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四川省眉山市2014-2015学年高二下学期期末统考 数学文


眉山市高中 2016 届第四学期期末教学质量检测

数学试题卷 (文科)

2015.07

数学试题卷(文科)共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 4.考试结束后,将答题卡交回.

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备 选项中,只有一项是符合题目要求的. ?10i 1.在复平面内,复数 对应的点的坐标为. 3?i A. ? 3, ?1? B. ? ?1, ?3? C. ?1, ?3? D. ? ?3, ?1?
2.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A. 60
0

B. 30

0

C. 120

0

D. 150

0

3.用反证法证明“若 x < y,则 x3 < y3”时,假设内容应是 A. x3 = y3 B.x3 > y3 C.x3= y3 或 x3 > y3 D.x3 = y3 或 x3 < y3 4.已知圆心 ? 2, ?3? ,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是 A. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0
2 2

B. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 8 ? 0 D. x ? y ? 4x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0
2 2

5.若曲线 f ? x ? ? x ? 2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标为
4

A. ?1,1?

B. ? ?1, ?1?
3 2

C. ? ?1,1?

D. ?1, ?1?

6.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ,那么下列结论中错误的是 A.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 B. ?x0 ? R, 使f ? x0 ? ? 0 C.函数 y ? f ( x ) 的图像可以是中心对称图形 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 7. 设双曲线 距离为 A.

x2 y 2 ? ? 1 的半焦距为1 ,? a, 0 ? 、? 0, b ? 为直线 l 上两点,已知原点到直线 l 的 a 2 b2

3 ,则双曲线的离心率为 4
B. 3或 2 C.2 D.2 或

2 3 3

2 3 3

8. 已知 f ? x ? ? a ln x ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 2 x (a ? 0) ,若对任意两个不等的正实数 x1 , x2 都有 ≥2 2 x1 ? x2
B. ?1, ?? ? C. ? 0,1? D. ? 0,1?

恒成立,则 a 的取值范围是 A. ?1, ?? ? 9.右图是计算

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 值的一个程序框图, 2 4 6 8 10
B. k ? 5 D. k ≤ 6

其中判断框内应填入的条件是 A. k ? 5 C. k ≥ 5

10.已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交 于 A, B 两点,则 cos ?AFB ? A.

4 5
2

B. ?

4 5

C. ?

3 5

D. ?

2 5

y2 ? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 , P 为双 11.已知双曲线 x ? 3
曲线右支上一点, 则 PA 1 ? PF2 的最小值为 A. ?2 B. ?

???? ???? ?

81 16

C. 1
'

D. 0

ex f ? x ? ?1 12. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:f ? x ? ? 1 ? f ? x ? ,f ? 0 ? ? 4 , 则不等式 x (其 e ?3
中 e 为自然对数的底数)的解集为 A. (3, ??) C. (0, ??) B. (??,0) ? (3, ??) D. (??,0) ? (0, ??)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填写在答题卡 相应的位置上.
13.复数 z= 2+i 的共轭复数为________. 14.函数 f ? x ? ? 6 ? 12 x ? x
3

? 1 ? x ? ?? ,3 ? 的最大值是______. ? 3 ?

15. 下列图案由边长相等的黑、 白两色正方形按一定规律拼接而成. 依此规律,第 n 个图案中 白色正方形的个数为________________________.


第1个 第2个 第3个

16.方程 x x ? y y ? ? 1 的曲线即为函数 y ? f ? x ? 的图像,对于函数 y ? f ?x ? ,有如下结 论:① f ? x ? 在 R 上单调递减; ②函数 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 存在 3 个零点; ③函数 y ? f ? x ? 的值域是 R ; ④若函数 g ? x ? 和 f ? x ? 的图像关于原点对称,则函数 y ? g ? x ? 的图像就是方程

x x ? y y ? 1 .确定的曲线.
其中所有正确的命题序号是 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.
17. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的圆心为 C ?3,1? ,且直线 x ? 6 与圆 C 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 x-y=0 与圆 C 交于 A,B 两点,求弦长 AB 的值. 18. (本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ?

(1)当函数 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 4 y ? x ? 1 ? 0 垂直时,求实数 m 的值. (2)若 x ≥ 1 时, f ? x ? ≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

m x

19. (本小题满分 12 分) 已知平面内一动点 P ? x, y ?? x ≥ 0? 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于不同于坐标原点 O 的两点 A,B,求 ?OAB 面积的最 小值.

1 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x3+mx2-3m2x+1(m>0). 3 (1)若 m=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若函数 f(x)在区间(2m-1,m+1)上单调递增,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 4 2 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 x ? 2 与椭圆交于 P,Q 两点,P 点位 于第一象限, A,B 是椭圆上位于直线
O A Q 第 21 题图 P

3 ,它的 2

y

B x

x ? 2 两侧的动点. 当点 A,B 运动时,满
足 PA 与 PB 的斜率之和为 0, 问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

22. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? (1)当 a ? ?1 时,求函数 F ?x ? 的单调区间;

a , F ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? . x

(2)当 1 ? a ? e 时,若函数 F ?x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值是

( 3 )设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 是函数 f ?x ? 图象上任意不同的两点,线段 AB 的中点为

3 ,求 a 的值. 2

C ?x0 , y 0 ?,直线 AB 的斜率为 k . 证明: k ? f ' ? x0 ? ;

眉山市高中 2016 届第四学期期末教学质量检测

数学(文科)参考答案
一.选择题
1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 A 7 D 8 B 9 A 10 B 11 A

2015.07

12 C

二.填空题
13. 2-i 14. 22 15. 5 n+3 16. ③④

三.解答题
17.解: (1)由题意可得: r ? 6 ? 3 ? 3 (2)圆心 C(3,1)到直线的距离 d ? ------------------------------------------2 分 -----5 分

又 C 的圆心为(3,1),所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.

2,

---------------------------7 分 -------------------------------10 分

? AB ? 2 9 ? 2 ? 2 7
18.(1)? f
/

?x ? ? 1 ? m 2
x x

-----------------------------------------1 分 ---------3 分

? 函数 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率 k ? f / ?1? ? 1 ? m

? 函数 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 4 y ? x ? 1 ? 0 垂直,
?1 ? m ? ?4,? m ? 5
(2)依题意不等式 ln x ? -------------------------------------------5 分

m ? 1 在 x ? 1 时恒成立,即 x
------------------------------7分

设 g ?x ? ? x ? x ln x, x ? 1

m ? x ? x ln x 在 x ? 1 时恒成立.

? 函数 g ?x ? 在 ?1,??? 上为减函数,? g ?x? ? g ?1? ? 1? m ? 1
19.解 (1)由题意有 ?x-1?2+y2-|x|=1. 化简得 y2=2x+2|x|.

则 g / ?x? ? 1 ? ln x ?1 ? ? ln x ? 0?x ? 1?

----------------------------8 分 --------10 分

又 x≥0 时,y2=4x;
所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x . (2)由题意可设 l : x ? my ? 1, A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 由 ? -----------------------------5 分

?x ? m y ? 1 2 ? y ? 4x

2 消 x 整理得: y ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? 0 恒成立且 ?

? y1 ? y 2 ? 4m ? y1 y 2 ? ?4

S ?OAB ? S ?OAF ? S ?OBF ?
?

1 1 y1 ? y 2 ? 2 2

? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2
----------------------------------------------12 分

1 16 m 2 ? 16 ,? m ? 0 时 S min ? 2 2

1 8 5 20. 解:(1)当 m=1 时,f(x)=3x3+x2-3x+1,f(2)=3+4-6+1=3. f ‘(x)=x2+2x-3,f ‘(2)=4+4-3=5. 5 所以所求切线方程为 y-3=5(x-2),即 15x-3y-25=0. (2)f ‘(x)=x2+2mx-3m2.令 f ‘(x)=0,得 x=-3m 或 m. 由于 m>0,得 f ‘(x),f(x)的变化情况如下表: x f ‘(x) f(x) (-∞,-3m) + ↗ -3m 0 极大值 (-3m,m) - ↘ m 0 极小值 (m,+∞) + ↗

----------------5 分

所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-3m)和(m,+∞). 要使 f(x)在区间(2m-1,m+1)上单调递增, 1 应有 m+1≤-3m 或 2m-1≥m,解得 m≤-4或 m≥1. 又 m>0 且 m+1>2m-1,所以 1≤m<2. 即实数 m 的取值范围是{m|1≤m<2}. --------------12 分

x2 y2 21. 解析: (1)设椭圆的标准方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

又抛物线 x 2 ? 4 2 y 的焦点是 0, 2 ,? b ?

?

?

2

-----------------------------------2 分



c 3 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ,? a ? 2 2 a 2
x2 y2 ? ? 18 2

----------------------------------------------------4 分

? 椭圆 C 的方程为

---------------------------------------------------------5 分

(2)设直线 PA 的斜率为 k ,则 PB 的斜率为 ? k

? PA 的直线方程为: y ? 1 ? k ?x ? 2? ---------------------------------------------------------6 分
由?

? y ? 1 ? k ? x ? 2? 2 2 ?x ? 4 y ? 8 ? 0
2 2

消 y 整理得:
2

?1 ? 4k ?x

? 8k ?1 ? 2k ?x ? 4?1 ? 2k ? ? 8 ? 0
-------------------------------------------------------------------8 分

? x1 ? 2 ?

8k ?2k ? 1? 1 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程为 y ? 1 ? ?k ?x ? 2? 可得:? x2 ? 2 ?

? 8k ?? 2k ? 1? 8k ?2k ? 1? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

-------------------------------------10 分

? x1 ? x2 ?

16k 2 ? 4 ? 16k , x1 ? x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

-------------------------------------------11 分

? k AB ?

y1 ? y 2 k ?x1 ? 2? ? 1 ? k ?x2 ? 2? ? 1 k ?x1 ? x2 ? ? 4k ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

16k 2 ? 4 k? ? 4k 1 1 ? 4k 2 ? ? 16k 2 2 1 ? 4k

----------------------------------------------------------------13 分

x 因为 a ? ?1 ,所以 f ?x ? ? 0 ,故函数在 ?0,??? 递增 -------------------------------3 分 / / (2)当 1 ? a ? e 时, x ? ?1, a ?, f ?x? ? 0; x ? ?a, e?, f ?x? ? 0 所以函数在 ?1, a ? 上递减,在 ?a, e ? 上递增, f ?x?min ? f ?a ? ? ln a ? 1
/

22.(1)函数 f ?x ? 的定义域为 ?0,??? , f

/

?x ? ? 1 ?

a x?a ? 2 x2 x

e ,符合题意。 ---------------------------------7 分 y ? y1 ln x2 ? ln x1 (3)证明: k ? 2 --------------------------------------------8 分 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x ? x2 1 2 / / ? 又 x0 ? 1 ,所以 f ?x0 ? ? ?ln x ? x ? x0 ? ------------------9 分 2 x0 x1 ? x2

解得 a ?

要证 k ? f

/

?x0 ? ,即证 ln x2 ? ln x1
x2 ? x1

?

2 x1 ? x2

? x2 ? 2? ? 1? ? ? 2?x2 ? x1 ? x ? x1 ? -----11 分 不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证 ln x2 ? ln x1 ? ,即证 ln 2 ? x x1 ? x2 x1 2 ?1 x1 x 2?t ? 1? 4 ? 2? 设 t ? 2 ? 1 ,即证 ln t ? , t ?1 t ?1 x1 4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? ?1,??? 即证 ln t ? t ?1 4 ? 2?t ? ?1,?? ?? , 设: k ?t ? ? ln t ? t ?1 2 2 ? 1 4 t ? 1? ? 4t ?t ? 1? / 则 k ?t ? ? ? ? ? ?0 2 2 t ?t ? 1?2 t ?t ? 1? t ?t ? 1? 所以 k ?t ? 在 ?1,??? 上单调递增,因此 k ?t ? ? k ?1? ? 0, 得证. -----------------13 分


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