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南师附中物理竞赛讲义 11.1电场强度t


11.1 电场强度
一、静电场中的导体 1、静电平衡状态

2、静电屏蔽

二、场强叠加原理 某点的总场强等于各场源电荷在该点产生的场强的矢量和。 例 1:如图,带电荷量为+Q 的均匀带电圆环的圆心为 O,半径为 R,P 为垂直于圆环平面的 对称轴上的一点,OP=L,P 点的场强为多少?

E?
2<

br />
kQL (L ? R )
3 2 2

例 2、如图,半径为 R 的半圆形绝缘线上、下 1/4 圆弧上分别均匀带电 +q 和-q,求圆心处的场强。

例 2、如图所示,在半径为 R、体电荷密度为 ? 的均匀带电球体内部 挖去半径为 R? 的一个小球,小球球心 O? 与大球球心 O 相距为 a,证 明空腔内电场均匀。
R

O

O? R?

【解析】把挖去空腔的带电球看作由带电大球(R,ρ)与带异号电的 小球(R′,-ρ)构成.由公式求出它们各自在 O′的电场强度,再叠加即得 EO ' .这是利用不具有 对称性的带电体的特点,把它凑成由若干具有对称性的带电体组成,使问题得以简化,这种 思想在万有引力中同样用到. 在小球内任取一点 P,用同样的方法求出 Ep,比较 Ep 和 EO ' ,即可证明空腔内电场是均 匀的.采用矢量表述,可使证明简单明确.
1/5

由公式可得均匀带电大球(无空腔)在 O′点的电场强度 E 大球,E大球 ? 方向为 O 指向 O′. 显然,均匀带异号电荷的小球在球心 O′点的电场强度为零,即: 所以 O′处的场强为 E ? E大 ? E小 ? ? k ? a

kQa 4 ? ? k ?a , R3 3

? 如错误! 未找到引用源。 (b)所示, 在小球内任取一点 P, 设从 O 点到 O′点的矢量为 a , ? ? ? ? O′P 为 b ,OP 为 r .则 P 点的电场强度 E p 为: a O? ? ? ? O

4 3

Ep ? E大球 ? E小球

可见: E p ? E0

?? 4 ? ? 4 ? ?k?r ? ? ? ?k?b ? 3 ? 3 ? ? 4 4 ? ? ? ?k? (r ? b ) ? ?k?a 3 ? 3 ?

? r

? ?b
P

因 P 点任取,故球形空腔内的电场是均匀的.

例 3、求无限长均匀带电直线周围的场强(直线上电荷线密度为λ ) 并证明:均匀带电的半径为 R 的半圆环在圆心处的场强,等效于距离圆心 R 处的无限长均 匀带电直线产生的场强(两者电荷线密度相同) 半球面与无限大平板是否也有类似的等效关系?

例 4、真空中一对相距为 l 的带等量异号电荷的点电荷系统,在考虑此系统在空间某点的场 强时,观察点与电荷间的距离远大于 l,则这样的电荷体系称为电偶极子,并且把连接两电 荷的直线称为电偶极子的轴线,将电量 q 与两点电荷间距 l 的乘积定义为电偶极矩。试讨论 电偶极子产生的电场。 【解析】(1)设两电荷连线中垂面上有一点 P,该点到两电荷连线的距离为 r,则 P 点的 场强如图 10- 1 所示,其中

2/5

E?

E

?
E?
r

?q

?
l/2 l/2 q

图 10- 1

E? ? E? ? k

q r2 ? l2 4

E ? 2 E? cos? ? 2k
ql 3 l2 (r 2 ? ) 2 4

q
2

?k

l2 r ? 4 ql ?k 3 r
?q

?

l 2 r2 ? l2 4

?q l/2 l/2

P?
E?

E?

r

图 10- 2

(2)若 P? 为两电荷延长线上的一点, P? 到两电荷连线中点的距离为 r,如图 10- 2 所示, 则

E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

, E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

,

? ? ? ? 1 1 ? E ? E? ? E? ? kq? ? 2 2 ?? l? ? l? ? ?? r ? ? ? r ? ? ? 2? ? 2? ? ??
?2 ?2 ?? l ? l ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? 2r ? ? ? ?? 2r ? ? q? l l? ? k 2 ?1 ? ? 1 ? ? r ? r r? 2ql ?k 3 r

?k

q r2

3/5

ET E?

?
T

E//

?q

?q

图 10- 3

(3)若 T 为空间任意一点,它到两电荷连线的中点的距离为 r,如图 10- 3 所示,则 ql? 在 T 点产生的场强分量为:

E? ? k

ql? 2ql sin ? ?k 3 r r3

由 ql? 在 T 点产生的场强分量为:

2ql cos ? r r3 ql 2 故 ET ? E? ? E?2 ? k 3 3cos2 ? ? 1 r E? ? k 2ql?
3

?k

tan ? ?

E? sin ? tan ? ? ? E? 2cos ? 2

三、高斯定理 1、电通量: 穿过一个面的电场线数目叫做电通量,等于电场强度沿垂直于面的分量乘以面积。

? ? ES cos?
以点电荷周围的电场为例: 以点电荷 Q 为球心,半径为 R 的球面的电通量为:

? ? ES cos ? ?

kQ 4? R 2 ? 4? kQ 2 R

以上结论是普适的(证明略) 2、高斯定理 通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和成正比

? ? 4? kQ
由于电通量通常较难计算,以下情况便于使用高斯定理
4/5

(1)曲面上的场强为 0,由高斯定理得曲面内电量为 0 (2)选取适当的曲面,使其具有对称性,曲面上的场强大小相等,从而便于计算电通量。 例 1、解释静电平衡状态的导体电荷分布在外表面上

例 2、求无限长均匀带电直线周围的场强(直线上电荷线密度为λ )

例 5: (1)求无限大平行板周围的场强(极板上电荷面密度为σ ) 。 (2)求平行板电容器的场强

如图,在-d≤x≤d 的空间区域内(y、z 方向无限延伸)均匀分布着体密度为ρ>O 的电荷,此 外均为真空. (1)试求 x≥0 处的场强分布. (2)若将一质量为 m、 电量为-q(q>O)的带电质点从 x=d 处静止 释放,试问该带电质点经过多长时间第一次到达 x=0 处.

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