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创新设计浙江专用2017届高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系练习


专题五 解析几何 第 2 讲 直线与圆锥曲线的位置关系练习
一、选择题 1.(2014?全国Ⅰ卷)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 → → 线 PF 与 C 的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|等于( A. 7 2 B. 5 2 )
2

C.3

D.2
<

br />解析 过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′, → → 因为FP=4FQ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4, 又焦点 F 到准线 l 的距离为 4, 所以|QF|=|QQ′|=3. 答案 C 2.(2015?四川卷)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条 3 渐近线于 A,B 两点,则|AB|等于( A. 4 3 3 ) B.2 3 D.4 3
2 2

y2

C.6

解析 右焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近线方程为 x - =0,将 x 3 =2 代入渐近线方程得 y =12, ∴y=±2 3, ∴A(2, 2 3), B(2, -2 3), ∴|AB|=4 3. 答案 D 3.已知 A,B,P 是双曲线 2- 2=1 上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线 PA,
2

y2

x2 y2 a b
2 3

PB 的斜率乘积 kPA?kPB= ,则该双曲线的离心率为(
A. 5 2 B. D. 6 2 15 3

)

C. 2

解析 设 A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),因为 A,P 在双曲线上,

1

x y ? ?a -b =1, 所以? 两式相减,得 k k x y ? ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

PA PB

b 2 = 2= , a 3

2

所以 e = 故 e=

2

a2+b2 5 = , a2 3

15 . 3

答案 D 4.(2014?全国Ⅱ卷)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于
2

A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为(
A. 3 3 4 B. D. 9 3 8 9 4

)

63 C. 32 3 解析 易知抛物线中 p= , 2

3 3? 3? ?3 ? 焦点 F? ,0?,直线 AB 的斜率 k= ,故直线 AB 的方程为 y= ?x- ?,代入抛物线方 4? 3 3 ? ?4 ? 21 9 21 2 2 程 y =3x,整理得 x - x+ =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= .由抛物线的 2 16 2 21 3 p 定义可得弦长|AB|=x1+x2+p= + =12,结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d= sin 2 2 2 3 1 9 30°= ,所以△OAB 的面积 S= |AB|?d= . 8 2 4 答案 D

x2 y2 5.(2017?湖州一模)已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的 a b
2

焦点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. 5+1 2 B. 2+1 2 2+1 2
2

)

C. 3+1

D.

解析 依题意,得 F(p,0),因为 AF⊥x 轴,设 A(p,y),y>0,y =4p ,所以 y=2p.所

2

p 4p c 4c 以 A(p, 2p).又点 A 在双曲线上, 所以 2- 2 =1.又因为 c=p,所以 2- 2 =1, 化简, a b a c - a2
4 2 ?c? ?c? 4 2 2 4 2 得 c -6a c +a =0,即? ? -6? ? +1=0.所以 e =3+2 2,e= 2+1. a a ? ? ? ?
2

2

2

2

2

答案 B 二、填空题 6.已知直线 l 过椭圆 8x +9y =72 的一个焦点,斜率为 2,l 与椭圆相交于 M、N 两点,则 弦|MN|的长为________. 解析 由?
? ?y=2(x-1), ?8x +9y =72, ?
2 2 2 2

得 11x -18x-9=0.

2

18 由根与系数的关系,得 xM+xN= , 11

xM?xN=- .

9 11

由弦长公式|MN|= 1+k |xM-xN|= 5? 答案 60 11

2

?18? +4? 9 = ?11? 11 ? ?

2

3 600 60 . 2 = 11 11

1 x y 7.过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是 2 a b 线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.

2

2

解析

? ? 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? x y ? ?a +b =1,
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, a2 b2

(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) ∴ + =0, 2 2

a

b

∴ ∵

y1-y2 b2 x1+x2 =- 2? . x1-x2 a y1+y2 y1-y2 1 =- ,x1+x2=2,y1+y2=2, x1-x2 2

b2 1 ∴- 2=- , a 2
∴a =2b .又∵b =a -c , ∴a =2(a -c ), ∴a =2c ,∴ = 答案 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c a

2 . 2

8.(2017?郑州模拟)已知点 A(-2,0),B(2,0),过点 A 作直线 l 与以 A,B 为焦点的椭 4 2 2 圆交于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ,且直线 l 与圆 x +y =1 相切,则 5
3

该椭圆的标准方程是________. 解析 根据题意,知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),① 由题意设椭圆方程为 2+
2 2

x2 y2 2 =1(a >4),② 2 a a -4
|2k| 1 2 2 2 2 =1,解得 k = .将①代入②,得(a -3)x +a x 3 1+k
2

由直线 l 与圆 x +y =1 相切,得

3 4 2 - a +4a =0,设点 M 的坐标为(x1,y1),点 N 的坐标为(x2,y2),由根与系数的关系,得 4

x1+x2=-
2

4 8 a 8 ,又线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ,所以|x1+x2|= ,即- 2 =- , a -3 5 5 a -3 5
2

a2

2

解得 a =8.所以该椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 答案

x2 y2

x2 y2
8

+ =1 4

三、解答题 9.(2015?全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C: y= 与直线 l: y=kx+a(a>0)交于 M, 4

x2

N 两点.
(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解 (1)由题设可得 M(2 a,a),N(-2 a,a),

或 M(-2 a,a),N(2 a,a). 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y-a 2 4 = a(x-2 a), 即 ax-y-a=0.

x

x2

y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为 y-a=- a(x
4 +2 a),即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x -4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2=
2

x2

y1-b y2-b 2kx1x2+(a-b)(x1+x2) + = x1 x2 x1x2

4



k(a+b) . a

当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意.

x2 y2 2 10. 如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,过点 P(0,1) a b 2
的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线

l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2.
(1)求椭圆 E 的方程; |QA| |PA| (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 = 恒成立? |QB| |PB| 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知,点( 2,1)在椭圆 E 上, 2 1
2 2

+ =1, b ? ?a 因此?a -b =c ,解得 a=2,b= c 2 ? ?a= 2 ,
2 2 2

2,

所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2 (2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点, |QC| |PC| 如果存在定点 Q 满足条件,则有 = =1, |QD| |PD| 即|QC|=|QD|, 所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为(0,y0). 当直线 l 与 x 轴垂直时, 设直线 l 与椭圆相交于 M, N 两点, 则 M, N 的坐标分别为(0, 2), (0,- 2), 由 |QM| |PM| |y0- 2| 2-1 = ,有 = ,解得 y0=1,或 y0=2, |QN| |PN| |y0+ 2| 2+1

x2 y2

所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只可能为(0,2), |QA| |PA| 下面证明:对任意直线 l,均有 = , |QB| |PB| 当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立, 当直线 l 的斜率存在时, 可设直线 l 的方程为 y=kx+1, A、 B 的坐标分别为(x1, y1), (x2,

y2),
5

x y ? ? + =1, 2 2 联立? 4 2 得(2k +1)x +4kx-2=0, ? ?y=kx+1,
其判别式 Δ =(4k) +8(2k +1)>0, 4k 所以 x1+x2=- 2 , 2k +1
2 2

2

2

x1x2=-

2 , 2k +1
2

1 1 x1+x2 因此 + = =2k,

x1 x2

x1x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(-x2,y2), 又 kQA=

y1-2 kx1-1 1 = =k- , x1 x1 x1

y2-2 kx2-1 1 1 kQB′= = =-k+ =k- , -x2 -x2 x2 x1
所以 kQA=kQB′,即 Q,A,B′三点共线, |QA| |QA| |x1| |PA| |QA| |PA| 所以 = = = ,故存在与 P 不同的定点 Q(0,2),使得 = 恒成 |QB| |QB′| |x2| |PB| |QB| |PB| 立. 11.(2016?四川卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三 角形的三个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线 l′平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交 于点 P.证明:存在常数 λ ,使得|PT| =λ |PA|?|PB|,并求 λ 的值. (1)解 由已知,a= 2b,则椭圆 E 的方程为 2+ 2=1. 2b b
2

x2 y2 a b

x2

y2

x y ? ? 2+ 2=1, 2 2 由方程组?2b b 得 3x -12x+(18-2b )=0.① ?y=-x+3, ?
方程①的判别式为 Δ =24(b -3),由 Δ =0,得 b =3, 此时方程①的解为 x=2,所以椭圆 E 的方程为 + =1.点 T 的坐标为(2,1). 6 3 1 (2)证明 由已知可设直线 l′的方程为 y= x+m(m≠0), 2
2 2

2

2

x2 y2

6

1 ? ? ?x=2- 3 , ?y= x+m, 2 由方程组? 可得? 2m ? y=1+ . ?y=-x+3, ? ? 2m 3 2m? 8 2 ? 2m 2 所以 P 点坐标为?2- ,1+ ?.|PT| = m . 3 3 9 ? ? 设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).

x y ? ? 6 + 3 =1, 由方程组? 可得 3x +4mx+(4m -12)=0.② 1 ?y=2x+m, ?
2 2

2

2

方程②的判别式为 Δ =16(9-2m ), 3 2 3 2 由 Δ >0,解得- <m< . 2 2 4m 4m -12 由②得 x1+x2=- ,x1x2= . 3 3 所以|PA|= =
2

2

?2-2m-x1? +?1+2m-y1? ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ?

2

2

5 ? 2m 5? 2m ? 2- -x1? ,同理|PB|= ?2- -x2?. ? ? 3 3 2 ? 2? ? ?

5?? 2m ? ? 2m ?? 所以|PA|?|PB|= ??2- -x1??2- -x2?? 3 3 4?? ?? ?? 5? ? 2m?2 ? 2m? = ?? 2 - -?2- ?(x1+x2)+x1x2? ? ? 4?? 3? ? 3? ? 5? 2m?2 ? 2m?? 4m? 4m2-12? = ?? 2 - ? ? -?2- 3 ??- 3 ?+ 3 ? 4?? 3? ? ?? ? ? = 10 2 m. 9

4 2 故存在常数 λ = ,使得|PT| =λ |PA|?|PB|. 5

7


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