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东北三省四市教研协作体2013届高三联合考试数学文试题(2013长春二模)word解析版


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2013 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2013 年长春市高中毕业班第二次调研测试 数 学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分 钟, 其中第 II 卷 22 题-24 题为选考题, 其它题为必考

题.考试结束后, 将试卷和答题卡 一 并交回. 注意事项: 1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面淸洁,不耍折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第 I 卷? (选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上)_
2 1.己知集合 P={x|x -x-2 ? O},Q= {X|Log2(x-1) ? 1},则 P ? Q =

A. (-1,3)

B. [-1,3)

C. (1,2]

D. [1,2]

2. 设复数 Z1=1-i,Z2= 3 +i,其中 i 为虚数单位,则

zz 的虚部为 z2

A.

1? 3 1? 3 C. i B. 4 4

3 ?1 i D. 4

3 ?1 4

3. 在 ABC 中,若 tanAtanB= tanA+ tanB+ 1,则 cos C 的值是 A. ? C.

2 2

B.

2 2
1 2

1 2

D.-

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2 2

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4. 执行如图所示的程序框图,则输出的 n 为 A.3 C. 5 B.4 D.6

5.设平面α 丄平面β ,直线 ? ? ? .命题 P:“a//β '命题 q:“a 丄α ” ,则命题 P 成立是 命题 q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 右图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民 上网情 况调查而绘制的频率分布直方图, 现已知年龄 在 [30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递 减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的 频率为 A. 0.04 C. 0.2 B. 0.06 D. 0.3

7. 如图所示是一个几何体的三视图, 其侧视图是一个边长为 a 的等边三角形, 俯视图是 两个正三角形拼成的 菱形,则该几何体的体积为

a3 A. 4
C.

a3 B. 3
D.
A
3

a3 2

8. 若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2: x:(y-mx-m) =0 有三个不同的公共点, 则实数 m 的 取值范围是 A. (0, 3 ) C. (0, B. (? 3,0) ? (0, 3) D. (?

3 ) 3

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3

9. 已知等差数列{an}的前 n 项和为满足 a2()13=S2()13=2013,则 a1 =
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A. -2014 B. -2013

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C. -2012 D. -2011

10. 已知函数 f(x)满足 f(x)十 f(-x) = 0,现将函数 f(x)的图像按照 a 平移,得到 g(x) =2 + x + sin(x + 1)的图像,则 a = A. (-1,-1) C (-1,-2) B. (-1,1) D. (1,2)

x2 y2 11.已知 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左,右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴 a b
的直线与双曲线交于 A,B 两点,若Δ ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. (1,1 ?

2 ) 2

B. (1 ?

2 ,??) 2

C. (1,1 ? 2 )

D. (1 ? 2 ,??)

12. 已知函数 f ( x) ? ? 为 A.1 B. 2 C. 3

?kx ? 1, x ? 0 , 则当 k>0 时下列关于函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数 ?ln x, x ? 0

D.4 第 II 卷 (非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横 线上). 13. 己知向量 a,b 满足|a|= 2,丨 b 丨=1, (6-2a)丄 b,则|a +b|=_____. 14.已知函数 f(x)= (1+ tanx)cos2x 的定义域为(0,

? ),则函数 f(x)的值域为_____ 2

?2 x ? y ? 1 ? 15. 向平面区域{(x,y)|x +y ≤1}内随机投入一点,则该点落在区域 ? x ? 0 内的概 ?y ? 0 ?
2 2

率等于______. 16.如果一个棱柱的底面是正多边形,并且侧棱与底面垂直,这样的棱柱叫做正棱柱.已 知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为 3 的球面上,则该正六棱柱的体积的最大值为____

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三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=

3 1 (an-l),数列{bn}满足 bn ?1 ? bn ,且 b1 =4. 2 4

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.

⑵设数列{cn}满足 cn = an log2bn,其前 n 项和为 Tn 求 Tn.

18. (本小题满分 12 分) 某学校为了增强学生对数学史的了解,提高学生学习数学的积极性,举行了一次数 学 史知识竞赛, 其中一道题是连线题, 要求将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作一 对一连线, 规定:每连对一条得 5 分,连错一条得-2 分.某参赛者随机用 4 条线把 数学家与著作一对 一全部连接起来.
(1) (2)

求该参赛者恰好连对一条的概率. 求该参赛者得分不低于 6 分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 为菱形, AB=1 AA1=

6 , ?ABC ? 600 . 2
⑴求证:AC 丄 BD1
(2)求四面体 D1AB1C 的体积

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20. (本小题满分 12 分)

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已知定点 A(1,0), B 为 x 轴负半轴上的动点,以 AB 为边作菱形 ABCD,使其两对 角线的 交点恰好落在 y 轴上. (1) 求动点 D 的轨迹五的方程. (2) 若四边形 MPNQ 的四个顶点都在曲线 E 上,M,N 关于 x 轴对称,曲线 E 在 M 点 处的切线为 L,且 PQ//l ①证明直线 PN 与 QN 的斜率之和为定值; ②当 M 的横坐标为

3 ,纵坐标大于 O, ?PQN =60°时,求四边形 MPNQ 的面积 4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) =ax +bx +cx 的导函数为 h(x),f(x)的图像在点(-2,f(-2))处的切线 方程为 3x-y+8=0,且 h?(? ) ? 0 ,又函数 g(x) = 相同的切线. (1)求函数 f(x)的解析式及 k 的值. ⑵若 f(x) ≤g(x)-m+x +1 对于任意 x∈[O,+ ? ]恒成立,求 m 的取值范围
3 2

2 3

KXE

X

与函数 y=ln(x +1)的图像在原点处有

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交 B,C 两点,且 AB=

1 AC,作直线 AF 与圆 E 相 3

切于点 F,连接 EF 交 BC 于点 D,己知圆 E 的半径为 2, ?EBC =30. (1)求 AF 的长. ⑵求证:AD=3ED.

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23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cosa ? y ? sin x

(a 为参数),以原点 O 为极

点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程.

?
4

)?4 2

(2) 设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.

5 | ? | x ? a |, x ? R . x 1 (1)求证:当 a ? ? 时,不等式 lnf(x)>1 成立. 2
设函数 f ( x) ?| x ? ⑵关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值.

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2013 年长春市高中毕业班第二次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.C 12.D 简答与提示: P ? {x | ?1 ? x ? 2} , Q ? {x |1 ? x ? 3} ,则 P ? Q ? (1, 2] . 故选 C. 1. C 2. 3.

4. 5. 6.

3 ?1 z1 1? i (1 ? i)( 3 ? i) 3 ?1 3 ?1 . 故选 D. ? ? ? ? i ,虚部为 4 z2 4 4 3 ? i ( 3 ? i)( 3 ? i) tan A ? tan B ? ?1 ,即 B 由 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 1,可得 1 ? tan A ? tan B 3? ? 2 tan( A ? B) ? ?1,所以 A ? B ? ,则 C ? , cos C ? ,故选 B. 4 4 2 B 初始值 n ? ?? s ? ? ,第 1 次循环后 n ? ?? s ? ? ,第 2 次循环后 n ? ?? s ? ?? ,第 3 次循环后 n ? ?? s ? ?? ,此时 s ? 30 ,因此不进入第 4 次循环,输出 n ? 4 .故选 B. / B 由题意可知 p ? q 但 q ? p ,则 p 是 q 的必要不充分条件. 故选 B. C 由 [20, 25) 的 频 率 为 0.01? 5 ? 0.05 , [25,30) 的 频 率 为 0.07 ? 5 ? 0.35 , 又 [ 3 0 , 3 5 ) [35, 40) ,[40, 45] 的人数成等差,则其频率也成等差,又 [30, 45] 的频率为 , 1 ? 0.05 ? 0.35 ? 0.6 ,则 [35, 40) 的频率为 0.2. 故选 C.
D

7. 8.

1 3 2 3 a3 A V ? 2? ? a ? a ? . 故选 A. 3 4 2 4 D 由 x( y ? mx ? m) ? 0 可知 x ? 0 , y ? m( x ? 1) ,
当直线 y ? m( x ? 1) 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切时, m ? ?
2 2

3 ,当 m ? 0 时,只有两个 3

公共点,因此 m ? (? 9. D

3 3 , 0) ? (0, ) . 故选 D. 3 3

S2013 ? 2013a1007 ? 2013 ,所以 a1007 ? 1 ,则 d ?

a2013 ? a1007 ? 2, 1006

a1 ? a2013 ? 2012d ? ?2011 . 故选 D. 10. B 由函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 可知 f ( x ) 以 (0, 0) 点为对称中心,又 g ( x) ? 2 ? x ? sin( x ? 1) ? x ? 1 ? sin( x ? 1) ? 1 可知 g ( x) 以 (?1,1) 点为对称中心, 因此 ? a ? (?1,1) . 故选 B. b2 ? 2c ,则 b 2 ? 2ac ,因此 c2 ? a 2 ? 2ac , 11. C 由题意可知: a 2 2 2 不等式两边同时除以 a 得: e ? 1 ? 2e ,即 e ? 2e ? 1 ? 0 , 解得 1 ? 2 ? e ? 1 ? 2 ,又双曲线的离心率 e ? 1 , y 因此 e? (1,1 ? 2) . 故选 C.
12. D 结合图像分析: 当 k ? 0 时, f [ f ( x)] ? ?1 ,
k>0
1
t2

1 则 f ( x) ? t1 ? (??, ? ) 或 f ( x) ? t2 ? (0,1) ; k 对于 f ( x) ? t1 ,存在两个零点 x1 , x2 ;
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t1
x1 x3 O x2 t2 -1 t1

1
x4

x

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共计存在 4 个零点. 故选 D.

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对于 f ( x) ? t2 ,存在两个零点 x3 , x4 .

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

6
?

14. (0,

1? 2 ] 2

15.

1 4?

16. 54

简答与提示:

13. 由题意可知 | b |2 ?2a ? b ? 0 ,又 | b |? 1 ,则 2a ? b ? 1 ,所以

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b |2 ?| a |2 ? | b |2 ?2a ? b ? 4 ? 1 ? 1 ? 6 ,因此 | a ? b |? 6 .
f ( x) ? (1 ? tan x) cos 2 x ?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2 ? ? 2 因为 x ? (0, ) ,所以 sin(2 x ? ) ? (? ,1] , 2 4 2 1? 2 所以 f ( x ) 的值域为 (0, ]. 2 1 15. 如图所示:落在阴影部分内的概率为 . 4? 16. 设棱柱高为 2x (0 ? x ? 3)
14. 则底面积 S ? 6 ?

y
1

1 2

x

O

3 ? ( 9 ? x 2 )2 ,则 4

3 ( 9 ? x 2 )2 ? 2 x ? 3 3(9 ? x 2 ) x ? ?3 3x3 ? 27 3x , 4 2 令 V ' ? ?9 3x ? 27 3 ? 0 解得 x ? ? 3 , V ? Sh ? 6 ?
则 Vmax ? V ( 3) ? ?3 3 ? 3 3 ? 27 3 ? 3 ? 54 . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】 本小题主要考查利用数列性质与递推公式求取数列通项公式以及错位相减 求和的应用. 对考生的运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 对于数列 {an } 有

3 (an ? 1) ① 2 3 Sn ?1 ? (an ?1 ? 1)??????????(n ? 2) ② 2 3 ① ? ②得 an ? (an ? an ?1 ) 即 an ? 3an?1 , 2 3 n ? 1 时, S1 ? (a1 ? 1) 得 a1 ? 3 , 2 n?1 则 an ? a1 ? q ? 3 ? 3n?1 ? 3n ; Sn ?
对于数列 {bn } 有: bn ?1 ? (2) 由(1)可知:

(4 分) (6 分)

1 n ?1 1 2? n bn ,可得 bn ? 4( ) ? 4 . 4 4

cn ? an log2 bn ? 3n ? log2 42?n ? 3n ? log2 24?2n ? 3n (4 ? 2n)

(8 分)

Tn ? 2 ? 31 ? 0 ? 32 ? (?2) ? 33 ? ?? (4 ? 2n) ? 3n
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3Tn ? 2 ? 32 ? 0 ? 33 ? ?? (6 ? 2n) ? 3n ? (4 ? 2n) ? 3n?1 ?2Tn ? 2 ? 3 ? (?2) ? 32 ? (?2) ? 33 ? ?? (?2) ? 3n ? (4 ? 2n) ? 3n?1

? 6 ? (?2)(32 ? 33 ? ?? 3n ) ? (4 ? 2n) ? 3n?1 15 5 9(1 ? 3n?1 ) ? (2 ? n) ? 3n?1 ? ? ? ( ? n) ? 3n ?1 . 则 Tn ? ?3 ? 2 2 1? 3

(12 分)

18. (本小题满分12分) 【命题意图】 本小题主要考查统计与概率的相关知识, 对于随机事件出现情况的分析与 统计等知识的初步应用. 本题主要考查学生对数据处理的能力. 【试题解析】解:记 4 名数学家分别为 a, b, c, d ,对应的著作分别为 A, B, C , D ,根据 题意,不同的连线方法共对应下列 24 种情况:

? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? A??B??C??D ? ? A??B??D??C ? ? A??C??B??D ? ? A??C??D??B ? ? A??D??B??C ? ? A??D??C??B ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? B?? A??C??D ? ? B?? A??D??C ? ? B??C?? A??D ? ? B??C??D?? A ? ? B??D?? A??C ? ? B??D??C?? A ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? C?? A??B??D ? ? C?? A??D??B ? ? C??B?? A??D ? ? C??B??D?? A ? ? C??D?? A??B ? ? C??D??B?? A ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? D?? A??B??C ? ? D?? A??C??B ? ? D??B?? A??C ? ? D??B??C?? A ? ? D??C?? A??B ? ? D??C??B?? A ?
(4 分) 其中恰好连对一条的情形有如下 8 种:

? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? A??C??D??B ? ? A??D??B??C ? ? B??C?? A??D ? ? B??D??C??A ? ? C?? A??B??D ? ? C??B??D??A ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ? ? D?? A??C??B ? ? D??B?? A??C ?
恰好连对两条的情形有如下 6 种:

? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? A??B??D??C ? ? A??C??B??D ? ? A??D??C??B ? ? B?? A??C??D ? ? C??B?? A??D ? ? D??B??C?? A ?
全部连对的情形只有 1 种:

? a???b???c???d ? ? ? ? A??B??C??D ?
(1) 恰好连对 1 条的概率为

(8 分)

8 1 ? ; 24 3

(10 分)

(2) 得分不低于 6 分即全部连对或恰好连对 2 条的概率为

1? 6 7 ? . 24 24

(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的垂直关系、二面 角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解 能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 连结 BD 交 AC 于 O . 因为四边形 ABCD 为平行四边形,且 AB ? AD ,所以四边形 ABCD 为菱形, 则 AC ? BD 由直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 ,所以 BB1 ? 平面 ABCD , 1 可知 BB1 ? AC ,又 AC ? BD ,
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则 AC ? BD1 .

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(6 分)

则 AC ? 平面 BB1D1D ,又 BD1 ? 平面 BB1D1D , (2) VD1AB1C ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB1 ABC ? VD1 ACD ? VAA1B1D1 ? VCC1B1D1

? VABCD? A1B1C1D1 ? 4VB1ABC ?
20.

3 3 1 3 3 2 . ? ? 4? ? ? ? 2 3 4 4 6 6

(12 分)

(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到抛物线方程 的求法、 直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题 对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 设 D( x, y) ,则由于菱形 ABCD 的中心 H 在 y 轴上,顶点 B 在 x 轴上,所以 H (0, ) , B(? x, 0) ,而 A(1, 0) ,所以 HA ? (1, ? ) , HB ? (? x, ? ) .

y 2

??? ?

y 2

??? ?

y 2

y2 ? 0 ,即 y 2 ? 4x . 4 而 D 不可能在 x 轴上,所以顶点 D 的轨迹 E 的方程为 y 2 ? 4 x ( x ? 0) . (5 分) (2) ①设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) (不妨令 y0 ? 0 ),则 N ( x0 , ? y0 ) , y ? y1 y ?y 4 ? 22 12 ? 则 k PQ ? 2 , x2 ? x1 y2 y1 y1 ? y2 ? 4 4 4 4 同理 k PN ? , kQN ? y1 ? y0 y2 ? y0 1 2 而 kl ? y? |x ? x0 ? ? , x0 y0
又 HA ? HB ,所以 HA ? HB ? (1, ? ) ? (? x, ? ) ? ? x ?

??? ??? ? ?

y 2

y 2

因为 kl ? kPQ ,所以 所以 kPN ? kQN

4 2 ? ,因此 y1 ? y2 ? 2 y0 即 y2 ? y0 ? y0 ? y1 , y1 ? y2 y0 4 4 ? ? ? 0 ,即直线 PN 与 QN 的斜率之和为定值. y1 ? y0 y2 ? y0
(8 分)

3 3 3 ② 因为 M 点横坐标为 ,且纵坐标大于 0,所以 M ( , 3) , N ( , ? 3) . 4 4 4 由于 kPN ? kQN ? 0 ,且 MN ? x 轴,所以 MN 平分 ?PNQ ,
而 ?PNQ ? 60? ,所以 kPN ? ? 3 , kQN ? 3 . 从而直线 PN : y ? 3 ? ? 3( x ? ) ,即 y ? ? 3x ? 直线 QN : y ? 3 ? 3( x ? ) ,即 y ?

3 4

3 ; 4

3 4

3x ?

7 3. 4

? y2 ? 4x ? 2 由? 3 消去 y 并整理得 48x ? 50 x ? 3 ? 0 , ? y ? ? 3x ? ? 4

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所以

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3 3 1 x1 ? ,即 x1 ? . 4 48 12 ? y2 ? 4x ? 2 同理 ? 7 3 消去 y 并整理得 48x ? 232 x ? 147 ? 0 ? y ? 3x ? ? 4 3 147 49 所以 x2 ? ,即 x2 ? . 4 48 12 1 因此 S PMQN ? MN ? | x2 ? x1 |? 3 | x2 ? x1 |? 4 3 为所求. 2
21.

(12 分)

(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来描述原 函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有 较高要求. 【试题解析】解:(1) 由 f ( x) ? ax ? bx ? cx ,可知 h( x) ? f '( x) ? 3ax ? 2bx ? c ;
3 2 2

由 f ( x ) 在 (?2, f (?2)) 处切线方程为 3x ? y ? 4 ? 0 可知

f (?2) ? ?8a ? 4b ? 2c ? ?2 f '(?2) ? 12a ? 4b ? c ? 3
2 3

① ② ③.

又由 h?( x) ? 6ax ? 2b ,可知 h?(? ) ? ?4a ? 2b ? 0 由①②③解得 a ?

1 , b ? 1, c ? 1 , 2 1 3 2 即 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ? x . (5 分) 2 x 由题意, g ( x) ? kxe 与 y ? x 相切可知函数在原点处切线斜率为 1. x x 因为 g ?( x) ? k (e ? xe ) ,所以 g ?(0) ? k ? 1. (7 分) (2)若 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1对任意 x ? [0, ??) 恒成立, 1 3 1 3 2 x x 2 即 x ? x ? x ? xe ? m ? 1 恒成立,则 m ? 1 ? xe ? x ? x ? x 恒成立, 2 2 1 3 1 2 x 2 x 设 k ( x) ? xe ? x ? x ? x ? x (e ? x ? x ? 1) , 2 2 1 2 x x 令 p ( x) ? e ? x ? x ? 1 , p?( x) ? e ? x ?1 , 2 x x 再令 ? ( x) ? e ? x ? 1, ? ?( x) ? e ?1 ? 0 ,解得 x ? 0 . 所以当 x ? [0, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 p?( x) ? 0 ,所以 p ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 p( x) ? p(0) ? 0 , 所以当 x ? [0, ??) 时, k ( x) ? 0 恒成立,且 k (0) ? 0 , 因此, m ? 1 ? 0 即可,则 m ? 1 . (12 分)
22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解(1) 延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,则 ?BCM ? 90 ,
?

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又 BM ? 2 BE ? 4 , ?EBC ? 30? ,所以 BC ? 2 3 ,

1 1 AC ,可知 AB ? BC ? 3 . 3 2 2 所以根据切割线定理 AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3 . (2) 过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 ?EDH 与 ?ADF 相似, ED EH 1 ? ? ,因此 AD ? 3ED . 从而有 AD AF 3
又 AB ?

(5 分) (10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程 与平面直角坐标方程的互化、 利用参数方程对曲线上点到直线距离的求取等内容. 本小 题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解(1) 对于曲线 C1 有

? x ? cos ? x2 x ? ? ( )2 ? y 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,即 C1 的方程为: ? y 2 ? 1; 3 ? 3 3 ? y ? sin ? ? ? 2 对于曲线 C2 有 ? sin(? ? ) ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 8 4 2 (5 分) ? x ? y ? 8 ? 0 ,所以 C2 的方程为 x ? y ? 8 ? 0 .
(2) 显然椭圆 C1 与直线 C2 无公共点, 椭圆上点 P( 3 cos ? ,sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为:

| 2sin(? ? ) ? 8 | | 3 cos ? ? sin ? ? 8 | 3 d? ? , 2 2
当 sin(? ?

?

?

3 1 ) ? 1 时, d 取最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) . 3 2 2

(10 分) 不

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

1 ? ??2 x ? 2??????? x ? ? 2 ? 1 5 5 1 ? 【试题解析】解 (1) 证明:由 f ( x) ?| x ? | ? | x ? | ? ?3?????????????? ? x ? 2 2 2 2 ? 5 ? ?2 x ? 2???????? x ? 2 ? 得函数 f ( x ) 的最小值为 3,从而 f ( x) ? 3 ? e ,所以 ln f ( x) ? 1 成立. (5 分) 5 5 5 (2) 由绝对值的性质得 f ( x) ?| x ? | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |?| a ? | , 2 2 2 5 5 5 5 所以 f ( x ) 最小值为 | ? a | ,从而 | ? a |? a ,解得 a ? ,因此 a 的最大值为 . 2 2 4 4
(10 分)

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