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4.导数与函数的单调性


函数的单调性与导数

学习目标: 1.能陈述导数与函数单调性的关系。 2. 能利用导数求函数的单调区间。 . 3. 能根据给出的单调区间,结合恒成立问题求参数的范围。

知识梳理
? 1.函数的单调性 ? 如果对于定义域I某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都 f(x1)<f(x2) 有 ,则称f(x)在区间D 单调递增区间 上是增函数,区间 D就叫做这个函数的 f(x1)>f(x2) ;如果都 有 .则称f(x)在 单调递减区间 D就叫做这个函数 区间D上是减函数,区间 的 .

? 反映在图象上,若函数f(x)是区间I 上的增函数,则图象在I上的部分 从左到右是上升的.

? 若函数f(x)是区间I上的减函数,则 图象在I上的部分从左到右是下降 的.

二、函数的单调性 f(x)在(a,b)内可导函数 f′(x) ? 0?f(x)在(a,b)上为__________ 增函数 . f′(x)<0?f(x)在(a,b)上为__________ 减函数 .

理清导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(或<0)是 f(x)在(a, b)内单调递增(或递减)的充分不 必要条件; (2)f′(x)≥0(或≤0)是 f(x)在(a, b)内单调递增(或递减)的必要 不充分条件(f′(x)=0 不恒成立).

(3) 由函数 f(x) 在区间 (a , b) 内单调递增 ( 或递减 ) ,可得 f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立,而不是 f′(x)>0(或<0)恒 成立, “=”不能少.

三、

求单调区间的步骤:

①确定函数定义域; ②求导数 f′(x); ③若 f′(x)>0 或 f′(x)<0 不恒成立时, 解 f′(x)>0 或 f′(x)<0, 得增区间或减区间.

1、下列函数中,在区间 (0,2) 上递增的是(

C



1 A. y ? x

B. y ? ? x

C. y ? x

D. y ? x 2 ? 4 x ? 1

2.函数 f(x)=ex-x 的单调递增区间是___________ (0,+∞) .

解析:∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1, 由 f′(x)>0,得 ex-1>0,即 x>0.

3.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大

3 值是________ .

解析:f′(x)=3x2-a≥0,即 a≤3x2, 又∵x∈[1,+∞),∴a≤3,即 a 的最大值是 3.

4、 (2011 年江苏)函数 f ( x) = log( 5 2 x ? 1) 的单调增区间是

1 (? , ? ?) 2

.

考点一 考点二 考点三

利用导数判断或证明函数的单调性 求函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的范围(高频考点)

探究一:判断函数的单调性

1 例 1:讨论函数 f ( x) ? x ? 在(1, ??)上的单调性. x
1 1 ( x2 ? x1 )(1 ? x1 x2 ) 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? ( x2 ? ) ? x1 x2 x1 x2 由x1 , x2 ? (1,+?),且x1 ? x2 , 得x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 1
于是f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ), 1 所以f(x)=x+ 在区间(1,+?)上是增函数. x

解:定义法:设x1 , x2是(1,+?)上的任意两个实数,且x1 ? x2

探究一:判断函数的单调性 1 例 1:讨论函数 f ( x) ? x ? 在(1, ??)上的单调性. x
方法总结:本小题可以用定义法和导数法两种方法去解题, 在定义法中要注意解题的步骤:取值---作差---变形---定号---下结论. 用导数法就是先求导,再判断导数在所要求讨论的区间上的符号, 从而得出结论.

考点二

求函数的单调区间

例 2.[2016 高 考 新 课 标 Ⅲ 文 数 ] 设 函 数

f ( x)? l nx? x?. 1
(I)讨论 f ( x ) 的单调性;
试题解析: (Ⅰ)由题设, f ( x ) 的定义域为
(0, ??) ,
f ' ( x) ? 1 ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . x

' 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当

x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减

考点二

求函数的单调区间

考点二

求函数的单调区间

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导数与函数的单调性

结束

[备选典题]

x a 3 已知函数 f(x)=4+x-ln x-2,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1, 1 f(1))处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

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1 a 1 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2-x, 4 x 1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 2 3 5 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4
2 x -4x-5 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- ,则 f′(x)= , 4 4x 2 4x2

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5, 因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5, +∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数.
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2.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).求函数 f(x)的单调区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 1 f′(x)=x-a, 1 ①当 a≤0 时,f′(x)=x-a>0, 即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞).

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1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=x-a=0,可得 x=a, 1-ax 1 当 0<x<a时,f′(x)= x >0; 1-ax 1 当 x>a时,f′(x)= x <0,
? ?1 ? 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0,a?, 单调递减区间为?a,+∞?. ? ? ? ?

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[类题通法]

求函数的单调区间的“两个”方法 方法一 (1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数y′=f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;

(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

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方法二

(1)确定函数 y=f(x)的定义域;
(2)求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间 内的一切实根;

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实 数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区 间分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相 应区间内的单调性.
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探究三

已知函数的单调性求参数的范围(高频考点)

利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围,是高考 考查函数单调性的一个重要考向,常以解答题的形式出现. 高考对函数单调性的考查主要有以下四个命题角度: (1)根据 f(x)在区间 A 上单调递增(减),求参数的取值范围; (2)根据 f(x)在区间 A 上存在单调递增(减)区间, 求参数的取值 范围; (3)根据 f(x)在区间 A 上为单调函数,求参数的取值范围; (4)根据 f(x)在区间 A 上不单调,求参数的取值范围.

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考点三 已知函数的单调性求参数的范围 (题点多变型考点——全面发掘)

[一题多变]
[典型母题]
已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在 R 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

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[ 解]

(1)f′(x)=3x2-a.

①当 a≤0 时,f′(x)≥0, 所以 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. 3a 2 ②当 a>0 时,令 3x -a=0 得 x=± ; 3 3a 3a 当 x> 或 x<- 时,f′(x)>0; 3 3 3a 3a 当- <x< 时,f′(x)<0. 3 3 ? ? 3a ? 3a ? ? ? ? ? 因 此 f(x) 在 ?-∞,- , ,+ ∞ ? ? 3 ?上为增函数,在 3 ? ? ? ? ? 3a 3a? ? ? 上为减函数. - , ? 3 3 ? ? ?
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综上可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上为增函数; 当 a> 0
? ? ?- ? ? 时,f(x)在? ?-∞,- ? ? ? 3a? ? ? 3a ? , ,+ ∞ ? 3 ?上为增函数,在 3 ? ? ? ?

3a 3a? ? 上为减函数. , 3 3 ? ? (2)因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0. 又因为 a=0 时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1 在 R 上是增函数,

所以 a≤0,即 a 的取值范围为??-∞,0??.
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?

?

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[题点发散 1]

)= =x x3- - ax - 函数 f(x) ax - 11 不变,若 f(x)在区间(1,+∞)

3

上为增函数,求 a 的取值范围.

解:因为f′(x)=3x3-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函 数, 所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立, 即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立, 所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3, 即a的取值范围为??-∞,3??.
? ?

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[题点发散 2]

3 函数 ff (( xx ))=x -ax-1 不变,若 f(x)在区间(-1,1)上

为减函数,试求 a 的取值范围.

解:由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2在(-1,1) 上恒成立. 因为-1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3. 即当a的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减函数.

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[题点发散 3]

函数 ff (( xx ) )=x3-ax-1 不变,若 f(x)的单调递减区间

为(-1,1),求 a 的值.

解:由例题可知,
? f(x)的单调递减区间为? ?- ?

3a 3a? ? , , 3 3 ? ?

3a ∴ =1,即 a=3. 3

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[题点发散 4]

函数 f(x)=x3-ax-1 不变,若 f(x)在区间(-1,1)上

不单调,求 a 的取值范围.

解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f′(x)=3x2-a. 由f′(x)=0,得x=± 3a (a≥0). 3

∵f(x)在区间(-1,1)上不单调, ∴0< 3a <1,得0<a<3, 3

即a的取值范围为(0,3).

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2 1 3 1 2 ? [题点发散 5]设 f(x)=- x + x +2ax.若 f(x)在 3,+∞?上 3 2 ? ? 存在单调递增区间,求 a 的取值范围.

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结束

1 3 1 2 解:(1)f(x)=- x + x +2ax,由题意知 3 2 2 ? f′(x)=-x +x+2a>0 在?3,+∞? ?上有解,
2

即 2a>x2-x, 2? 2 ? 令 g(x)=x -x,g(x)>g?3?=- . 9
2

1 即 a>- . 9 1 ? - ∴a 的取值范围为? 9,+∞? ?.
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[类题通法]

已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则 区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减,则 f′(x)≤0”来求解.

[提醒]

f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a, b)都有

f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此 时式子中的等号不能省略,否则漏解.
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(2)①f(x)递增,则 f′(x)≥0 恒成立; ②f(x)递减,则 f′(x)≤0 恒成立; ③f(x)存在增区间,则 f′(x)>0 有解; ④f(x)存在减区间,则 f′(x)<0 有解. 5.f(x)不单调,则 f′(x)有正有负.

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