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第三节空间点线面的位置关系


考纲要求: 点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义, 并了解如下可以作为推理 依据的公理和定理。 ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理 2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一个过该点的公共直线。 ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那 么这两个角相等或互补。 ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理 解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

[知识能否忆起] 一、平面的基本性质

名称

图示

文字表示

符号表示

如果一条直线 上的两点在一 A∈l,B∈l, 公理1 个平面内,那 且A∈α,

l?α 么这条直线在 B∈α?______
此平面内

名称

图示

文字表示

符号表示

过不在一条直线上
公理2 的三点,有且只有 一个平面

如果两个不重合的

公理3

P∈α, 平面有一个公共点, 且P∈β? 那么它们有且只有 _____ α∩ β = l 一条过该点的公共 ___________ 且 P∈l 直线

二、空间直线的位置关系
1.位置关系的分类 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ? ? ? ?共面直线? 平行直线:同一平面内, 没有 公共点; ? ? ? ? ?异面直线:不同在 任何 一个平面内,没有 公共点.

2.平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .

3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角 相等或互补.

4.异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点

O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的
异面直线a与b所成的角.
? π? ?0, ? (2)范围:? _______. 2?

叫做 ) 锐角(或直角

三、直线与平面的位置关系

位置关系 直线l在平
面α内 直线l与平

图示

符号表示
l?α _____ l ∩ α= A ________ l∥ α ______

公共点个 数 无数个 _______ 一个 _____

面α相交
直线l与平 面α平行

0个 _____

四、平面与平面的位置关系

位置关系

图示

符号表示

公共点个数

两个平面

平行

α∥ β _____

0 个 _____

两个平面 相交

α∩β=l ____

无数 个(这些公 _____ 共点均在交线l上)

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)已知a,b是异面直线,直线c平行于
直线a,那么c与b ( )

A.异面
C.不可能平行

B.相交
D.不可能相交

解析:由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交 直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b.与a,b 是异面直线相矛盾. 答案:C

2.(2013· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面;

(

)

②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 C.2 答案:C B.1 D.3

解析:①④错误,②③正确.

3.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC= ∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 A.AB∥CD B.AB与CD异面 ( )

C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 解析:若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰 三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平 行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线. 答案:D

4. 已知平面 α∩β=l,直线 m?α, 直线 n?β,m∩n=P, 则点 P 与直线 l 的位置关系用符号表示为 P∈l .
5.(教材习题改编)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与
AB共面又与CC1共面的棱的条数为________.
解析:如图,与AB和CC1都相交的 棱有BC;与AB相交且与CC1平行 的棱有AA1,BB1;与AB平行且与 CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合

条件的棱共有5条.
答案:5

1.三个公理的作用

(1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面
内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.

(2)公理2的作用:确定平面的依据,它提供了把空
间问题转化为平面问题的条件.

(3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两相交
平面的交线;③证明多点共线.

2.异面直线的有关问题

(1)判定方法:①反证法;②利
用结论即过平面外一点与平面内一

点的直线与平面内不过该点的直线
是异面直线,如图.

(2)所成的角的求法:平移法.

平面的基本性质及应用

[例1] 如图所示,在正方体ABCD-

A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为A1A的中点,
求证:CE,D1F,DA三线共点.

1 [自主解答] 证明:∵EF∥= CD1, 2 ∴直线 D1F 和 CE 必相交. 设 D1F∩CE=P, ∵P∈D1F 且 D1F?平面 AA1D1D, ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE?平面 ABCD, ∴P∈平面 ABCD, 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点. 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD. ∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点.

1.证明线共点问题常用的方法是:先证其中两条 直线交于一点,再证交点在第三条直线上. 2.证明点或线共面问题一般有以下两种途径:① 首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后 再证其余线(或点)均在这个平面内;②将所有条件分为 两部分,然后分别确定平面,再证平面重合.

1.(1)在空间中,下列命题正确的是 (

)

A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形 C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形 (2)对于四面体ABCD,下列命题正确的是________(写出编号).

①相对棱AB与CD所在直线异面;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点; ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直 线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

解析:(1)由“两平行直线确定一个平面”知 C正确.

(2)由四面体的概念可知,AB与CD所在的
直线为异面直线,故①正确; 由顶点A作四面体的高,只有当四面体ABCD的对棱互相 垂直时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故②错误; 当DA=DB,CA=CB时,这两条高线共面,故③错误; 设AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,M,N,易证 四边形EFMN为平行四边形,所以EM与FN相交于一点, 易证另一组对棱也过它们的交点,故④正确. 答案:(1)C (2)①④

异面直线的判定 [例2] (2013· 金华模拟)在图中,G,N,M,H

分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直
线GH,MN是异面直线的图形有________.(填上所

有正确答案的序号)

[自主解答]

图①中,直线GH∥MN;

图②中,G,H,N三点共面,但M?面GHN,
因此直线GH与MN异面;

图③中,连接MG,GM∥HN,
因此GH与MN共面;

图④中,G,M,N共面,但H?面GMN,
因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. [答案] ②④

1.异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条
直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设

的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定
假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经

常用到.
2.客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和

平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面
直线.

2.已知m,n,l为不同的直线,α,β为不同的平面,有下面四个命
题:

①m,n为异面直线,过空间任一点P,一定能作一条直线l与
m,n都相交. ②m,n为异面直线,过空间任一点P,一定存在一个与直线 m,n都平行的平面. ③α⊥β,α∩β=l,m?α,n?β,m、n与l都斜交,则m与n一定

不垂直; ④m,n是α内两相交直线,则α与β相交的充要条件是m, n至少有一条与β相交. 则四个结论中正确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C . 3 D. 4

解析: ①错误,因为过直线m存在一个与直线n平行的 平面,当点P在这个平面内且不在直线m上时,就 不满足结论;

②错误,因为过直线m存在一个与直线n平行的
平面,当点P在这个平面内时, 就不满足结论; ③正确,否则,若m⊥n,在直线m上取一点作 直线a⊥l,由α⊥β,得a⊥n.从而有n⊥α,则n⊥l; ④正确.
答案:B

异面直线所成角(补充例题) [例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分

别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角
[解] 连接 DF,则 AE∥DF,∴∠D1FD 即为 异面直线 AE 与 D1F 所成的角.设正方体棱长 5 5 为 a,则 D1D=a,DF= a,D1F= a, 2 2
? ? 5 ? ?2 ? 5 ?2 a? +? a? -a2 2 ? ?2 ? 3 ∴cos∠D1FD= = . 5 5 5 2· a· a 2 2 ? ? ? ?

3 的余弦值为________ . [答案] 5

求异面直线所成的角一般用平移法,步骤如下:

(1)一作:即找或作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;

(3)三求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角
是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝

角,则它的补角才是要求的角.

3.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形, 则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 ( )
2 5 A. 5 5 B. 5 4 C. 5 3 D. 5
答案:B

解析:如图所示,因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD∥AB,则 CD 与 PA 所 成的角即为 AB 与 PA 所成的角∠PAB, 在△PAB 内,PB=PA= 5,AB=2, 利用余弦定理可知: PA2+AB2-PB2 5+4-5 5 cos ∠PAB= = = . 2×PA×AB 2×2× 5 5

[典例] 平面

(2012· 浙江高考)设l是直线,α,β是两个不同的 ( )

A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β

D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

[常规解法]

设α∩β=a,若直线l∥a,且l?α,l?β,

则l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A错误;由于

l∥α,故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β,故
α⊥β,所以B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则 l⊥α,此时l在平面β内,因此C错误;已知α⊥β,若 α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因 此D错误.

[答案] B

(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观 模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减

少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.
(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定, 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.

[巧思妙解]

借助于长方体模型解决本题:

对于A,如图①,α与β可相交; 对于B,如图②,不论β在何位置,都有α⊥β; 对于C,如图③,l可与β平行或l?β内;

对于D,如图④,l⊥β或l?β或l∥β.

针对训练

(2012· 大连二模)平面α外有两条直线m和n,如果m 和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列

四个命题:①m1⊥n1?m⊥n;②m⊥n?m1⊥n1;③m1
与n1相交?m与n相交或重合;④m1与n1平行?m与n平 行或重合. 其中不正确的命题个数是 . A.1 ( B.2 )

C.3

D.4

解析:如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面上

的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.
A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1, 故①不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1 ∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m与n还可以 异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可

以异面,④不正确.
答案:D

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012· 襄阳模拟)关于直线a,b,l以及平面M, N,下面命题中正确的是 A.若a∥M,b∥M,则a∥b B.若a∥M,b⊥a,则b⊥M ( )

C.若a⊥M,a∥N,则M⊥N
D.若a?M,b?M, 且l⊥a,l⊥b,则l⊥M

解析:同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交

或异面,故A错.a∥M,b⊥a时,b与M的位置关系
不确定,B错;当a∥b时,l⊥a,l⊥b,l不一定垂直 于M,故D错误. 答案:C

2.(2012· 蚌埠模拟)如图在四面体OABC 中,OA,OB,OC两两垂直,且OB =OC=3,OA=4.给出如下判断: ①存在点D(O点除外),使得四面体 DABC有三个面是直角三角形; ②存在点D,使得点O在四面体DABC 外接球的球面上; ③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC; ④存在的点D,使得四面体DABC是正棱锥; ⑤存在无数个点D,使得AD与BC垂直且相等. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题 的序号填上).

解析:①作OH⊥平面ABC于H并延长至D,使OH=HD, 则四面体DABC与四面体OABC全等,故①正确;

②在以O,A,B,C确定的球上,显然存在点D满足条件,
故②正确; ③过O做平面ABC的垂线,在垂线上取四面体OABC右 上方外的点D,显然OD⊥平面ABC,故③不正确;

④△ABC不是正三角形,以△ABC为底面没有正棱锥.
取BC的中点O1,在平面AOO1内取D,使BC=BD=CD= 3且AD=5,则四面体是以△BCD为底的正棱锥,这样的 D点存在,所以④正确. ⑤BC垂直于④所作的平面AOO1,在平面AOO1内以A为圆 心,以BC为半径作圆,圆周上任一点满足条件,所以这 样的D点有无数个,故⑤正确.

答案:①②④⑤

3.(2012· 西安模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线PC与AB所

成角的大小是________.
解析:分别取PA,AC,CB的中点 F,D,E连接FD,DE,EF,AE, 则∠FDE是直线PC与AB所成角或 其补角. 设PA=AC=BC=2a,在△FDE中,易求得FD= 2a,DE= 2a,FE= 6a,

2a2+2a2-6a2 1 根据余弦定理,得cos ∠FDE= =- ,所 2 2× 2a× 2a 以∠FDE=120° . 所以直线PC与AB所成角的大小是60° .

答案:60°


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