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2014年北京市高三二模分类汇编02概率(理科)


2014 年北京市各区高三二模试题汇编—概率(理科)
1 (2014年东城二模理科) (11)在区间 [0, 6] 上随机取两个实数 x , y ,则事件“ 2 x ? y ? 6 ” 的概率为_________.

概率为_______.

2? 2? ? 2 2 ; 16 16

1 4

5. (2014 年东城二模理科)(16) (本小题共 13 分) “你低碳了吗?”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活 动组织者为了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 100 名年龄段在 [10,20) , [20,30) , ,

? x≥0, ? 2 (2014 年西城二模理科)(7). 在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y≥0, 所表示的 ? x ? y ? 8≤0 ?

?0≤x≤4, 平面区域是 ? ,不等式组 ? 所表示的平面区域是 ? . 从区域 ? 中随机取一点 ?0≤y≤10
P( x, y) ,则 P 为区域 ? 内的点的概率是(
( A) ) (C)

[50,60) 的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数; (Ⅱ)从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人,求 [50,60) 年龄段抽取

1 4

(B)

3 5

3 4

(D)

1 5

的人数; (Ⅲ)从按(Ⅱ)中方式得到的 8 人中再抽取 3 人作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄在

3 (2014 年丰台二模理科) (10)已知一个样本容量为 100 的样本

数据的频率分布直方图如图所示, 那么样本数据落在[40,60)内的样本 的频数为 ____ ;

[50,60) 年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.
频率 组距

估计总体的众数为_________.15,75
0.025 0.020 0.015 0.005 10 20 30 40 50 60

4 (2014 年昌平二模理科) (14) 已知正方体

y
1

y=x3

6. (2014 年西城二模理科) (16). (本小题满分 13 分) 为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A,B 两班中各抽 5 名学生

ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, ABC1D1 内 在四边形
? ?

随机取一点 M ,则 ?AMB ? 90 的概率为_______ , ?AMB ? 135 的

O

1

x

进行视力检测.检测的数据如下: A 班 5 名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B 班 5 名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.
1

(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (Ⅱ)由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大?(结论不要求证明) (Ⅲ) 现从 A 班的上述 5 名学生中随机选取 3 名学生,用 X 表示其中视力大于 4.6 的人 数,求 X 的分布列和数学期望. 现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且 A,B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率; (Ⅱ)设 X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和, 求 X 的分布列及其数学期望 E(X).

7. (2014 年朝阳二模理科) (16) (本小题满分 13 分) 某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于 80 小时的社区服务才合格.教育部门在全 市随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据,按时间段 ?75,80? , ?80,85? , ?85,90? , 9. (2014 年丰台二模理科)(16) (本小题满分 13 分)

某超市进行促销活动,规定消费者消费每满 100 元可抽奖一次.抽奖规则:从 装有三种只有颜色不同的球的袋中随机摸出一球,记下颜色后放回,依颜色 分为一、二、三等奖,一等奖奖金 15 元,二等奖奖金 10 元,三等奖奖金 5 元.活动以来,中奖结果统计如图所示:

?90,95? , ?95,100? (单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ )求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计 从全市高中学生中任意选取一人,其参 加社区服务时间不少于 90 小时的概率; (Ⅱ )从全市高中学生(人数很多)中任意选取 3 位 学生,记 ? 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数. 试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .
0.075 0.060 0.040 0.020 0.005 O
频率 组距

75

80

85

90

95

100

服务时间/小时

消费者甲购买了 238 元的商品,准备参加抽奖.以频率作为概率,解答下列 各题. (Ⅰ)求甲恰有一次获得一等奖的概率; (Ⅱ)求甲获得 20 元奖金的概率;

8. (2014 年海淀二模理科 17.(本小题满分 13 分) 某单位有车牌尾号为 2 的汽车 A 和尾号为 6 的汽车 B,两车分属于两个独立业务部门.对 一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A 车日出车频率 0.6,B 车日出车频 率 0.5.该地区汽车限行规定如下: 车尾号 0和5 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 4和9 限行日 星期一 星期四 星期五
2

(Ⅲ)记甲获得奖金金额为 X,求 X 的分布列及期望 EX.

10. (2014 年昌平二模理科) (16)(本小题满分 13 分)

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题, 按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选题中应聘者 甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不能完成; 应聘者乙每题正确完成的概率都是 成与否互不影响. (Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大?

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 .

2 ,且每题正确完 3

P( X ? 0) ?

3 C6 5 ? ; 3 C8 14 1 2 C2 C6 15 ? ; 3 C8 28

P( X ? 1) ?

2 1 C2 C 3 P( X ? 2) ? 3 6 ? . C8 28

所以 X 的分布列为 11. (2014 年顺义二模理科) 16. (本小题共 13 分)

X P

0

1

2

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛” , 在相同的条件 下,两人 5 次测试的成绩(单位:分)记录如下: 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛,你认为选派谁参赛更好?说明 理由(不用计算) ; (Ⅲ)若将频率视为概率,对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测,记这三次成 绩高于 80 分的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

15 3 28 28 5 15 3 3 X 的数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .?????????13 分 14 28 28 4 4.3+5.1+4.6+4.1 ? 4.9 =4.6 ,???? 2 6. (Ⅰ)解:A 班 5 名学生的视力平均数为 xA = 5


5 14

B 班 5 名学生的视力平均数为 xB =

5.1+4.9+4.0+4.0 ? 4.5 =4.5 . ?????? 3 分 5
?????? 4 分 ?????? 7 分

从数据结果来看 A 班学生的视力较好. (Ⅱ)解:B 班 5 名学生视力的方差较大. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知,A 班的 5 名学生中有 2 名学生视力大于 4.6 . 则 X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 . 所以 P( X ? 0) ?

2014 年北京市各区高三二模试题汇编—概率(理科)答案
1.

1 ;2.C;3.15,75;4. 2? ; 2? ? 2 2 ; 4 16 16
5. 解: (Ⅰ) 1 ? 10 ? (0.020 ? 0.025 ? 0.015 ? 0.005) ? 0.35 ,

?????? 8 分 ?????? 9 分

1 0? 0

0? . 3 5 , 3 5

C3 1 3 ? ; 3 C5 10

即随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数为 35 .?????????4 分 (Ⅱ) 100 ? 0.15 ? 15 , 100 ? 0.05 ? 5 ,

2 1 C3 C 3 P( X ? 1) ? 3 2 ? ; C5 5 2 C1 3 3C 2 ? . 3 C5 10

?????? 10 分

8 ? 2, 所以 5 ? 20
即抽取的 8 人中 [50,60) 年龄段抽取的人数为 2 . ????????7 分

P( X ? 2) ?

?????? 11 分

所以随机变量 X 的分布列如下:

X
3

0

1

2

P

1 10

3 5

3 10
?????? 12 分

由 已 知 可 得 P( Ai ) ? 0.6, P( Bi ) ? 0.5

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为

C --------1 分
因为 A, B 两车是否出车相互独立,且事件 A 1B 1, A 1B 1 互斥 ----------------2 分

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? . 故 E( X ) ? 0 ? 10 5 10 5
7.解: (Ⅰ)根据题意,

?????? 13 分 所以 P(C) ? P( A 1B 1?A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? P( A 1 ) P( B1 )

? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.5
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为 0.5 . {答题与设事件都没有扣 1 分,有一个不扣分} (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3

--------------------------4 分 --------------------------5 分 ----------------------------6 分

参加社区服务时间在时间段 ?90,95? 小时的学生人数为 200 ? 0.060 ? 5 ? 60 (人) , 参加社区服务时间在时间段 ?95,100? 小时的学生人数为 200 ? 0.020 ? 5 ? 20 (人) . 所以抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的 概率估计为 P ? 60 ? 20 ? 80 ? 2 .

P( X ? 0 )? P (1A 1B ) P(2 A?)

0? .4 ? 0 . 5 ?0 . 4

0.08 0.32 0.42

P( X ? 1 )? P (C )P2( A ?) P A) ? 0 . 5 ? 0 . 4? 0 .? 4 0? .5 0.6 1 (A 1 B) P 2( ? P( X ? 2 )? P (1A 1B ) P(2 A?) P( C) P A) ? 0.6?0.5 ? 0 .? 4 2( ? 0? .5 0.6

200

200

5

……………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从全市高中生中任意选取 1 人,其参加社区服务时间不少于 90 小时 的概率为 . 由已知得,随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2,3 .
0 0 3 所以 P (? ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ?

2 5

P( X ? 3) ? P( A1B1 ) P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.18
所以 X 的的分布列为 0 0.08 1 0.32 2 0.42

----------------------------10 分

X P

3 0.18

27 ; 125 3 54 1 2 1 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? ; 5 5 125 2 3 36 P (? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ; 5 5 125 3 8 3 2 3 P (? ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? . 5 5 125

2 5

3 5

--------------11 分 E ( X ) ? 0 ? 0.08 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.42 ? 3 ? 0.18 ? 1.7 -------------------------------13 分

9. 解:由题意得:抽奖一次获得一等奖的概率为

50 1 ? , 500 10 100 1 350 7 ? ,获得三等奖的概率为 ? 获得二等奖的概率为 . 500 5 500 10

随机变量 ? 的分布列为

(I)设甲恰有一次获得一等奖的概率为 P1 ,则
0 1 2 3

?
P

1 1 9 P ?( 1 ? ) ? . 1 ? 2 ? 10 10 50

54 36 125 125 2 2 6 因为 ? ~ B(3, ) ,所以 E? ? 3 ? ? . 5 5 5

27 125

8 125
……………13 分

所以甲恰有一次获得一等奖的概率为

9 . 50

-----------------5 分

(II)设甲获得 20 元奖金的概率为 P2 ,则
P2 ? 2 ?
4

9. 解: (Ⅰ)设 A 车在星期 i 出车的事件为 Ai , B 车在星期 i 出车的事件为 Bi , i ? 1, 2,3, 4,5

1 7 1 1 9 ? ? ? ? 10 10 5 5 50

?
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5

所以甲获得 20 元奖金的概率为 9 . 50 --------------8 分 (III)X 可取 10,15,20,25,30

考生甲正确完成题数 ? 的分布列为

7 7 49 ? ? 10 10 100 1 7 28 P( X ? 1 5 ? ? ? ) 2 ? 5 10 100 1 7 1 1 18 P( X ? 2 0 ? ? ? ? ? ) 2 ? 10 10 5 5 100 1 1 4 P( X ? 2 5 ? ? ? ) 2 ? 10 5 100 P( X ? 1 0 ? )
1 1 1 ? ? 10 10 100 所以 X 的分布列为 P( X ? 3 0 ? )

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
设乙正确完成面试的题数为? ,则? 取值分别为 0,1, 2,3 .

??????4 分 ??????5 分

?
P

0

1

2

3

12 8 27 27 X 15 20 25 28 18 4 P 100 100 100 49 28 18 4 1 ? EX ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 14 . 100 100 100 100 100

1 27 10 49 100

6 27

1 0 1 3 ( ) ? P(? ? 0) ? C3 ; 3 27 6 1 2 1 1 2 P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 3 3 27 12 2 2 2 1 P(? ? 2) ? C3 ( ) ( )? , 3 3 27 8 3 2 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? . 3 27 考生乙正确完成题数? 的分布列为:

??????7 分

30 1 100 ----------13 分

10. 解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为 ? , 则 ? 的取值分别为 1, 2,3 . 分

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2. ??????8 分 27 27 27 27 1 3 1 2 2 2 2 (Ⅱ)因为 D? ? (1 ? 2) ? ? (2 ? 2) ? ? (3 ? 2) ? ? , ?????10 分 5 5 5 5 1 6 12 8 2 D? ? (0 ? 2) 2 ? ? (1 ? 2) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (3 ? 2) 2 ? ? . ??12 分 27 27 27 27 3 2 (或 D? ? npq ? ). 3 E? ? 0 ?
所以 D? ? D? . (或:因为 P (? ? 2) ?

???1

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C2 1 ? ; 3 C6 5 2 1 C4 C2 3 ? ; 3 C6 5 3 0 C4 C2 1 ? ; 3 C6 5

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P(? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2) . ) 综上所述, 从做对题数的数学期望考查,两人水平相当; 从做对题数的方差考查,甲较稳定; ???3 分
5

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

从至少完成 2 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大.

?????13 分

(说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.)

11.

解: (Ⅰ)茎叶图





8 7 2

7 8 9

8 2 2 8 5

— — —

6 2

—3 分

(Ⅱ)由 且乙的方差小于 因此应选派乙参赛更好.

图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩, 甲的方差,且乙的最高分高于甲的最高分,

————6 分

(Ⅲ)记甲“高于 80 分”为事件 A,?

P( A) ?

2 5

?X

2 2 2 (3, ) P( x ? k ) ? C3k ( ) k (1 ? )3? k 5 , 5 5 B ————8 分

X 的可能取值为 0,1, 2,3 .
分布列为:

X
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125
————11 分

8 125

EX ?

6 5

————13 分

6


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