B AQ 10 ? , cos ?BAO cos ?

10 cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10tan? cos ? cos ?

又 OP ? 10 ? 10tan? ,所以 y ? OA ? OB ? OP ?

所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ? 10 cos ?

(0 ? ? ?

?
4

)

②若 OP=x(km),则 OQ=10-x,所以 OA ? OB ? 所求函数关系式为 y ? x ? 2 x 2 ? 20 x ? 200

(10 ? x) 2 ? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

(0 ? x ? 10) ?10 cos ? cos ? ? (20 ? 10sin ? )(? sin ? ) 10(2sin ? ? 1) ? (2)选择函数模型①, y ' ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? ?? ? 令 y ' ? 0 得 sin ? ? 2 4 6 ? ? ? 当 ? ? (0, ) 时 y ' ? 0 ,y 是 θ 的减函数;当 ? ? ( , ) 时 y ' ? 0 ,y 是 θ 的增函数; 6 6 4 1 20 ? 10 ? ? 2 ? 10 ? 10 3 ? 10 所以当 ? ? 时, ymin ? 6 3 2
此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 3. (辽宁 17) (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积. 解: (Ⅰ)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

10 3 km 处。 3
? . 3

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 3

4. (全国Ⅰ17) (本小题满分 12 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l . 解: (1)由 a cos B ? 3 与 b sin A ? 4 两式相除,有:

3 a cos B a cos B b cos B ? ? ? ? cot B 4 b sin A sin A b sin B b

又通过 a cos B ? 3 知: cos B ? 0 , 则 cos B ? 则a ? 5. (2)由 S ? 由 cos B ?

3 4 , sin B ? , 5 5 1 ac sin B ,得到 c ? 5 . 2

a 2 ? c2 ? b2 , 2ac

解得: b ? 2 5 , 最后 l ? 10 ? 2 5 . 5. (全国Ⅱ17) (本小题满分 10 分) 在 △ ABC 中, cos A ? ?

5 3 , cos B ? . 13 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

5 12 ,得 sin A ? , 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . · (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? .· 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2 3 65 3
解: (Ⅰ)由 cos A ? ? 6. (上海 17) (本题满分 13 分) 如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,小区里 有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为 120 .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半 径 OA 的长(精确到 1 米) .
C
?

【解法一】设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得
A

CD=500(米) ,DA=300(米) ,∠CDO= 60 ……………………………4 分120 在 ?CDO 中, CD ? OD ? 2 ? CD ? OD ? cos60 ? OC , ……………6 分
2 2 0 2

0

0

O

即 500 ? ? r ? 300 ? ? 2 ? 500 ? ? r ? 300 ? ?
2 2

1 ? r 2 , …………………….9 分 2

解得 r ?

4900 ? 445 (米). …………………………………………….13 分 11
0

【解法二】连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H…………………..2 分 由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) , ?CDA ? 120 ………….4 分

在?ACD中, AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 ? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ?
∴ AC=700(米)

C H A
1200

1 ? 7002 , 2

…………………………..6 分

cos ?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 ? . ………….…….9 分 2 ? AC ? AD 14
11 , 14

O

(米) , cos ?HA0 ? 在直角 14 ?HAO中, AH ? 350
∴ OA ?

AH 4900 ? ? 445 (米). ………………………13 分 cos ?HAO 11
2 2 2

. (重庆 17) (本小题满 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b ? c ? a ? 3bc ,求: (Ⅰ)A 的大小; (Ⅱ) 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值. 解:(Ⅰ)由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A,
2 2 2

故 cos A ? 所以A ?

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 ? ? , 2bc 2bc 2 .

?
6

(Ⅱ) 2sin B cos C ? sin( B ? C )

? 2sin B cos C ? (sin B cos C ? cos B sin C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin( B ? C ) ? sin(? ? A) 1 ? sin A ? . 2
8. 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c ? 2, C ? ⑴若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ;

?
3

.

⑵若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.


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