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全国版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质课件理


第四节
直线、平面平行的判定及其性质

【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 平面外一条直线 与_________ 此平面内 的一 条直线平行,则该 直线与此平面平 行(线线平行?线 面平行) 图形语言 符号语言

判 定 定 理

因为_____ l∥a, __________

, a?αl∥ , l? 所以 αα

性 质 定 理

文字语言 一条直线与一个平 面平行,则过这条 直线的任一平面 与此平面的_____ 交线 与该直线平行 (简 记为“线面平行? 线线平行)

图形语言

符号语言 因为______ l∥ α , _____, l?β _________, α∩ =b 所以 lβ ∥b

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判 定 定 理 一个平面内的两条 _________与另一个 相交直线 平面平行,则这两 个平面平行(简记 为“线面平行?面 面平行”) 图形语言 符号语言 因为_______ a∥β , _______ b∥β , ________ a∩b=P, _______ a?α , ______, 所以 α ∥β b?α

文字语言
性 如果两个平行

图形语言

符号语言
因为________ α ∥β , __________ α ∩γ =a, _________, β ∩γ =b 所以a∥b



平面同时和第

三个平面_____, 定 相交 那么它们的 理 _____平行 交线

【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论:

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α ,
a⊥β ,则α ∥β . (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α ∥β , β ∥γ , 则α ∥γ .

2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则会出现错误.

【小题快练】 链接教材 练一练 ( )

1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是

A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何 平面 B.若直线a和平面α 满足a∥α ,那么a与α 内的任何直 线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α 满足a∥b,a∥α ,b?α ,则b∥α

【解析】选D.A错误,因a可能在经过b的平面内;B错 误,a与α 内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相

交;D正确,由a∥α ,可得a平行于经过直线a的平面与α
的交线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b?α,c?α,所以 b ∥α .

2.(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是DD1的中点,则BD1与平面 ACE的位置关系为____________.

【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,点
E,O分别是DD1,BD的中点,则EO∥BD1,又因为EO?平面

ACE,BD1?平面AEC,所以BD1∥平面ACE.
答案:平行

感悟考题

试一试

3.(2015·北京高考)设α ,β 是两个不同的平面,m是直

线且m?α ,“m∥β ”是“α ∥β ”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

(

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.当m∥β 时,可能α ∥β ,也可能α 与β 相 交.当α ∥β 时,由m?α可知,m∥β .因此,“m∥β ”是

“α ∥β ”的必要而不充分条件.

4.(2016·兰州模拟)设l为直线,α ,β 是两个不同的平 面.下列命题中正确的是 ( )

A.若l∥α ,l∥β ,则α ∥β
B.若l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β C.若l⊥α ,l∥β ,则α ∥β D.若α ⊥β ,l∥α ,则l⊥β

【解析】选B.选项A,若l∥α ,l∥β ,则α 和β 可能平行 也可能相交,故错误;选项B,若l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β ,

故正确;选项C,若l⊥α ,l∥β ,则α ⊥β ,故错误;选项D,
若α ⊥β ,l∥α ,则l与β 的位置关系有三种可能:l与β 相交,l∥β ,l?β,故错误.

5.(2016·合肥模拟)已知平面α ,β 和直线m,给出条件: ①m∥α ;②m⊥α ;③m?α ;④α ⊥β ;⑤α ∥β .能推

导出m∥β 的是
A.①④

(

)
C.②⑤ D.③⑤

B.①⑤

【解析】选D.由两平面平行的性质可知,两平面平行, 在一个平面内的直线必平行于另一个平面,故选D.

考向一

直线与平面平行的判定与性质 【考情快递】

命题方向

命题视角

证明直线与平 主要考查利用线面平行的判定定理或 面平行 利用面面平行的性质证明线面平行

线面平行性质 主要考查利用线面平行性质定理得出 定理的应用 线线平行,进而求解其他问题

【考题例析】 命题方向1:证明直线与平面平行 【典例1】(2015·山东高考改编题)如图, 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别

为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.

【解题导引】构造线线平行或面面平行证明线面平行. 【规范解答】如图,连接DG,CD,设CD∩FG=O,连接OH.

在三棱台DEF-ABC中,
AB=2DE,点G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边形, 所以点O为CD的中点.

又因为点H为BC的中点, 所以OH∥BD.又因为OH?平面FGH,BD?平面FGH,

所以BD∥平面FGH.

【一题多解】解答本题,还有以下解法: 因为DEF-ABC是三棱台,且AB=2DE,所以BC=2EF,因为点H

为BC的中点,
所以BH∥EF,BH=EF, 所以四边形BHFE为平行四边形,所以BE∥HF. BE?平面ABED,FH?平面ABED,

所以FH∥平面ABED, 在△ABC中,点G为AC的中点,点H为BC的中点,

所以GH∥AB,同理GH∥平面ABED.
又因为GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD?平面ABED,所以BD∥平面FGH.

命题方向2:线面平行性质定理的应用 【典例2】(2014·安徽高考)如图,四棱

锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四
条侧棱长均为2 .点G,E,F,H分别是

17 棱PB,AB,CD,PC上共面的四点 ,平面GEFH⊥平面ABCD,
BC∥平面GEFH.

(1)证明:GH∥EF. (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

【解题导引】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH.
(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,连接OP,GK,则 点K为OB的中点,由面面垂直得出GK⊥EF,再由梯形面积 公式S= ·GK计算求解.

GH ? EF 2

【规范解答】(1)因为BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且 平面PBC∩平面GEFH=GH,

所以GH∥BC,同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.

(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,连接OP,GK, 因为PA=PC,

点O是AC的中点,所以PO⊥AC,
同理可得PO⊥BD, 又因为BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内, 所以PO⊥底面ABCD,

又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH, 所以PO∥平面GEFH, 因为平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF, 所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得

EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB= DB= OB,即点K是OB的中点.

1 4

1 2

再由PO∥GK得GK= 1 PO,即点G是PB的中点, 2 且GH= 1 BC=4,由已知可得OB=4 , 2 PO= 2
2 2 PB ? OB ? 68 ? 32 ?的面积 6, S= 所以GK=3,故四边形 GEFH

=

×3=18.

4?8 2

GH ? EF 2

·GK

【技法感悟】 1.证明直线与平面平行的两种重要方法及关键

方法

关键

利用线面平行的判 在该平面内找或作一直线,证明 定定理 其与已知直线平行 利用面面平行的性 过该线找或作一平面,证明其与 质 已知平面平行

2.线面平行性质定理的应用

转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.

【题组通关】 1.(2014·全国卷Ⅱ改编)如图所示,在四棱锥P-ABCD

中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,点E为PD的
中点,AB=1, 求证:CE∥平面PAB.

【证明】由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 . 3 如图所示,延长DC,AB,设其交于点N,连接PN,

因为∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,所以点C为ND的中点,
又因为点E为PD的中点,所以EC∥PN,因为EC?平面 PAB,PN?平面PAB,所以CE∥平面PAB.

【一题多解】解答本题,还有以下方法: 取AD中点为M,连接ME,MC,因为点E为PD的 中点,所以EM∥PA,EM?平面PAB,PA?平面 PAB,所以EM∥平面PAB,由已知得AC=2AB=2,AD=2AC=4, 则CM=AM=2,所以∠BAC=∠ACM=60°,所以MC∥AB,又因 为CM?平面PAB,所以CM∥平面PAB,而CM∩EM=M,所以平 面EMC∥平面PAB,又因为CE?平面EMC, 所以CE∥平面PAB.

2.(2016·昆明模拟)在三棱锥S-ABC中, △ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=

15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点
D,E,F,H,且点D,E,F,H分别是AB,BC,SC,SA的中点,如果 直线SB∥平面DEFH,求四边形DEFH的面积.

【解析】因为点D,E,F,H分别是AB,BC,SC,SA的中点, 所以DE∥AC,FH∥AC,DH∥SB,EF∥SB, 则四边形DEFH是平行四边形,且 DE= AC=3,

1 取AC的中点O,连接OB,OS, 2 因为SA=SC=15,AB=BC=6,
所以AC⊥SO,AC⊥OB,

1 15 HD ? SB ? , 2 2

因为SO∩OB=O,
所以AO⊥平面SOB,所以AO⊥SB,则HD⊥DE, 即四边形DEFH是矩形, 所以四边形DEFH的面积S=

15 45 ?3 ? . 2 2

【加固训练】(2014·山东高考改编题)如图,四棱锥

P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC= 1 AD,点E,F,H分别为线段 2 AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点. (1)求证:AP∥平面BEF.
(2)求证:GH∥平面PAD.

【证明】(1)连接EC, 因为AD∥BC,BC= 1 AD, E为AD中点, 所以BC AE,

2

所以四边形ABCE是平行四边形,

所以点O为AC的中点,

又因为点F是PC的中点,所以FO∥AP,
又FO?平面BEF,AP?平面BEF,

所以AP∥平面BEF.

(2)连接FH,OH,

因为点F,H分别是PC,CD的中点,
所以FH∥PD,FH?平面PAD,PD?平面PAD,所以FH∥平面

PAD,
又因为点O是AC的中点,点H是CD的中点, 所以OH∥AD,同理OH∥平面PAD,

又因为FH∩OH=H, 所以平面OHF∥平面PAD. 又因为GH?平面OHF,所以GH∥平面PAD.

考向二

面面平行的判定与性质

【典例3】(2016·长春模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,点D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,点D1是B1C1的中 点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.

【解题导引】先证点D是BC的中点,再证BD1∥DC1.

【规范解答】如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED.
因为四边形A1ACC1是平行四边形,

所以点E是A1C的中点,
因为A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED, 所以A1B∥ED,

因为点E是A1C的中点,所以点D是BC的中点, 又因为点D1是B1C1的中点,所以D1C1 BD, 所以四边形BDC1D1为平行四边形,

所以BD1∥C1D.

BD1?平面AC1D,C1D?平面AC1D,

所以BD1∥平面AC1D,
又因为A1B∩BD1=B,

所以平面A1BD1∥平面AC1D.

【规律方法】 1.判定面面平行的方法 (1)利用定义:常用反证法. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行. (4)利用两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平 面平行.

2.面面平行的性质

(1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.
(2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.

3.证明线线平行的常用方法

(1)利用公理4:找第三线,只需证明两线都与第三线平
行即可.

(2)利用三角形的中位线的性质.
(3)构建平行四边形利用其对边平行. (4)利用面面平行的性质定理.

易错提醒:利用面面平行的判定定理证明两平面平行时

需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面
平行.

重视三种平行间的转化关系 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与

平行有关的问题的指导思想,解题中既要注意一般的转
化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方

向.

【变式训练】(2016·西安模拟)如图,四棱柱ABCD-

A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点O是底面中心,A1O⊥
底面ABCD,AB=AA1= .

2 (1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

【解析】(1)由题设知,BB1 DD1, 所以四边形BB1D1D是平行四边形, 所以BD∥B1D1, 又因为BD?平面CD1B1,

B1D1?平面CD1B1,
所以BD∥平面CD1B1.

因为A1D1 B1C1

BC,

所以四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥D1C,

又因为A1B?平面CD1B1,
D1C?平面CD1B1,

所以A1B∥平面CD1B1,

又因为BD∩A1B=B,
所以平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)因为A1O⊥平面ABCD,
所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高. 又因为AO= AC=1,AA1= , 1 2 所以A1O= 2
2 2 AA ? AO ? 1. 又因为S△ABD= 1

所以

1 =S△ ?ABD 2· ? A2 ? 1, 1O=1. 2

VABD?A1B1D1

【加固训练】

1.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点
E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,点

H是B1C1的中点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面. (2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.

【证明】(1)连接FG.因为AE=B1G=1,所以

BG=A1E=2,又因为BG∥A1E,所以四边形
BGA1E为平行四边形,所以A1G∥BE.又因为

C1F∥B1G,C1F=B1G,所以四边形C1FGB1为平行四边形,所
以FG∥B1C1,FG=B1C1.

又因为B1C1∥D1A1,B1C1=D1A1,所以FG∥D1A1,FG=D1A1,所

以四边形A1GFD1为平行四边形,所以A1G∥D1F,所以
D1F∥BE.故E,B,F,D1四点共面.

(2)因为点H是B1C1的中点,所以B1H= 3 . 2 又因为B1G=1, B1G 2 ? . B H 3 1 又因为 且∠FCB=∠GB1H=90°. FC 2 ? , 所以△B BC 3 CBF,则∠B1GH=∠CFB=∠FBG.所以 1HG∽△ HG∥FB.

又由(1)知,A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,所以平面
A1GH∥平面BED1F.

2.平面α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形BCDE的底

DE=2,过EB的中点B1的平面β ∥α ,若β 分别交EA,DC于
A1,C1,求△A1B1C1的面积.

【解析】因为α∥β,所以A1B1∥AB,B1C1∥BC,

又因∠A1B1C1与∠ABC同向.
所以∠A1B1C1=∠ABC.

又因为cos∠ABC=

52 ? 82 ? 72 1 所以∠ABC=60°=∠A1B1C1. ? , 2? 5?8 2
又因为B1为EB的中点,

所以B1A1是△EAB的中位线, 所以B1A1= 1 AB= 5 , 2 BCDE的中位线, 同理知B C 2为梯形
1 1

所以B1C1= (BC+DE)=5. 1 则 2 1 1 5 3 25 故△ A B C 的面积为 . S? A11 ? 3. 1 ?1 A1B1 ? B1C1 ? sin 60? ? ? ? 5 ? B1C1 2 2 2 2 8 25 3 8

考向三

线、面平行中的探索性问题

【典例4】(2014·四川高考)在如图所示的多面体中,
四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.

(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1.

(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存
在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.

【解题导引】(1)先利用线面垂直的判定定理证明

AA1⊥平面ABC,再证明直线BC⊥平面ACC1A1.(2)由于D,E
分别是线段BC,CC1的中点,易猜想M应为线段AB的中点,

只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可.

【规范解答】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,

所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.
因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,

所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.

又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,
所以BC⊥平面ACC1A1.

(2)存在一点M(线段AB的中点),使DE∥平面A1MC.证明

如下:
取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1.

设O为A1C,AC1的交点.
由已知,O为AC1的中点,连接MD,OE, 则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,

1 AC,OE 1 AC,因此MD OE, 2 2 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.
所以MD 因为直线DE?平面A1MC,MO?平面A1MC,

所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平 面A1MC.

【母题变式】1.本例题中在(2)的条件下,试在线段AB 上找一点N,使得平面DEN∥平面A1MC. 【解析】取线段BM的中点N,连接DN,EN,在△BMC中,DN 是中位线,所以DN∥MC,由(2)知DE∥MO,

又因为DN∩DE=D,MO∩MC=M,
所以平面DEN∥平面A1MC,

即当点N是BM的中点时,平面DEN∥平面A1MC.

2.本例题中在(2)的条件下,试在线段A1B1上找一点F,

使得平面BC1F∥平面A1MC.
【解析】取A1B1的中点F,连接BF,C1F,BC1,

因为A1F MB,
所以四边形A1MBF是平行四边形, 从而A1M∥BF,

又因为DE是△BCC1的中位线,

所以DE∥BC1,
又因为DE∥MO,则BC1∥MO,

因为BF∩BC1=B,A1M∩MO=M,
所以平面BC1F∥平面A1MC, 即当F是线段A1B1的中点时,平面BC1F∥平面A1MC.

【规律方法】解决探索性问题的策略方法

(1)根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,
然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结

论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.
(2)按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要 使??成立”,“只需使??成立”.

【变式训练】(2016·昆明模拟)如图,四棱锥P-ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点. (1)求证:CE∥平面PAD. (2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?

若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.

【解析】(1)如图所示,取PA的中点H,连接EH,DH,

因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH= AB, 1 又AB∥CD,CD= AB, 2 1 所以EH∥CD,EH=CD, 2

因此四边形DCEH是平行四边形,

所以CE∥DH,
又DH?平面PAD,CE?平面PAD,

因此CE∥平面PAD.

(2)如图所示,取AB的中点F,连接CF,EF,

所以AF= 1 AB,
又CD=

1 又AF∥CD,所以四边形 AFCD为平行四边形, 2
因此CF∥AD,

2 所以AF=CD, AB,

又CF?平面PAD,所以CF∥平面PAD,

由(1)可知CE∥平面PAD,
又CE∩CF=C,故平面CEF∥平面PAD,

故存在AB的中点F满足要求.

【加固训练】

1.(2016·潍坊模拟)如图所示,四棱锥
P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱

PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC
于点E,且BE= a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.

6 3

【解析】在平面PCD内作EG⊥PD于点G,连接AG,

因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,PA⊥BC,

又因为CD⊥AD,BC⊥AB,
PA∩AD=A,PA∩AB=A, 所以CD⊥平面PAD,BC⊥平面PAB,

所以CD⊥PD,PB⊥BC,所以CD∥EG,

又AB∥CD,所以EG∥AB,
若有EF∥平面PAD,则EF∥AG,

所以四边形AFEG为平行四边形,EG=AF.
因为CE=

6 2 ,3 2 且△PBC为直角三角形 a ? ( a) ? a, 3 3

所以BC2=CE·CP,

所以CP=

a.

3 3a ? a AF EG PE 2 3 又 ? ? ? ? , 故存在点 F,当AF∶FB=2∶1时 AB CD CP 3, 3a
EF∥平面PAD.

3

2.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的

中心,点P是DD1的中点,设点Q是CC1上的点,问:当点Q在
什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

【解析】当点Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证 明如下: 因为点Q为CC1的中点,点P为DD1的中点,所以QB∥PA. 因为点P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO. 又因为D1B?平面PAO,PO?平面PAO,QB?平面PAO,PA?平 面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又因为

D1B∩QB=B,D1B,QB?平面D1BQ,所以平面D1BQ∥平面PAO.

3.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是棱CC1的中点,

问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,
请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.

【解析】

方法一:存在点E,且E为AB的中点时,DE∥平面AB1C1,
下面给出证明:如图,取BB1的中点F,连接DF,

则DF∥B1C1,
因为AB的中点为E,连接EF, 则EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1,

DF∩EF=F,

所以平面DEF∥平面AB1C1,
而DE?平面DEF,

所以DE∥平面AB1C1.

方法二:假设在棱AB上存在点E,使得DE∥平面AB1C1,

如图,取BB1的中点F,连接DF,EF,则DF∥B1C1,
又因为DF?平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.

又因为DE∥平面AB1C1,DE∩DF=D,
所以平面DEF∥平面AB1C1,

因为EF?平面DEF,所以EF∥平面AB1C1,

又因为EF?平面ABB1,平面ABB1∩平面AB1C1=AB1,所以
EF∥AB1,

因为点F是BB1的中点,所以点E是AB的中点,
即当点E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.


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