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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征


2.2.2 用样本的数字特征估计

总体的数字特征

1.对一个未知总体,我们常用样本的频率分布来估 计总体的分布,其中表示样本数据的频率分布的基 本方法有哪些? 图、表、总体数据的数字特征

2.下图是某赛季东、西部球队数据,那么如何比较东 部赛区与西部赛区的优劣呢?

如果要求我们根据上面的

数据,估计、比较某赛季 东部赛区与西部赛区的优劣,就得有相应的数据作 为比较依据,即通过样本数据对总体的数字特征进 行研究,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.

1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算

数据的标准差.
2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字

特征.(难点)
3.会应用相关知识来解决简单的统计问题.(重点)

【课堂探究1】众数、中位数、平均数 思考1:怎样将各个样本数据汇总为一个数值, 并使它成为样本数据的“中心点”? 1.众数的定义: 在一组数据中,出现次数最多的数 据叫做这一组数据的众数. 2.中位数的定义: 将一组数据按大小顺序依次排 列,把处在最中间位置的一个数据(或两个数据 的平均数)叫做这组数据的中位数. 3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的个数所 得到的数.

思考2:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布 直方图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估

计总体的众数是什么? 频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
O 取最高矩形下端中点的 横坐标2.25作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

思考3:在频率分布直方图中,每个小矩形的面积
表示什么?中位数左右两侧的直方图的面积应有 什么关系? 每个小矩形的面积即为所在组的频率,中位 数左边和右边的直方图的面积应该相等.

频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

o

0.5

1 1.5

2 2.5 3 3.5 4

4.5

月均用水量/t

从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08,0.15,
0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.

0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,
0.5×(0.01÷0.25)=0.02,所以中位数是2.02.

思考4:平均数是频率分布直方图的“重心”,将

频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底
边中点的横坐标之积相加,就是样本数据的估计

平均数. 由此估计总体的平均数是什么?
频率/组距

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

o

0.5

1 1.5

2 2.5 3 3.5

4 4.5

月均用水量/t

各小矩形底边中点的横坐标为:0.25,0.75, 1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25. 各小矩形的面积为: 0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06, 0.04,0.02. 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22
+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04

+4.25×0.02=2.02(t).
所以平均数是2.02 t.

平均数与中位数相等,是必然还是巧合?
巧合

思考5:从居民月均用水量样本数据可知,该样本 的众数是2.3,中位数是2.0,平均数是1.973,这与 我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差,你

能解释一下原因吗?
频率分布直方图损失了一些样本数据,得到的是一

个估计值,且所得的估计值与数据分组有关.
注:在只有样本频率分布直方图的情况下,我们可以

按上述方法估计众数、中位数和平均数,并由此估
计总体特征.

思考6:一组数据的中位数一般不受少数几个极

端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但它
对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例

说明吗?样本数据的平均数大于(或小于)中位
数说明什么问题?你怎样理解“我们单位的收入

水平比别的单位高”这句话的含义?

如:样本数据收集有个别差错不影响中位数;大学

毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.
平均数大于(或小于)中位数,说明样本数据

中存在许多较大(或较小)的极端值.
这句话具有模糊性甚至蒙骗性,其中收入水平 是员工工资的某个中心点,它可以是众数、中位数 或平均数.

反应数据特点的值还有什么?

【课堂探究2】

标准差

思考1:在一次射击选拔赛中,甲、乙两名运动员 各射击10次,每次命中的环数如下: 甲:7 乙:9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 4 7

甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?

x 甲 ? 7,

x乙 ? 7 .

思考2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,如图所 示,你能说明其水平差异在哪里吗?
频率

(甲)

频率

(乙)

0.4 0.3 0.2 0.1 O

0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O

4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大; 乙的成绩相对集中,比较稳定.

思考3:对于样本数据x1,x2,?,xn,设想通过 各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的 分散程度,那么这个平均距离如何计算?

| x 1 ? x | ?| x 2 ? x| ? ? ? | xn n
含有绝对值,运算不方便.

? x|

标准差 (1)定义:反映样本数据的分散程度的大小,最常用 的统计量是标准差,一般用s表示.假设样本数据 x1,x2,?,xn的平均数为 x ,则标准差的计算公 式是:

(x1 ? x) 2 ? (x 2 ? x) 2 ? ? ? (x n ? x) 2 s? n

(2)特征:标准差描述一组数据围绕 平均数 波 动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的 大小.标准差较大,数据的离散程度较 大 ;标准差 小 较小,数据的离散程度较______.

计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差,比
较其射击水平的稳定性. 甲:7 乙:9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 4 7

s甲=2,s乙≈1.095. 由s甲>s乙,可估计乙比甲的射击成绩稳定.

例1 画出下列四组样本数据的条形图, 说明它们的异同点. (1) 5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2) 4,4,4,5,5,5,6,6,6;
解:

(1)

(2)

(3) 3,3,4,4,5,6,6,7,7;

(4) 2,2,2,2,5,8,8,8,8.

(3)

(4)

例2 甲乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零 件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下 (单位:mm):

甲: 25.46 25.45 25.44 乙: 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.32 25.38 25.40 25.45 25.42 25.42 25.39 25.39 25.35 25.36 25.43 25.41 25.34 25.39 25.39 25.42 25.40

25.49
25.47

25.36
25.31

25.34
25.32

25.33
25.32

25.43
25.32

25.43
25.48

25.32

从生产零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高?

解:

x 甲 ? 25.401,
s甲 ? 0.037,

x 乙 ? 25.406,
s乙 ? 0.068.

甲生产的零件内径更接近内径标准,且稳定程度
较高,故甲生产的零件质量较高.

说明:生产质量可 以从 总体的平均数与标准差两
个角度来衡量,但甲、乙两个总体的平均数与标 准差都是不知道的,我们就用样本的平均数与标 准差估计总体的平均数与标准差.

【变式练习】 某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人 的竞赛成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行 的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据 如下: 甲 127 138 130 137 135 131



133

129 138 134

128 136

求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的
稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.

[解析]

设甲乙两人的平均数分别为 x甲, x乙 ,
1 x 6

则 x甲 =130+

(-3+8+0+7+5+1)=133,

x乙 =130+

2 s甲 = 1 x [(-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2]=47 , 6 3 2 s乙 = 1 x [02+(-4)2+52+12+(-5)2+32]= 38 , 6 3

1 x 6

(3-1+8+4-2+6)=133,

因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小, 所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选乙参加竞赛 比较合适.

1.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是

15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,则这
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C ) A.14 B.16 C.15 D.17

【解析】选C.把件数从小到大排列为10,12,14,14, 15,15,16,17,17,19,可知中位数为15.

2.设样本数据 x1 ,x2 ,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若
yi =xi +a( a 为非零常数, i =1,2,?10 ) ,则 y1 ,? y2 ,? y10 的均值和

方差分别为( A.1+a,4

) B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a

【解析】选 A.样本数据 x1 ,x2 ,?,x10 的均值
1 x = (x1 +x2 +? +x10 )=1 ,方差 10 1 '2 s = [(x1 -1)2 +(x2 -1)2 + ? +(x10 -1)2 )=4; 10
'

新数据 x1 +a,x2 +a,?,x10 +a 的均值
x= 1 1 (x1 +a+x2 +a+ ? +x10 +a)= (x1 +x2 + ? +x10 )+a=1+a, 10 10

新数据 x1 +a,x2 +a,?,x10 +a 的方差
1 s = [(x1 +a-1-a)2 +(x2 +a-1-a)2 + ? +(x10 +a-1-a)2 ]=4. 10
2

3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩 (单位:环),结果如下:
运动员 甲


第1次 87
89

第2次 91
90

第3次 90
91

第4次 89
88

第5次 93
92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的 方差为_______.

解: x甲 =

87 + 91+ 90 + 89 + 93 = 90 5

89 + 90 + 91+ 88 + 92 x乙 = = 90 5

S甲2 =4 S乙2 =2

2 2 2 2 (87 ? 90) 2 ? (91-90) +(90-90) +(89-90) +(93-90) = 5

2 2 2 2 (89 ? 90) 2 ? (90-90) +(91-90) +(88-90) +(92-90) = 5

答案:2

4.现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和 是100,那么这个数组的标准差是( A ) A .1 解: B .2 C .3 D .4

由s2= 1 (x12+ x22 +?+ xn2)- x 2, 得 n s2= 1 ×100-32=1. 10

5.甲、乙两个班各随机选出
15名同学进行测验,所得成 绩的茎叶图如图.从图中看, _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩

的情况可知,乙班平均成绩较高.
答案:乙

6.统计某校1 000名学生的数学会考成绩,得到样本 频率分布直方图如图所示,规定不低于60分为及格, 不低于80分为优秀,则及格人数是______;优秀率为 ______.

【解析】由已知不低于60分及格,则及格的频

率为0.025×10+0.035×10+0.01×20
=0.25+0.35+0.2=0.8.

所以及格的人数为1 000×0.8=800.
不低于80分为优秀,则优秀的频率为 0.01×20=0.2. 所以优秀率为20%. 答案:800 20%

众数
样 本 的 数 字 特 征

频率分布直方图中最 高矩形下端的中点 中位数两边的直 方图的面积相等 频率分布直方图中每个小矩 形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和

中位数

平均数

标准差

进步是从看到自己的落后开始的;高 明是从解剖自己的弱点开始的.


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