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数学公式终极总结


1.

【分享】数学公式终极总结

容斥原理 涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单,可以按照下面公式代入计算: 一的个数+二的个数-都含有的个数=总数-都不含有的个数 【例 3】某大学某班学生总数为 32 人,在第一次考试中有 26 人及格,在第二次考试中有 24 人及格,若两次考试中,都及格的有 22 人,那么两次考试都没有及格的人

数是多少【国 2004B-46】 A.10 B.4 C.6 D.8 应用公式 26+24-22=32-X X=4 所以答案选 B 【例 9】某单位有青年员工 85 人,其中 68 人会骑自行车,62 人会游泳,既不会骑车又 不会 游泳的有 12 人,则既会骑车又会游泳的有多少人。 【山东 2004-13】 A.57 B.73 C.130 D.69 应用公式: 68+62-X=85-12 X=57 人 抽屉原理:

【例 1】在一个口袋里有 10 个黑球,6 个白球,4 个红球,至少取出几个球才能保证其中 有 白球?【北京应届 2007-15】 A.14 B.15 C.17 D.1849.

采取总不利原则 10+4+1=15 这个没什么好说的

剪绳问题核心公式 一根绳连续对折 N 次,从中 M 刀,则被剪成了(2N×M+1)段 【例 5】将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪 6 刀。问这样操作后, 原来的绳 子被剪成了几段?【浙江 2006-38】 A.18 段 B.49 段 C.42 段 D.52 段 2^3*6+1=49

方阵终极公式 假设方阵最外层一边人数为 N,则 一、实心方阵人数=N×N 二、最外层人数=(N-1)×4 【例 1】 某学校学生排成一个方阵, 最外层的人数是 60 人, 问这个方阵共有学生多少人? 【国 2002A-9】 【国 2002B-18】 A.256 人 B.250 人 C.225 人 D.196 人 (N-1)4=60 N=16 16*16=256 所以选 A

【例 3】 某校的学生刚好排成一个方阵, 最外层的人数是 96 人, 问这个学校共有学生: 【浙 江 2003-18】 A.600 人 B.615 人 C.625 人 D.640 人 (N-1)4=96 N=25 N*N=625 过河问题: 来回数=[(总量-每次渡过去的)/(每次实际渡的)]*2+1 次数=[(总量-每次渡过去的)/(每次实际渡的)]+1 【例 1】 有 37 名红军战士渡河, 现仅有一只小船, 每次只能载 5 人, 需要几次才能渡完? 【广东 2005 上-10】 A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.10 次 37-1/5-1 所以是 9 次

【例 2】49 名探险队员过一条小河,只有一条可乘 7 人的橡皮船,过一次河需 3 分钟。全 体 队员渡到河对岸需要多少分钟?( ) 【北京应届 2006-24】 A.54 B.48 C.45 D.39 【 (49-7)/6】2+1=15 15*3=45

【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米, 则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【 (10-4)/1】+1=7 核心提示 三角形内角和 180° N 边形内角和为(N-2)180 【例 1】三角形的内角和为 180 度,问六边形的内角和是多少度?【国家 2002B-12】 A.720 度 B.600 度 C.480 度 D.360 度

(6-2)180=720° 盈亏问题: (1)一次盈,一次亏: (盈+亏)÷ (两次每人分配数的差)=人数 (2)两次都有盈: (大盈-小盈)÷ (两次每人分配数的差)=人数 (3)两次都是亏: (大亏-小亏)÷ (两次每人分配数的差)=人数 (4)一次亏,一次刚好:亏÷ (两次每人分配数的差)=人数 (5)一次盈,一次刚好:盈÷ (两次每人分配数的差)=人数

例:“小朋友分桃子,每人 10 个少 9 个,每人 8 个多 7 个。问:有多少个小朋友和多少个 桃子?” 解(7+9)÷ (10-8)=16÷ 2=8(个)………………人数 10×8-9=80-9=71(个)………………桃子

还有那个排方阵,一排加三个人,剩 29 人的题,也可用盈亏公式解答。 行程问题模块 平均速度问题 V=2V1V2/V1+V2 【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km 往返于两个城市,往返这两个城市一次的平 均 时速为多少?【国家 1999-39】 A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48 【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米,返回时速度为每小时 20 千 米, 则它的平均速度为多少千米/时?【浙江 2003-20】 A.24 千米/时 B.24.5 千米/时 C.25 千米/时 D.25.5 千米/时 2*30*20/30+20=24 比例行程问题 路 程 = 速 度 ×时 间 ( 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ) 路 程 比 = 速 度 比 ×时 间 比 , S1/S2=V1/V2=T1/T2 运动时间相等,运动距离正比与运动速度 运动速度相等,运动距离正比与运动时间 运动距离相等,运动速度反比与运动时间 【例 2】 A、B 两站之间有一条铁路,甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站,甲火车 4 分 钟走的路 程等于乙火车 5 分钟走的路程,乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站,开出一段时间后,甲 火车从 A 站出发 开往 B 站,上午 9 时整两列火车相遇,相遇地点离 A、B 两站的距离比是 15∶16,那么, 甲火车在什么时 刻从 A 站出发开往 B 站。 【国 2007-53】

A.8 时 12 分 B.8 时 15 分 C.8 时 24 分 D.8 时 30 分 速度比是 4:5 路程比是 15:16 15S:16S 5V : 4V 所以 T1:T2=3:4 也就是 45 分钟 60-45=15 所以答案是 B

在相遇追及问题中: 凡有益于相对运动的用“加” ,速度取“和” ,包括相遇、背离等问题。 凡阻碍 相对运动的用“减” ,速度取“差” ,包括追及等问题。 从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差 从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和 【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游,每分钟步行 60 米,队尾的王老师以每分 钟 步行 150 米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用 10 分钟。求队伍的长度?( ) 【北京社招 2005-20】 A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米 X/90+X/210=10 X=630 某铁路桥长 1000 米,一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒,整列火车完全在桥上的时间 80 秒,则火车速度是?【北京社招 2007-21】 A.10 米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500 米/分 核心提示 列车完全在桥上的时间=(桥长-车长)/列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=(桥长+车长)/列车速度 1000+X=120V 1000-X=80V 解得 10 米/秒

为节约用水,某市决定用水收费实行超额超收,标准用水量以内每吨 2.5 元,超过标准的部 分加倍收费。某用户某月用水 15 吨,交水费 62.5 元,若该用户下个月用水 12 吨,则应交 水费多少钱? 15 顿和 12 顿都是超额的,所以 62.5-(3X5) [例 1]某团体从甲地到乙地,甲、乙两地相距 100 千米,团体中一部分人乘车先行,余下的 人步行,先坐车的人到途中某处下车步行,汽车返回接先步行的那部分人,已经步行速度为 8 千米/小时,汽车速度为 40 千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间? A.5.5 小时 B.5 小时 C.4.5 小时 D.4 小时

假设有 m 个人(或者 m 组人) ,速度 v1,一个车,速度 v2。 车只能坐一个/组人,来回接人,最短时间内同时到达终点。总距离为 S。 T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]

2.

【分享】排列组合基础知识及习题分析

在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式! C5 取 3=(5×4×3)/(3×2×1) C6 取 2=(6×5)/(2×1) 通过这 2 个例子 看出 CM 取 N 公式 是种子数 M 开始与自身连续的 N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值 N 的阶层作为分母 P53=5×4×3 P66=6×5×4×3×2×1 通过这 2 个例子 PMN=从 M 开始与自身连续 N 个自然数的降序乘积 当 N=M 时 即 M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从 n 个不同的元素中,任取 m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的 各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”; 其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分 类:“做一件事,完成它可以有 n 类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分 类时, 首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准, 然后在这个 标准下进行分类; 其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成 n 个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分 成 n 个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设 置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后,这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有 n 类办法,这 n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事,求 完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成 n 个步骤,缺一不可, 即需要依次完成所有的步骤, 才能完成这件事, 而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法, 求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在”

“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处 理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求 出结果. 2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式: “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3. 在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按 事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也 是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 提供 10 道习题供大家练习 1、三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为( C ) (A)25 个 (B)26 个 (C)36 个 (D)37 个 -----------------------------------------------------【解析】 根据三角形边的原理 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 可见最大的边是 11 则两外两边之和不能超过 22 因为当三边都为 11 时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为 11,则另外一个边的长度是 11,10,9,8,7,6, 。 。 。 。 。 。1 如果为 10 则另外一个边的长度是 10,9,8。 。 。 。 。 。2, (不能为 1 否则两者之和会小于 11,不能为 11,因为第一种情况包含了 11,10 的组合) 如果为 9 则另外一个边的长度是 9,8,7, 。 。 。 。 。 。 。3 (理由同上 ,可见规律出现) 规律出现 总数是 11+9+7+。 。 。 。1=(1+11)×6÷ 2=36

2、 (1)将 4 封信投入 3 个邮筒,有多少种不同的投法? -----------------------------------------------------------【解析】 每封信都有 3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第 1 封信,有 3 种 可能性。 接着再放第 2 封, 也有 3 种可能性, 直到第 4 封,所以分步属于乘法原则 即 3×3×3×3 =3^4 (2)3 位旅客,到 4 个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法? -------------------------------------------------------------

【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有 4 种选择。彼此之间选择没有关系 不够 成分类关系。属于分步关系。如:我们先安排第一个旅客是 4 种,再安排第 2 个旅客是 4 种选择。知道最后一个旅客也是 4 种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4=4^3 (3)8 本不同的书,任选 3 本分给 3 个同学,每人一本,有多少种不同的分法? ------------------------------------------------------------【解析】分步来做 第一步:我们先选出 3 本书 即多少种可能性 C8 取 3=56 种 第二步:分配给 3 个同学。 P33=6 种 这 里稍微介绍一下为什么是 P33 ,我们来看第一个同学可以有 3 种书选择,选择完成后, 第 2 个同学就只剩下 2 种选择的情况,最后一个同学没有选择。即 3×2×1 这是分步选择符 合乘法原则。最常见的例子就是 1,2,3,4 四个数字可以组成多少 4 位数? 也是满足这 样的分步原则。 用 P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步 的压缩。 所以该题结果是 56×6=336 3、 七个同学排成一横排照相. (1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种? (3600) --------------------------------------------【解析】 这个题目我们分 2 步完成 第一步: 先给甲排 应该排在中间的 5 个位置中的一个 即 C5 取 1=5 第二步: 剩下的 6 个人即满足 P 原则 P66=720 所以 总数是 720×5=3600 (2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种? (1440) ------------------------------------------------【解析】 第一步:确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2 取 1=2 第二步:剩下的 6 个人满足 P 原则 P66=720 则总数是 720×2=1440 (3)甲不在排头或排尾,同时乙不在中间的不同排法有多少种? (3120) --------------------------------------------------【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况:甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除 3 个位置 剩下 4 个位置供甲选择 C4 取 1=4, 剩下 6 个位置 先安中间位置 即除了 甲乙 2 人,其他 5 人都可以 即以 5 开始,剩下的 5 个位置满足 P 原则 即 5×P55=5×120 =600 总数是 4×600=2400 第 2 种情况:甲不在排头排尾, 甲排在中间位置 则 剩下的 6 个位置满足 P66=720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400+720=3120

(4)甲、乙必须相邻的排法有多少种? (1440) ----------------------------------------------【解析】相邻用捆绑原则 2 人变一人,7 个位置变成 6 个位置,即分步讨论 第 1: 选位置 C6 取 1=6 第 2: 选出来的 2 个位置对甲乙在排 即 P22=2 则安排甲乙符合情况的种数是 2×6=12 剩下的 5 个人即满足 P55 的规律=120 则 最后结果是 120×12=1440 (5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种?(2520) ------------------------------------------------------【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所 以我们不考虑左右问题 则总数是 P77=5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情 况种数是 5040÷ 2=2520

4、用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数. (1)能组成多少个四位数? (300) -------------------------------------------------------【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排 0。 则只有 5 种可能性 接下来 3 个位置满足 P53 原则=5×4×3=60 即总数是 60×5=300 (2)能组成多少个自然数? (1631) --------------------------------------------------------【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1 位数: C6 取 1=6 2 位数: C5 取 2×P22+C5 取 1×P11=25 3 位数: C5 取 3×P33+C5 取 2×P22×2=100 4 位数: C5 取 4×P44+C5 取 3×P33×3=300 5 位数: C5 取 5×P55+C5 取 4×P44×4=600 6 位数: 5×P55=5×120=600 总数是 1631 这里解释一下计算方式 比如说 2 位数: C5 取 2×P22+C5 取 1×P11=25 先从不是 0 的 5 个数字中取 2 个排列 即 C5 取 2×P22 还有一种情况是从不是 0 的 5 个数 字中选一个和 0 搭配成 2 位数 即 C5 取 1×P11 因为 0 不能作为最高位 所以最高位只有 1 种可能 (3)能组成多少个六位奇数? (288) --------------------------------------------------【解析】高位不能为 0 个位为奇数 1,3,5 则 先考虑低位,再考虑高位 即 3×4×P44=

12×24=288 (4)能组成多少个能被 25 整除的四位数? (21) ---------------------------------------------------【解析】 能被 25 整除的 4 位数有 2 种可能 后 2 位是 25: 3×3=9 后 2 位是 50: P42=4×3=12 共计 9+12=21 (5)能组成多少个比 201345 大的数? (479) -----------------------------------------------【解析】 从数字 201345 这个 6 位数看 是最高位为 2 的最小 6 位数 所以我们看最高位大于等于 2 的 6 位数是多少? 4×P55=4×120=480 去掉 201345 这个数 即比 201345 大的有 480-1=479 (6)求所有组成三位数的总和. (32640) --------------------------------------------【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和:M1=100×P52(5+4+3+2+1) 十位上的和:M2=4×4×10(5+4+3+2+1) 个位上的和:M3=4×4(5+4+3+2+1) 总和 M=M1+M2+M3=32640

5、生产某种产品 100 件,其中有 2 件是次品,现在抽取 5 件进行检查. (1)“其中恰有两件次品”的抽法有多少种? (152096) 【解析】 也就是说被抽查的 5 件中有 3 件合格的 ,即是从 98 件合格的取出来的 所以 即 C2 取 2×C98 取 3=152096 (2)“其中恰有一件次品”的抽法有多少种? (7224560) 【解析】同上述分析,先从 2 件次品中挑 1 个次品,再从 98 件合格的产品中挑 4 个 C2 取 1×C98 取 4=7224560 (3)“其中没有次品”的抽法有多少种? (67910864) 【解析】则即在 98 个合格的中抽取 5 个 C98 取 5=67910864 (4)“其中至少有一件次品”的抽法有多少种? (7376656) 【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有 1 种的 C100 取 5-C98 取 5=7376656 (5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种? (75135424) 【解析】所有的排列情况中去掉有 2 件次品的情况即是至多一件次品情况的

C100 取 5-C98 取 3=75135424 6、 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台, 其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台, 则不同的取法共有( ) (A)140 种 (B)84 种 (C)70 种 (D)35 种 -------------------------------------------------------【解析】根据条件我们可以分 2 种情况 第一种情况:2 台甲+1 台乙 即 C4 取 2×C5 取 1=6×5=30 第二种情况:1 台甲+2 台乙 即 C4 取 1×C5 取 2=4×10=40 所以总数是 30+40=70 种 7、在 50 件产品中有 4 件是次品,从中任抽 5 件,至少有 3 件是次品的抽法有__种. ------------------------------------------------------【解析】至少有 3 件 则说明是 3 件或 4 件 3 件:C4 取 3×C46 取 2=4140 4 件:C4 取 4×C46 取 1=46 共计是 4140+46=4186 8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担, 乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4 人承担 这三项任务, 不同的选法共有( C ) (A)1260 种 (B)2025 种 (C)2520 种 (D)5040 种 --------------------------- 【解析】分步完成 第一步:先从 10 人中挑选 4 人的方法有:C10 取 4=210 第二步:分配给甲乙并的工作是 C4 取 2×C2 取 1×C1 取 1=6×2×1=12 种情况 则根据分步原则 乘法关系 210×12=2520 9、12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方 案共有__ C(4,12)C(4,8)C(4,4) ___种 ------------------------ 【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是 C12 取 4 第二个路口是 C8 取 4 第三个路口是 C4 取 4 则结果是 C12 取 4×C8 取 4×C4 取 4 可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要 P33 吗 其实不是这样的 在我们从 12 人中 任意抽取人数的时候,其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再 ×P33 则是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候 考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要÷ P33

10、在一张节目表中原有 8 个节目,若保持原有节目的相对顺序不变,再增加三个节目, 求共有多少种安排方法? 990 ------------------------ 【解析】 这是排列组合的一种方法 叫做 2 次插空法 直接解答较为麻烦,故可先用一个节目去插 9 个空位,有 P(9,1)种方法;再用另一个节目去 插 10 个空位,有 P(10,1)种方法;用最后一个节目去插 11 个空位,有 P(11,1)方法,由乘 法原理得:所有不同的添加方法为 P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990 种。 另解: 先在 11 个位置中排上新添的三个节目有 P(11,3)种, 再在余下的 8 个位置补上原有的 8 个节目,只有一解,所以所有方法有 P311×1=990 种。

3.

【分享】排列组合新讲义

作者:徐克猛(天字 1 号) 2009-2-19
一、 排列组合定义 1、什么是 C 公式 C 是指组合,从 N 个元素取 R 个,不进行排列(即不排序) 。 例如: 编号 1 ~ 3 的盒子, 我们找出 2 个来使用, 这里就是运用组合而不是排列, 因为题目只是要求找出 2 个盒子的组合。即 C ( 3 , 2 )= 3 2、什么是 P 或 A 公式 P 是指排列,从 N 个元素取 R 个进行排列 ( 即排序 ) 。 例如: 1 ~ 3 ,我们取出 2 个数字出来组成 2 位数,可以是先取 C ( 3 , 2 )后排 P22 ,就构成了 C ( 3 , 2 )× P ( 2 , 2 )= A ( 3 , 2 ) 3、A 和 C 的关系 事实上通过我们上面 2 个对定义的分析, 我们可以看出的是, A 比 C 多了一个排序步骤, 即组合是排列的一部分且是第一步骤。 4、计算方式以及技巧要求 组合:C(M,N)=M!÷( N!×(M-N) ! ) 条件:N<=M 排列:A(M,N)=M!÷(M-N) ! 条件:N<=M 为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求, 我需要大家能够熟练的掌握 1~ 7 的阶乘, 当然在运算的过程中,我们要学会从逆向思维角度考虑问题,例如 C(M,N) 当中 N 取值过大,那么我们可以看 M-N 的值是否也很大。如果不大。我们可以求 C(M, [M-N]) ,因为 C(M,N)=C(M,[M-N]) 二、 排列组合常见的恒等公式 1、C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+……+C(n,n)=2^n 2、C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)

针对这 2 组公式我来举例运用 (1)有 10 块糖,假设每天至少吃 1 块,问有多少种不同的吃法? 解答:C(9,0)+C(9,1)+……+C(9,9)=2^9=512 (2),公司将 14 副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画,按照要求,甲比乙多选 1 副,且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为 70,求,甲挑选了 多少副参加展览? C(8,n)=70 n=4 即得到甲选出了 4 副。 三、 排列组合的基本理论精要部分(分类和分步)

(1)、加法原理(实质上就是一种分类原则) :一个物件,它是由若干个小块组成的,我们要 知道这个物件有多重,实际上可以分来算,比如,我们知道每一个小块的重量,然后计算总 和就等于这个物件的重量了,这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中,当我们要求某一 个事件发成的可能性种类,我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零, 例如:7 个人排座位,其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可 以看, 第一类情况:甲坐在左边,乙坐在右边,其他人随便坐,A(5,5) 第二类情况:甲坐在右边,乙坐在左边,其他人随便坐,A(5,5) 我们分别计算出 2 种情况进而求和即得到答案。 这就是分类原则。 这样就是 A(5,5)+ A(5,5)=240 (2)、乘法原理(实质上就是一种分步原则) :做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一 步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方 法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×?×mn 种不同的方法. 例如: 7 个人排座位,其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法,按照分步原则, 第一步:我们先对甲乙之外的 5 个人先排序座位,把两端的座位空下来,A(5,5) 第二步:我们再排甲乙,A(2,2) 这样就是 A(5,5)×A(2,2)=240 如何区分两个原理: 我们知道分类原则也就是加法原则,每一个分类之间没有联系,都是可以单独运算,单独成 题的,也就是说,这一类情况的方法是独立的,所以我们采用了加法原理。要做一件事,完 成它若是有 n 类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理; 我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事,需要分 n 个步骤,步与步之间是连续的,只 有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.说 明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来 (3)特殊优先,一般次要的原则 例题: (1)从 1、2、3、……、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差

数列有___个。 第一步构建排列组合的定义模式,如果把数学逻辑转换的问题。 (2)在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作物,每种种植一垄,为有 利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6 垄,不同的选法共有______种。 第一类:A 在第一垄,B 有 3 种选择; 第二类:A 在第二垄,B 有 2 种选择; 第三类:A 在第三垄,B 有一种选择, 同理 A、B 位置互换 ,共 12 种。 (3)从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。 (一)从 6 双中选出一双同色的手套,有 C(6,1)种方法; (二)从剩下的 5 双手套中任选 2 双,有 C(5,2)种方法。 (三)这 2 双可以任意取出其中每双中的 1 只,保证各不成双; 即 C(6,1)*C(5,2)*2^2=240 (4)身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的 人个子矮,则所有不同的排法种数为_______。 分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方 法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有 C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=90 种。

四、

解决排列组合问题的策略

1 、逆向思维法:我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把 这个集合看成数学上的单位 1 , 那么 1 = a + b 就是我们构建逆向思维的数学模型了, 当 a 不利于我们运算求解的时候,我们不妨从 b 的角度出发思考,这样同样可以求出 a= 1- b。 例题: 7 个人排座,甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种? 例题:一个正方体有 8 个顶点 我们任意选出 4 个,有多少种情况是这 4 个点可以构 成四面体的。 例题:用 0,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) A.24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 2 、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略: (1)无关型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集 例题:用 0,1,2,3,4,5 六个数字可组成多少个被 10 整除且数字不同的六位数? (2)包含型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系 例题:用 0,1,2,3,4,5 六个数字可组成多少个被 5 整除且数字不同的六位奇数? P55×-P44=120-24=96 用 0,1,2,3,4,5 六个数字可组成多少个被 25 整除且数字不同的六位数? 25,75 (3×3×2×1)×2+P44=36+24=60

(3)影响型:两个特殊位置上可取的元素既有相同的,又有不同的。 例题:用 1,2,3,4,5 这五个数字,可以组成比 20000 大并且百位数字不是 3 的没有重 复数字的五位数有多少个? 3 、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略 例题: 平面上 4 条平行直线与另外 5 条平行直线互相垂直, 则它们构成的矩形共有________ 个。 简析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步.先在 4 条平行线中任取两条,有 C4 取 2 种取法;第二步再在 5 条平行线中任取两条,有 C5 取 2 种取法。这样取出的四 条直线构成一个矩形,据乘法原理,构成的矩形共有 6×10=60 个 4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略 对于排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略。 例:4 个不同小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有___种。144 5、插板法 插板法的条件构成: 1 元素相同,2 分组不同,3 必须至少分得 1 个 插板法的类型: (1) 、 10 块奶糖分给 4 个小朋友, 每个小朋友至少 1 块, 则有多少种分法? (典型插板法 点 评略) (2) 、10 块奶糖分给 4 个小朋友有多少种方法?(凑数插板法: 这个题目对照插板法的 3 个条件我们发现 至少满足 1 个这个条件没有, 所以我们必须使其满足,最好的方法 就是 用 14 块奶糖来分,至少每人 1 块 ,当每个人都分得 1 块之后,剩下的 10 块就可以随便分 了,就回归到了原题) (3) 、10 块奶糖放到编号为 1,2,3 的 3 个盒子里,每个盒子的糖数量不少于其编号数, 则有几种方法?(定制插板法: 已然是最后一个条件不满足,我们该怎么处理呢,应该学 会先去安排 使得每个盒子都差 1 个, 这样就保证每个盒子必须分得 1 个, 从这个思路出发, 跟第二个例题是姊妹题 思路是一样的 对照条件 想办法使其和条件吻合! ) (4) 、8 块奶糖和另外 3 个不同品牌的水果糖要放到编号为 1~11 的盒子里面,每个盒子至 少放 1 个,有多少种方法?(多次插空法 这里不多讲,见我排列组合基础讲义) 6、递归法(枚举法) 公考也有这样的类型, 排错信封问题,还有一些邮票问题 归纳法: 例如:5 封信一一对应 5 个信封,其中有 3 个封信装错信封的情况有多少种? 枚举法: 例如:10 张相同的邮票 分别装到 4 个相同的信封里面,每个信封至少 1 张邮票,有多少种 方法? 枚举: 1,1,1,7 1,1,2,6 1,1,3,5 1,1,4,4 1,2,2,5

1,2,3,4 1,3,3,3 2,2,2,4 2,2,3,3 9 种方法! 五、 疑难问题 1、如何验证重复问题 2、关于位置与元素的相同问题, 例如: 6 个人平均分配给 3 个不同的班级,跟 6 个学生平分成 3 组的区别 3、关于排列组合里面,充分运用对称原理。 例题: 1,2,3,4,5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数? 例题:7 个人排成一排,其中甲在乙右边(可以不相邻)的情况有多少种? 注解:分析 2 种对立情况的概率,即可很容易求解。 当对立情况的概率相等,即对称原理。 4、环形排列和线性排列问题。 (见我的基础排列组合讲义二习题讲解) 例如:3 个女生和 4 个男生围坐在一个圆桌旁。 问有多少种方法? 例如:3 对夫妇围坐在圆桌旁,男女间隔的坐法有多少种? 注解:排列组合中,特殊的地方在于,第一个坐下来的人是作为参照物,所以不纳入排列的 范畴,我们知道,环形排列中 每个位置都是相对的位置,没有绝对位置,所以需要有一个 人坐下来作为参照位置。 5、几何问题:见下面部分的内容。 例析立体几何中的排列组合问题 在数学中,排列、组合无论从内容上还是从思想方法上,都体现了实际应用的观点。 1 点 1.1 共面的点 例题: 四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与棱的中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一 平面上,不同的取法有( ) A.30 种 B.33 种 C.36 种 D.39 种 答案:B 点评:此题主要考查组合的知识和空间相像能力;属难度中等的选择题,失误的主要原因是 没有把每条棱上的 3 点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。 1.2 不共面的点 例 2: 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有 ( ) A.150 种 B.147 种 C.144 种 D.141 种 解析:从 10 个点中任取 4 个点有 C(10,4)=210 种取法,其中 4 点共面的情况有三类: 第一类,取出的 4 个点位于四面体的同一个面内,有 C(6,2)=15 种;第二类,取任一 条棱上的 3 个点及对棱的中点,这 4 点共面有 6 种;第三类,由中位线构成的平行四边形, 它的 4 个顶点共面,有 3 种。

以上三类情况不合要求应减掉,所以不同取法共有 210-4×15-6-3=141 种。 答案:D。 点评: 此题难度很大, 对空间想像能力要求高, 很好的考察了立体几何中点共面的几种情况; 排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。 几何型排列组合问题的求解策略 有关几何型组合题经常出现在各类试题中, 它的求解不仅要具备排列组合的有关知识, 而且 还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高,因此要求掌握四种常用求解 策略. 一 分步求解 例 1 圆周上有 2n 个等分点(n>1) ,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______. 解:本题所求的三角形,即为圆的内接直角三角形,由平面几何知识,应分两步进行:先从 2n 个点中构成直径(即斜边)共有 n 种取法;再从余下的(2n-2)个点中取一点作为直角顶 点,有(2n-2)种不同取法.故总共有 n(2n-2)=2n(n-1)个直角三角形.故填 2n(n-1). 例 2: 从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中 的 A、B、C,所得的经过坐标原点原直线共有____条(结果用数值来表示). 解:因为直线过原点,所以 C=0. 从 1、2、3、5、7、11 这 6 个数中任取 2 个作为 A、B, 两数的顺序不同,表示的直线也不同,所以直线的条数为 P(6,2)=30. 二 分类求解 例 3 四边体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱的中点中取 3 点,使它们和 A 在同一平面 上,不同取法有( ) (A)30 种 (B)33 种 (C)36 种 (D)39 种 解:符合条件的取法可分三类:① 4 个点(含 A)在同一侧面上,有 3 =30 种;②4 个点 (含 A)在侧棱与对棱中点的截面上,有 3 种;由加法原理知不同取法有 33 种,故选 B. 三 排除法求解 例 4 从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( ) (A) 8 种 (B) 12 种 (C) 16 种 (D) 20 种 解:由六个任取 3 个面共有 C(6,3)=20 种,排除掉 3 个面都相邻的种数,即 8 个角上 3 个平面相邻的特殊情形共 8 种,故符合条件共有 20-8=12 种,故选(B). 例 5 正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中 3 个点为顶点的三角形共有( )个? 解:从 7 个点中任取 3 个点,共有 C(7,3)=35 个,排除掉不能构成三角形的情形.3 点在同一直线上有 3 个,故符合条件的三角形共有 35-3=32 个. 四 转化法求解 例 6 空间六个点,它们任何三点不共线,任何四点不共面,则过每两点的直线中有多少对 异面直线? 解:考虑到每一个三棱锥对应着 3 对异面直线,问题就转化为能构成多少个三棱锥. 由于 这六个点可构成 C(6,4)=15 个三棱锥,故共有 3×15 =45 对异面直线. 例 7 一个圆的圆周上有 10 个点,每两个点连接一条弦,求这些弦在圆内的交点个数最多 有几个? 解:考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点,则问题可转化为构成凸四边形的个 数.显然可构成 C(10,4)=210 个圆内接四边形,故 10 个点连成的点最多能在圆中交点 210 个.

6、染色问题: 不涉及环形染色 可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。 环形染色可采用如下公式解决: An=(a-1)^n+(a-1)×(-1)^n n 表示被划分的个数,a 表示颜色种类 原则:被染色部分编号,并按编号顺序进行染色,根据情况分类 在所有被染色的区域,区分特殊和一般,特殊区域优先处理 例题 1:将 3 种作物种植在如图 4 所示的 5 块试验田里,每块种植一种作物,且相邻的试验 田不能种同一种作物。则有多少种种植方法?

图1

例题 2:用 5 种不同颜色为图中 ABCDE 五个部分染色,相邻部分不能同色,但同一种颜色可 以反复使用,也可以不使用,则符合要求的不同染色方法有多少种?

图2 例题 3:将一个四棱锥的五个顶点染色,使同一条棱的 2 个端点不同色,且只由五个颜色可 以使用,有多少种染色方法?

图3 例题 4: 一个地区分为如图 4 所示的五个行政区域, 现在有 4 种颜色可供选择, 给地图着色, 要求相邻区域不同色,那么则有多少种染色方法?

图4

例题 5:某城市中心广场建造了一个花圃,分 6 个部分(如图 5) 现在要栽种 4 种不同的颜 色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的花,则有多少种不同栽种方式?

图 5:

4. 【分享】无私奉献天字一号的排列组合题(系列之二)
上次发了天字一号的数字推理50道, 大家反映良好, 现在我把天字一号原创的几道排列组 合奉献给大家.还是那句老话,如果觉得可以的话,看后要回帖!以表示对别人的尊重! ! 一) 1, 2, 3, 4 作成数字不同的三位数,试求其总和?但数字不重复。 [解析] 组成 3 位数 我们以其中一个位置(百位,十位,个位)为研究对象就会发现 当某个位置固定 比 如是 1,那么其他的 2 个位置上有多少种组合? 这个大家都知道 是剩下的 3 个数字的全排列 P32 我们研究的位置上每个数字都会出现 P32 次 所以每个位置上的数字之和就可以求出来了 个位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以总和是 6660

(二) 将“PROBABILITY ”11 个字母排成一列,排列数有______种,若保持 P, R, O 次 序,则排列数有______种。 [解析] 这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍:http://bbs.q zzn.com/read-htm-tid-9487547.html (1)我们首先把相同元素找出来,B 有 2 个, I 有 2 个 我们先看作都是不同的 11 个元素全排 列 这样就简单的多是 P11,11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2, 2)=9979200。 (2)第 2 个小问题 因要保持 PRO 的顺序,就将 PRO 视为相同元素(跟 B,I 类似的性质) , 则其排列数有 11!/(2!×2!×3! )= 166320 种。

(三) 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共 10 人围坐一圆桌聊天,试求下列各情 形之排列数: (1)男女间隔而坐。 (2)主人夫妇相对而坐。 (3)每对夫妇相对而坐。 (4)男女间隔且夫妇相邻。 (5)夫妇相邻。 (6)男的坐在一起,女的坐在一起。 [解析] (1) 这个问题也在 http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html 介绍过 先简单介绍一下环形排列的特征 ,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物 .第一个坐下 来的人是没有参照物的 ,所以无论做哪个位置都是一样的 . 所以从这里我们就可以看出 环 形排列的特征是 第一个人是做参照物,不参与排列. 下面就来解答 6 个小问题: (1)先让 5 个男的或 5 个女的先坐下来 全排列应该是 P44, 空出来的位置他们的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是 P55 答案就是 P44*P55=2880 种

(2)先让主人夫妇找一组相对座位入座 其排列就是 P11(记住不是 P22 ),这个时候其他 8 个 人再入座,就是 P88,所以此题答案是 P88

(3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5 组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入 座的夫妇的,剩下的 4 组位置就是 P44, 考虑到剩下来的 4 组位置夫妇可以互换位置即 P44 *2^4=384

(4)夫妇相邻,且间隔而坐. 我们先将每对夫妇捆绑 那么就是 5 个元素做环形全排列 即 P4 4 这里在从性别上区分 男女看作 2 个元素 可以互换位置 即答案是 P44*2=48 种(值得注 意的是,这里不是*2^4 因为要互换位置,必须 5 对夫妇都得换 要不然就不能保持男女间隔)

(5) 夫妇相邻 这个问题显然比第 4 个问题简单多了,即看作捆绑 答案就是 P44 但是这里却

是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的. 即 最后答案是 P44*2^5

(6)先从大方向上确定男女分开座,那么我们可以通过性别确定为 2 个元素做环形全排列.即 P 1,1 , 剩下的 5 个男生和 5 个女生单独做直线全排列 所以答案是 P1,1 *P55*P55

(四)在一张节目表中原有 8 个节目,若保持原有节目的相对顺序不变,再增加三个节目, 求共有多少种安排方法? [解析] 这个题目相信大家都见过 就是我们这次 2008 年国家公务员考试的一道题目: 这是排列组合的一种方法 叫做 2 次插空法或多次插空法 直接解答较为麻烦,我们知道 8 个节目相对位置不动,前后共计 9 个间隔,故可先用一个节目 去插 9 个空位,有 C9 取 1 种方法;这样 9 个节目就变成了 10 个间隔,再用另一个节目去插 10 个空位,有 C10 取 1 种方法;同理用最后一个节目去插 10 个节目形成的 11 个间隔中的 一个,有 C11 取 1 方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为 9*10*11=990 种。

方法 2: 我们先安排 11 个位置,把 8 个节目按照相对顺序放进去,在放另外 3 个节目,11 个位 置选 3 个出来进行全排列 那就是 P11,3=11*10*9=990

(五) 0,1,2,3,4,5 五个数字能组成多少个被 25 整除的四位数? [解析] 这里考察了一个常识性的问题 即 什么样数才能被 25 整除 即这个数的后 2 位必须 是 25 或者 50,或者 75 或者 00 方可. 后两位是 25 的情况有:千位只有 3 个数字可选(0 不能) 百位也是 3 个可选 即 3*3=9 种 后两位是 50 的情况有:剩下的 4 个数字进行选 2 位排列 P4,2=12 种 75 不可能,因为数字中没有 7 00 也不可能,因为数字不能重复 共计 9+12=21 种

5. 【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析

在说这 2 道关于“插板法”的排列组合题目之前,我们需要弄懂一个问题: 插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用?这个问题清楚了,我们在以后的答题中 就 可以尽量的变化题目使其满足这个条件。

这个条件就是: 分组或者分班等等 至少分得一个元素。 注意条件是 至少分得 1 个元素!

好我们先来看题目,

例题 1:某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出,共演出 18 个节目,如果每个年 级至少演出 4 个节目,那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种? ------------------------------- 【解析】 这个题目是 Q 友出的题目,题目中是不考虑节目的不同性 你可以视为 18 个相同的节目 不区分!

发现 3 个年级都是需要至少 4 个节目以上! 跟插板法的条件有出入, 插板法的条件是至 少 1 个,这个时候对比一下,我们就有了这样的思路 ,为什么我们不把 18 个节目中分别 给这 3 个年级各分配 3 个节目。 这样这 3 个班级就都少 1 个,从而满足至少 1 个的情况了

3×3=9 还剩下 18-9=9 个

剩下的 9 个节目就可以按照插板法来解答。 9 个节目排成一排共计 8 个间隔。分别选取其 中任意 2 个间隔就可以分成 3 份(班级)! C8 取 2=28

练习题目:

有 10 个相同的小球。 分别放到编号为 1,2,3 的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不

小于其编号数。那么有多少种放法?

--------------------------------------- ---- 【解析】 还是同样的原理。 每个盒子至少的要求和插板法有出入 那么我们第一步就是想办法满足插 板法的要求。 编号 1 的盒子是满足的 至少需要 1 个, 编号 2 至少需要 2 个,那么我们先给它 1 个, 这样就差 1 个 编号 3 至少需要 3 个,那么我们先给它 2 个, 这样就差 1 个

现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球 ? 10-1-2=7 7 个小球 6 个间隔 再按照插板法来做 C6,2=15 种!

6. 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题
有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6。将两个正 方体放到桌面上,向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形?( ) A.9 B.12 C.18 D.24 -------------------------- 很多教材给出的答案是 18

这里我更正以下:

请大家注意红色字体 “相同”

如果一个显示 3,一个显示 1, 交换以下 是 1,3

是否是 2 种

呢? 显然不是 是 1 种 这是这个题目存在的陷阱
------------------ 方法一: 为偶数的情形 分 2 种情况 (1)、奇数+奇数:(1,3,5) C(3,1)×C(3,1)注意因为这里是相同的两个色子。所以 3,1 和 1,3 是不区分的 要去掉 C3,2=3 种 实际上是 6 种, (2)、偶数+偶数(2,4,6) 偶数的情况跟奇数相同 也是 6 种! 答案是 6+6=12

方法二:

当然我们也可以算总的, 那么就是 C6,1×C6,1-C6,2=36-15=21 种 (为什么要减去 C(6,2 ), 因为任意 2 个数字颠倒都是一种情况) 看奇数: 奇数=奇数+偶数 C3,1×C3,1=9 种 所以答案是 21-9=12 种

7. 【讨论】裴波纳契数列的另类运用

先说典型的裴波纳契数列: 图片:

裴波纳契数列 就是移动求和 A+B=C

因为第一个月这对小兔长成大兔 所以第一个月还是 1 对 即 A 从 1 开始。 第 2 个月开始 剩下一对小兔 合计 2 对 B 从 2 开始。 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? A:54 B:64 C:57 D:37 ------------------- 这个题目刚刚看到讨论 我也用排列组合的办法参与了讨论 现在我再来说说裴波纳契数列 的解法 楼梯级数:1,2,3,4,5,6........ 走法情况:0,1,1,1,2,2........ 这是一个裴波纳契的间隔运用 因为他没有走 1 步的情况

即 A+B=D
0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37

在举例 1 题:小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈一级,两级或三级台阶。已 知相邻楼层之间有 10 级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?

因为是 1,2,3 级都可以所以可以采用 A+B+C=D 的 裴波纳契数列变式!

列举前 3 个 分别是 1,2,3 则 10 个是 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274

练习题目:小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。已知相邻楼层 之间有 10 级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?

8. 【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析
所谓临界点问题 我们也可看作是青蛙跳井问题, 这类问题的特征是 将 2 次具有结果上 互斥(相反)的操作看作 1 组操作的运算 例如典型的青蛙跳井,每跳上去 5 米 会滑下来 3 米 5 米和 3 米的 2 个结果对应的操作就 是互斥操作。 对于这样的类型问题 其考查的要点是: 我们最终要求的结果 有可能是在某一组互斥操 作的上半部分的操作时就已经达到目的或者说已经完成任务。 如果仍然看作一组来结果 就 会使其从到达目的得位置上被互斥操作得另一个相反操作给拖回去。 所以不对最后一组临界 点情况做提前判断 就容易产生结果变大得情况! 下面我们结合 3 个例题来看这个类型的题目! 例一: 一个数是 20 现在先加 30,再减 20,再加 30 ,再减 20, 反复这样操作 请问 至少经过多少次操作 结果是 500? --------------------------------- 我们先找最后一组达到 500 的临界点 也就是我们把+30, -20 2 次操作看作 1 组, 我们 必须看+30 的时候是否能够达到 500 先找临界点 最后一次增加 是需要+30 基数是 20 每一组操作是增加 10 那么计算是这样的 (500-30-20)/10=45 组 也就是说经过 45 组即 90 次操作达到了 470 答案就是 91 次

例二:小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影

响走得不正常,白天快 1/2 分钟,夜里慢 1/3 分钟,他 10 月 1 日白天对准时间,问到哪一天手表 正好快 5 分钟?( ) A 10 月 25 日 B10 月 28 日 C10 月 26 日 D10 月 29 日 -------------------------- 我们知道 白天 和晚上 为一组 即一天 整体情况是 可以块 1/2-1/3=1/6 分钟 要得结果是快 5 分钟 即我们必须最后一个白天情况进行判断 即我们找出临界点是 5-1/2=4.5 天 按照每天快 1/6 则要快 4.5 天 需要 4.5/(1/6)=27 天 这时候 我们发现此时再加上一个 白天即可完成 说明经过了 28 天快了 5 分钟 答案就是 10 月 28 日。

例三:机场上停着 10 架飞机,第一架起飞后,每隔 4 分钟就有一架飞机接着起飞,而在第 一架飞机起飞后 2 分钟,又有一架飞机在机场上降落,以后每隔 6 分钟就有一架飞机在机 场上降落,降落在飞机场上的飞机,又依次隔 4 分钟在原 10 架之后起飞。那么,从第一架 飞机起飞之后,经过多少分钟,机场上第一次没有飞机停留? A 104 B 108 C 112 D 116 ------------------------------- 这个题目类似于“青蛙跳井”问题,我们不能直接求最终结果,否则我们会忽略在临界点状态 的一些变化。 碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生, 发生时的状况怎么样。 这样才好判断。 例如“青蛙跳井”问题, 10 米深的井,青蛙每次跳 5 米 就会下滑 4 米。 问几次能够跳上来。 这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳 5 米的时候刚好到井口!也就是说我们只需研究 到青蛙跳到 10-5=5 米的地方,这里都是常规计算 (10-5)/(5-4)=5 次。最后一次的时 候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。 同样这个题目很多人做出 116 分钟,其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是 当机场剩下 1 架飞机的时候 假设是 N 分钟剩下一架飞机! N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +(10-1) 为什么两边都+1 那是因为这是植树问题。 从 0 分钟开始计算的 所以要多加 1 次 解得 N=104 分钟 所以我们知道 104 分钟的时候是临界点 飞机场只有 1 架飞机没有起飞。 当 108 分钟的时候,飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在 110 分钟的时候, 所以从 108~110 这段时间是机场首次出现没有飞机的现象! 答案应该选 B

9.

【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析

这个帖子主要是讨论在一些存在三个变量公式中, 由于某个变量守恒, 另外两个变量之间的 关系引出的 通过变量发生改变的部分缩小范围和数值来求解的方法 ,简称比例法 比例法我粗略分为 2 类 (一) 变量变化之比例

这部分大家可以参考上面链接的习题 常识去掌握这部分的题目 (二) 变量守恒之比例

这部分是通过 我们求解的试题中 某个变量恒定的把握。 通过这个恒量在整个比例中所得的 比例点的不同参照物下的变化 来反向了解整体变化 或者是与之相关联的变量变化的情况。

下面我们通过试题来了解这样的类型 【2008 年安徽真题】 一个袋子里放着各种颜色的小球,其中红球占四分之一,后来又往袋子里放了 10 个红球, 这时红球占总数的三分之二,问原来袋子里有多少小球? A8 B12 C16 D20

――――――――――――――――――――――― 这个题目中我们可以直接看出不变的部分 是除红色小球以外的部分 我们称之为 非红色部 分

小球个数=红色+非红色 刚开始 非红色:整体=3:4 添加 10 个红球之后是 非红色:整体=1:3 这两个比例的参照对象是不同的 他们相差 10 个球

我们可以将表示同一恒量的比例值统一起来看 3:4 1:3=3:9 我们发现 整体的比例值发生了变化 变化了多少 9-4=5 个比例点 对应的就是 10 个小球 所以每个比例点是 2 个小球 则答案应该是 2×4=8 个小球

【习题二】某校六年级有甲,乙两个班,甲班学生人数是乙班的 5/7,如果从乙班调 3 人到甲班, 甲班人数是乙班的 4/5,则乙班原有学生多少人? A. 49 B.63 C.72 D.84 ―――――――――――――――――――――――――― 这个题目的恒量是甲乙两个班级的总人数, 我们发现题目所有的变动 只是内部活动 没有外 界的加入和整体的流失。 所以总人数就是一个恒定量 开始的时候 乙班人数:总人数=7:12 从乙班调 3 人进入甲班 则比例发生变化为 乙班人数:总人数=5:9 总人数分别是 12 和 9 个比例点 是不统一的 即每个比例单位值不相同了 所以我们首先进行 的就是统一比例值 12 和 9 的最小公倍数是 36 那么调动前后的比例就可以表示为 21:36 和 20:36 我们发现甲班的人数多了一个比例点 那么这 1 个比例点就是对应的调 入的 3 人 总人数是 36 个比例点 则总人数 3×36=108 人 而乙班人数则是 3×21=63 人

【习题三】有银铜合金 10 公斤,加入铜后,其中含银 2 份,含铜 3 份。如加入的铜增加 1 倍,那么银占 3 份,铜占 7 份,试问初次加入的铜是多少公斤?

A3

B4

C5

D6

―――――――――――――――――――― 此题的恒量我们可以看得出来是银, 最初的一次 银:铜=2:3 再次加入铜后,银:铜=3:7

我们根据银是固定的 统一一下比例 2:3=6:9 3:7=6:14 我们发现铜增加了 14-9=5 个比例点 那么增加的部分 很容易就可以从选项里面看到 5 这 个答案了

如果要具体求值 再继续思考 我么知道 2 次增加的铜是一样多。 那么回归到 10 公斤的时候 铜应该是 9-5=4 个比例点 4+6=10 每个比例点就是 1 公斤 自然我们就知道准确的值就是 5 公斤了

总结: 很多问题其实其实就是学会寻找一个折中 或者学会抓住一个特质 比例法就是让我学会在都在变化的变量中找准变化比例规律。进而找出变化的环境和范围。 或者 找出守恒的变量 通过它找到对等的关系

10.
15

【讨论】“五个人的体重之和是 423 斤,他们的体重都是整数”一题

五个人的体重之和是 423 斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能 是( )斤

A.80

B.82 C.84 D.86

有人说这个题目少条件,其实不少条件, 为什么这么说呢, 这是需要来根据题目的提问分 析的

我们能够知道的就是 5 个人的总重量是固定的 还有就是他们的体重都是整数,且各不相 同,注意看提问“体重最轻的人 最重是多少?”

首先你这样想 因为体重各不相同,肯定有人最轻,但是我们要想办法让他轻也要尽可能的 重些。

举个简单的例子, 就说 2 个人把 体重是 150, 那么你说是不是只有当 2 个人的体重无限 接近的时候,最轻的人的体重才是可能性中最重的。最重的人的体重也就被拖低了,

同样这个道理。5 个人也是。当他们 5 个体重无限接近的时候 重的人的优势不明显了 因 为这些优势都在轻的人身上,但是却没有超出。无限接近且保证是整数,那么自然就是连续 自然数这样的情况了

所以我们直接考虑连续自然数 423/5=84 余数是 3 中间重量是 84 斤 那么这个连续自然数就是 82,83,84,85,86 这时候有人问 那多余的 3 斤怎么办 很

简单 我们把这 3 斤分配给最重的 3 人其中的一个或者 2 个人都可以。因为这对轻者的体重 无影响。如果分配给轻者,那么就会出现体重轻的人加上 1~3 斤的时候 和后面的某一个 人的体重重复, 所以我们只要看连续自然数最小的一个自然数即可

同样我们来看一个姊妹题

例题:现有鲜花 21 朵分给 5 人,若每个人分得的鲜花数目各不相同,则分得鲜花最多的人

至少分得()朵鲜花。

A.7

B.8

C、9 D.10

这个题目提问的是

最多的人至少分得多少

道理是一样的。 只有连续自然数才能让 少的人尽可能多,多的人尽可能少 所以 21/5=4 余数是 1 注意这里余数是必须要考虑的 最大的是 6 剩下的 1 只能分

我们知道中间数是 4, 这个连续自然数是 2,3,4,5,6 给最大的 否则分给其他的 都会出现重复数字。 答案就是 6+1=7 不管余数是多少 答案就是最大数+1 为什么这么说,

我们来看 假如鲜花数量是 24 也是分给 5 个人 24/5=4 余数是 4 2,4,5,6,7 所以这里余数是多少不重要 直接用最大数+1 即可 连续自然数序列是 2,3,4,5,6 余数就分给最多的 4 个人 变成

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【经验分享】浅谈 mn/(m+n)公式的由来(盐水交换问题)

有甲乙两杯含盐率不同的盐水,甲杯盐水重120克,乙杯盐水重80克.现在从两杯倒出 等量的盐水,分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐水是 多少克?

公式: mn/(m+n)=120*80/(120+80)=48

公式的由来是通过 2 个十字交叉法得到的 你假设交换的部分是 a 克盐水

假设 120 克的盐水 浓度是 P1, 80 克的盐水浓度是 P2, 交换混合后相同的浓度是 P

那么对于 120 克的盐水来讲 建立十字交叉法

120-a(P1) P a(P2)

P-P2

P1-P

我们得到

(120-a):a=(P-P2):(P1-P)

那么对于 80 克的盐水来讲 建立十字交叉法

80-a(P2) P a(P1)

P1-P

P-P2

我们得到

(80-a):a=(P1-P):(P-P2)

根据这 2 个比例的右边部分我们可以得到

(120-a):a=a:(80-a)

化简得到 a=120×80/(120+80) 说明跟各自的浓度无关!

--------------------------------------- ----

补充方法: 因为 2 种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将 2 种溶液直接混合,在按照比例分开 成 2 部分。 所以我们假设交换了 a 克

a 克相对于 120 克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质 量也是同一比例。 即 (120-a)/a=120/80 a=48 克 或者 (80-a)/a=80/120 a=48 克

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【周末练习】4 道经典习题(已公布解析 DONE)

习题一:.1 到 500 这 500 个数字 最多可取出多少个数字 保证其取出的任意三个数字之和 不是 7 的倍数。 -------------------------------------------【天字一号解析】

每 7 个数字 1 组,余数都是 1,2,3,4,5,6,0,要使得三个数字之和不是 7 的倍数, 那么其余数之和就不是 7 的倍数。 我们应该挑选 0,1,2,或者 0,5,6 因为 7/3=2 也就是说最大的数字不能超过 2 ,例如 如果是 1,2,3 那么 我们可以取 3, 3,1 这样的余数,其和就是 7

500/7=71 余数是 3, 且剩下的 3 个数字余数是 1,2,3 要得去得最多,那么我们取 0,1,2 比较合适 因为最后剩下的是 1,2,3 所以这样就多 取了 2 个

但是还需注意 0 不能取超过 2 个 如果超过 2 个 是 3 个以上的话 3 个 0 就可以构成 7 的 倍数 0 也能被 7 整除 所以答案是 71 个 1,2 和剩下的一组 1,2 外加 2 个 0 71×2+2+2=146

习题二: 将 50 个苹果分成相同的 3 堆,每堆至少 1 个,有多少种分法? ------------------------ 【天字一号解析】 这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究 那么就是 C49 取 2=1176 相同的堆。所以计算重复了 我们按照三个堆各不相同为标准 恢复到这个状态来做。 我们少算了多少个 1,1,48 2,2,46, 3,3,44 4,4,42 .。。。。。 50/2=25 所以直到 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的,这里是

24,24,2

这样的情况少算了 P33-P33/P22=3 次

所以一共少算了 24×3=72

按照标准情况来看应该是 1176+72=1248 种

所以我们每组都需要扣除 6 种情况变为 1 种 因为不区分组 所以答案是 1248/P33=208 种

习题三:1~1998,有多少个数字其各个位置上的数字之和能被 4 整除? ---------------------- 【天字一号解析】 差不多每个 4 个数字都可以满足题目的条件 我距离每 40 个数字 1 组就是一个周期 例如:12 不行 13 可以, 20 不行 22 可以, 32 不行 35 可以。 40~50 之间都满足。 这就是一个周期

所以我们看最后一个倍数是多少 1996 这是最后一个 4 的倍数 1+9+9+6=25 不行 还差 3 个 应该是 1999 补上它 所以答案是 1996/4=499 但是 1999 不含在其中 所以答案是 499-1=498

习题四:有一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 厘米的细木条,它们 的数量都足够多,从中适当选取 3 根本条作为三条边,可围成一个三角形。如果规定底边 是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形? -----------------------------

【天字一号解析】 看看这个题目 你就觉得简单了 1、三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为( C )

(A)25 个 【解析】

(B)26 个

(C)36 个

(D)37 个

根据三角形边的原理 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 可见最大的边是 11 则两外两边之和不能超过 22 因为当三边都为 11 时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为 11,则另外一个边的长度是 11,10,9,8,7,6,。。。。。。1 如果为 10 则另外一个边的长度是 10,9,8。。。。。。2, (不能为 1 否则两者之和会小于 11,不能为 11,因为第一种情况包含了 11,10 的组合)

如果为 9

则另外一个边的长度是 9,8,7,。。。。。。。3

(理由同上 ,可见规律出现) 规律出现 总数是 11+9+7+。。。。1=(1+11)×6÷2=36

13.

【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析
一条街上,一个骑车人和一个步行人相向而行,骑车人的速度是步行人的 3 倍,每个

隔 10 分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔 20 分钟有一辆公交车超过一个骑车人,如 果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车? A 10 B 8 C 6 D 4

---------------------------------------------------------我们知道这个题目出现了 2 个情况,就是

(1)汽车与骑自行车的人的追击问题, (2)汽车与行人的追击问题 追击问题中的一个显著的公式 就是 路程差=速度差×时间 我们知道这里的 2 个追击情况的路程差都是 汽车的间隔发车距离。是相等的。因为我们要 求的是关于时间 所以可以将汽车的间隔距离看作单位 1. 那么根据追击公式 (1) (V 汽车-V 步行)=1/10 (2) (V 汽车-3V 步行)=1/20 (1)×3-(2)=2V 汽车=3/10-1/20 很快速的就能解得 V 汽车=1/8 答案显而易见是 8

再看一个例题:小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。扶梯方向向上,小芳则从二楼到一楼。 已知小明的速度是小芳的 2 倍。小明用了 2 分钟到达二楼,小芳用了 8 分钟到达一楼。如 果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上 问多长时间可以到达二楼? ------------------- 跟上面一题一样。 这个题目也是 2 个行程问题的比较 (1)小明跟扶梯之间是方向相同 (1) (V 小明+V 扶梯)=1/2 (2) 小芳跟扶梯的方向相反 (2) (V 小芳-V 扶梯)=1/8 (1)-2×(2)=3V 扶梯=1/4 可见扶梯速度是 1/12 答案就显而易见了。

总结:在多个行程问题模型存在的时候。我们利用 其速度差,速度和 的关系将未知的变量抵消。可以很轻松的一步求得结果!

习题: 1、电扶梯由下往上匀速行驶.男孩以每秒 2 个梯级的速度沿电扶梯往上走,40 秒种可达电扶 梯顶部.一女孩以每 2 秒 3 个梯级的速度往上走,50 秒可以达到顶部.则静止时电扶梯的梯级

数为( A 80

) B 75 C 100 D 1202、

2、某人沿电车线路行走,每 12 分钟有一辆电车从后面追上,每 4 分钟有一辆电车迎面而来.2 个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少????

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【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结

“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原本有多少 ?不是我们关 心的内容,为什么这么说,因为在我们计算的时候,实际上是根据差值求草长速度,那么原 有的草量都是一样, 有些题目可能面积不一样,但是每亩地的原始草量确实一样的。! 废话少说,就下面 2 个题目来讨论一下:

1.一片牧草,可供 16 头牛吃 20 天,也可以供 80 只羊吃 12 天,如果每头牛每天吃草量等 于每天 4 只羊的吃草量,那么 10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草,几天可以吃完?( ) A.10 B.8 C.6 D.4 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 我们先要确定一个单位,即一头牛每天吃的草量为 1 个标准单位,或者叫做参照单位 因为此题中出现了牛和羊,这两个吃草效率不等,转化一下 4 羊=1 牛。 看题目 (1)“一片牧草,可供 16 头牛吃 20 天” 说明 这片牧草 吃了 20 天即原有的草和 20 天长出来的草共计是 20×16=320 个单位 (2)“也可以供 80 只羊吃 12 天”相当于“20 头牛吃 12 天” 说明这片牧草吃了 12 天即原来的草和 12 天长出来的草共计是 12×20=240 个单位 两者相减 320-240=80 就是多出的 8 天所长的草量 即每天草长速度是 80÷ 8=10 个单位 现在是“10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草”相当于“10+60÷ 4=25 头牛吃草” 牛多了,自然吃的天数就少了 我们还是可以根据上面的方法,挑选(1)或者(2)来做比较。

就挑选(1) 320-25a=(20-a)×10 这个等式,a 表示我们要求的结果 即可解得 a=8 天。

3.22 头牛吃 33 公亩牧场的草,54 天可以吃尽,17 头牛吃同样牧场 28 公亩的草,84 天 可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场 40 公亩的草,24 天吃尽?( ) A.50 B.46 C.38 D.35 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ―― 再看这个有面积的题目 其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的, 面积不一样,但是没公亩的原有量 和每天每亩草长的量是相同的。 根据这个 条件 1: (22×54)/33 这是每公亩的情况 条件 2: (17×84)/28 这是每公亩的情况 相减 (17×84)/28 -(22×54)/33=(84-54)×a a 表示每亩草长速度 解得 a=0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位 最后我们假设 x 头牛 24 天可以吃完 40 公亩草 那么挑选上面的一个情况拿过来做对比: (22×54)/33-24x/40=(54-24)×0.5 即可解得 x=35 头牛

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【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑!

一本书有 400 页,,问数字 1 在这本书里出现了多少次? 解析:关于含“1”的页数问题,总结出的公式就是:总页数的 1/5,再加上 100

------------------------- 对于这个解法我觉得有待商榷! 这种公式局限于 1000 以内的解法 不适合 1000 以上 例如 : 一本书有 4000 页,,问数字 1 在这本书里出现了多少次? 1000+4000/5=1800 这个答案显然是错误的! 事实上答案是 C(4,1)×C(10,1)×C(10,1)×3+10^3=2200 在这里我提供一组利用排列组合来解决此题的方法 我们看 4000 分为千,百,十,个四个数字位置 千位是 1 的情况: 那么百、十、个 数字 就是 10*10*10=1000 三个位置的选择数字的范围是 0~9 共计 10 个

百位是 1 的情况, 千位是(0,1,2,3)4 个数字可以选择 十位,个位还是 0~9 10 个数字可以选择 即 4×10×10=400 十位和个位都跟百位一样分析。那么答案就是 1000+400×3=2200

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【总结】关于页码和页数的题目(刚看到的一个题目顺便做个分析)

先从几个题目开始说

(1) 699 页的书页码当中含有多少 2?

可以采用排列组合来做, 我们将这 1~999 个数字 按照这样的方式来看 首先 001 表示 1, 我们把 百位,十位,个位单独来看

百位如果是 2 的情况有多少种? 主要是取决于 十位和个位的选择情况, 十位有 0~9 10 个选择, 个位有 0~9 十个选择 即 10*10=100 个 十位如果是 2 的情况有多少种? 百位的选择 是 0~6 即 7 种选择, 个位 0~9 这 10 个数字选择,即 7*10=70

个位如果是 2 的情况有多少种? 百位的选择 0~6, 即 7 种选择 ,十位 0~9 10 个数字可以选择, 即和十位是 2 的情况一 样 7*10=70

则答案是 100+70*2=240 个

注解:例如 522 是含有 2 个 2, 当百位是 0 十位是 2 个位是 2 的时候 即 022 表示的是 页码 22

(2) 999 页码的书有多少页不含 2 的页码? 这个题目跟上一题不一样求的是页码 , 比如说 522 这个页码 虽然含有 2 个 2, 但是这是一 个页码 这个题目我们同样采用排列组合 每个位置不是 2 的 种类选择, 即都是 0~9 排除 2, 9 个数字可以选择,所以不含 2 的页 码是 9*9*9=729 但是当三个位置都是 0 时,即表示为 0,页码当中没有 0 页码,所以最终 答案是 729-1=728 个页码 不含 2

(3)999 页的书有多少页含 2 的页码? 上面我们已经分析了 ,借助上面做法 含 2 的页码就是 999-728=271 个页码

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【开会时间分针时针互换问题】新题型的 2 道问题的解析

小王去开会,会前会后都看了表,发现前后时钟和分钟位置刚好互换,问会开了 1 小时几 分() A.51 B 49 C47 D45

这个题目我刚才做了一下 我是这么做的

分针时针互换 因为时间不超过 2 小时 也就是说。分针转动的时间不超过 120 分钟

我们根据位置互换,可以发现时针走的度数+分针走的度数是 360 度×n 要得在大于 1 小时小于 2 小时 则 n=2

根据路程之和可知 2 者的路程是 360×2=720 度 答案是 720÷ (6+0.5)=1 小时 51 分钟(估算值) ------------------------------------

会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置. 会议在 3 点至 4 点之间召开,5 点至 6 点之间结束,请问会议何时召开? 【解析】

首先可以确定 顺时针方向 分针在时针的前面。 否则 时针要转大半圈才能到达分针的位 置。 其次可以发现分针时针走的路程之和是 360 度×N 因为时间是控制在 1~2 个小时内 则 N =2 720÷ (6+0.5)=1440/13 分钟 说明会议时间是这么多分钟

根据时间的比例 开始时的分针是 5~6 之间 说明时针在 3~4 之间还没有过半 即最后分针 停留的位置应该不超过 17~18 分钟 那我们按照 5 点 17 分-1440/13 分钟 应该是 3 点 26 分钟左右

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【分享】 (绝对经典)20 道比列及列式计算

1、某人工作一年的报酬是 8400 元和一台电冰箱,他干了 7 个月不干了,得到 3900 元和 一台电冰箱。这台电冰箱价值多少元? (用比例的思维 。这题在比列中算是比较简单的题 了)

【解析】 一年的报酬:8400+电冰箱一台 7 个月的报酬:3900+电冰箱 所以 5 个月的报酬就是:8400-3900=4500 每个月的报酬就是:4500/5=900 一年的报酬就是:900*12=10800 电冰箱就是:10800-8400=2400

2、甲、乙两车分别从 A,B 两地出发,相向而行,出发时,甲、乙的速度比是 5:4,相遇 后,甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样,当甲到达 B 时,乙离 A 地还有 10 千 米。那么 A,B 两地相距多少千米? 【解析】 方法一(七夜解法) : 假设全程为 9 份,相遇的时候,甲走 5 份,乙走了 4 份,之后速度开始变化,这样甲到达 B 地,甲又走了 4 份 根据速度变化后的比值,乙应该走了 4×6/5=24/5 份 所以这样离 A 地还有 5-(24/5)份 10*9/(1/5)=450 方法二(我的解法) : 假设全程是 9 份,相遇时,甲走 5 份,乙走 4 份 甲乙的路程比就是速度比变为,5:4 之后由于变速甲乙速度比变为,4:4.8 所以当甲到 B 点时(即走了 5+4=9 份) ,乙走了 4+4.8=8.8 份 乙距离全程还相差 9-8.8=0.2 份 0.2 份对应的是 10 千米 所以 9 份对应的是 9*10/0.2=450 千米 (大家觉得七夜的解法和我的解法哪个好点?)

3、小明每天早晨 6:50 从家出发,7:20 到校,老师要求他明天提早 6 分钟到校。如果小 明明天早晨还是 6:50 从家出发,那么,每分钟必须比往常多走 25 米才能按老师的要求准 时到校。问:小明家到学校多远? 【解析】 方法一: (小学生的做法,也就是列式计算法) 要提前 6 分钟到校,所以用时是 30-6=24 分钟 而这 6 分钟走的路程正好就是小明每分钟加快多走 25 米,走了 24 分钟才走好的 因此小明用正常速度走 6 分钟的路程就是:24*25=600 米 所以小明正常的速度就是:600/6=100 米/分钟(怎么这么慢捏?) 所以 S=100*30=3000 米 方法二: 时间比是 30:24=5:4 所以速度就是时间比的反比 4:5 5-4=1,1 个比例点对应 25 米,所以 4 个比例点对应 4*25=100 米(正常的速度) 所以 S=100*30=3000 米

4、甲读一本书,已读与未读的页数之比是 3:4,后来又读了 33 页,已读与未读的页数之 比变为 5:3。这本书共有多少页? 【解析】 这题要注意的就是书的页数始终保持不变(我废话了=。=) 一开始,已读与未读的页数之比是 3:4,所以已读的页数与整本书的页数比就是 3: (3+4) =3:7 后来又读了 33 页,已读与未读的页数之比变为 5:3,所以已读的页数与整本书的页数比就 是 5: (5+3)=5:8 因此,整本书的页数就是: 33/(5/8-3/7)=168 (这里我想扯开讲讲代入法了, 因此之前是 3/7, 之后是 5/8, 因此整本书的页数一定就是 7、 8 的公倍数,也就是 56 的倍数,有选项的话直接秒,嘎嘎)

5、一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20%,可以比原定时间提前一小时到达;如果以 原速行驶 120 千米后,再将速度提高 25%,则可提前 40 分钟到达.那么甲、乙两地相距多 少千米? 【解析】 先看前半句“如果车速提高 20%,可以比原定时间提前一小时到达” 得到原速与加速比是 5:6,所以时间比就是 6:5,6-5=1,1 个比例点对应 1 小时 所以用原速度行驶完全程需要 6*1=6 小时 再看这句话“如果以原速行驶 120 千米后,再将速度提高 25%,则可提前 40 分钟到达” 提速后,原速与变速比是 4:5,时间比是 5:4,5-4=1,1 个比列点对应 2/3 小时 所以车子用原速行驶后半程的话就是用了 5*2/3=10/3 小时 故前面的 120 千米行驶的路程用时是 6-10/3=8/3 小时 得到原速度就是 120/8/3=45 千米/小时 所以 S=45*6=270 千米 6、甲、乙两城相距 91 千米,有 50 人一起从甲城到乙城,步行的速度是每小时 5 千米,汽 车行驶的速度为 35 千米/小时,他们有一辆可乘坐五人的面包车,最短用多少时间使 50 人全部到达乙城? (这题的汽车速度没有变化, 飞飞在这里总结了一种直接可以套上用的类 似公式的计算式,希望大家能掌握) 【解析】 速度比是 35:5=7:1 7-1=6 6/2=3 路程可分成:1+3+9=13 份 (注,1+3 是第一批人下车的路程,9 是因为共有 50 人,5 人 一组,因此有 10 组,但每一组人要走 10-1=9 份路程。当公式记住吧) 91*(4/13/35+9/13/5)=67/5=13.4 小时 7、一只船从甲码头往返一次共用 4 小时,回来时顺水比去时每小时多行 12 千米,因此后 2 小时多行 16 千米。那么甲,乙两个码头距离时多少千米? 【解析】 这题是个模块,只要记住这个模块就行了

顺水的时间是:16/12=4/3 小时 则逆水时间是:4-4/3=8/3 小时 时间比等于速度比的反比,V 顺:V 逆=8/3:4/3=2:1 V 顺=V 逆+12 所以 V 顺=24 所以 S=24*4/3=32KM 8、甲乙两车分别从 A、B 两地出发,并在 A、B 两地间不间断往返行驶,已知甲车的速度 是 15 千米/小时,乙车的速度是每小时 35 千米,甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地 点差 100 千米,求 A、B 两地的距离 A、200 千米 B、250 千米 C、300 千米 D、350 千米 【解析】 速度比是 15:35=3:7 全程分成 10 份 第三次甲行的路程是:3*(2*2+1)=15 份 第四次甲行的路程是:3*(2*3+1)=21 份 两次相距 5-1=4 份,对应 100KM 所以 10 份对应的就是 250KM

9、某工程有甲乙合作,刚好按时完成,如果甲工作效率提高 20%,哪么 2 个人只需要规定 时间 9/10 就可以完成如果乙工作效率降低 25%,那么 2 人就需要延迟 2.5 小时完成工程, 球规定时间。 【解析】 甲提高效率,整体效率提高了 10/9-1=1/9,所以甲是 1/9/20%=5/9,所以乙是 4/9 所以原来甲乙之比是 5:4 乙变速后甲乙之比是 5:3(做到这里,我觉得方程更直观,我分两步做吧) (1)先用方程 可得到方程是: 9T=8*(T+2.5) T=20 小时 (2)用比列做 乙降低 1 份,对应多用的时间就是 2.5 现在共 5+3=8 份,所以时间就是 8*2.5=20 小时 10、甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发,如果两人同向而行,甲 26 分钟赶上乙;如果 两人相向而行,6 分钟可相遇,又已知乙每分钟行 50 米,求 A、B 两地的距离。 【解析】 V 甲=50*(6+26)/20=80 S=6*(80+50)=780

11、小王和小李合伙投资,年终每人的投资进行分红,小王取了全部的 1/3 另加 9 万元,小 李取了剩下的 1/3 和剩下的 14 万元。问小王比小李多得多少万元

【解析】 小李取了剩下的 1/3 和剩下的 14 万元 所以 14 万就是小李取的 2/3,所以在小王取完之后就剩下 14/2/3=21 万 小王也一样,取的 2/3 就是 21+9=30,所以全部的钱钱就是 30/2/3=45 万 所以就知道小王是 24 万,小李是 21 万 12、甲从 A 地步行到 B 地,出发 1 小时 40 分钟后,乙骑自行车也从同地出发,骑了 10 公 里时追到甲。于是,甲改骑乙的自行车前进,共经 5 小时到达 B 地,这恰是甲步行全程所 需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时? 【解析】 走完全程需要的时间是 5*2=10 小时 一直骑车需要的时间是 5-5/3=10/3 小时 所以人的速度与自行车的速度比是 10:10/3=3:1 车追上人需要:5/3/(3-1)=5/6 小时,对应 10 公里的路程 所以车子的速度就是:10/5/6=12KM/H 13、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要 10 小时,乙车 单独清扫需要 15 小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米, 问东、西两城相距多少千米? 【解析】 解析:甲车和乙车的速度比是 15:10=3:2 相遇时甲车和乙车的路程比也是 3:2 3-2=1,1 个比列对应 12 千米,共有 3+2=5 个比例 所以 S=12*5=60 14、甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件,已知甲车床每加工 3 个零件中有 2 个是圆形的;乙车床每加工 4 个零件中有 3 个是圆形的;丙车床每加工 5 个零件中有 4 个 是圆形的。这天三台车床共加工了 58 个圆形零件,而加工的方形零件个数的比为 4:3:3, 那么这天三台车床共加工零件几个? A.68 B.76 C.78 D.88 【解析】 甲车床加工方形零件 4 份,圆形零件 4*2=8 份 乙车床加工方形零件 3 份,圆形零件 3*3=9 份 丙车床加工方形零件 3 份,圆形零件 3*4=12 份 圆形零件共 8+9+12=29 份,每份是 58÷ 29=2 份 方形零件有 2*(3+3+4)=20 个 所以,共加工零件 20+58=78 个

15、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少 10%,那么要比原定时间迟 1 小时到达,如 果以原速行驶 180 千米,再把车速提高 20%,那么可比原定时间早 1 小时到达。甲、乙两 地之间的距离是多少千米? A.360 B.450 C.540 D.720 【解析】

原速度:减速度=10:9, 所以减时间:原时间=10:9, 所以减时间为:1/(1-9/10)=10 小时;原时间为 9 小时; 原速度:加速度=5:6,原时间:加时间=6:5, 行驶完 180 千米后,原时间=1/(1/6)=6 小时, 所以形式 180 千米的时间为 9-6=3 小时,原速度为 180/3=60 千米/时, 所以两地之间的距离为 60*9=540 千米 16、一只帆船的速度是 60 米/分,船在水流速度为 20 米/分的河中,从上游的一个港口到下 游的某一地,再返回到原地,共用 3 小时 30 分,这条船从上游港口到下游某地共走了多少 米 A.280/3 B.560/3 C.180 D.240 【解析】 船的顺水速度:60+20=80 米/分,船的逆水速度:60-20=40 米/分。 因为船的顺水速度与逆水速度的比为 2:1,所以顺流与逆流的时间比为 1:2。 这条船从上游港口到下游某地的时间为: 3 小时 30 分*1/(1+2)=1 小时 10 分=7/6 小时。 (7/6 小时=70 分) 从上游港口到下游某地的路程为: 80*7/6=280/3 千米。 (80×70=5600) 17、 (先看 18 题)一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速 度的 80%。已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟,但在两地中点停了 5 分钟,才继续驶往乙 地;而小轿车出发后中途没有停,直接驶往乙地,最后小轿车比大轿车早 4 分钟到达乙地。 又知大轿车是上午 10 时从甲地出发的。那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的 A 11 点 01 分 B11 点 05 分 C11 点 10 分 D.11 点 15 分 【解析】 大轿车行完全程比小轿车多 17-5+4=16 分钟 所以大轿车行完全程需要的时间是 16÷ (1-80%)=80 分钟 小轿车行完全程需要 80×80%=64 分钟 由于大轿车在中点休息了,所以我们要讨论在中点是否能追上。 大轿车出发后 80÷ 2=40 分钟到达中点,出发后 40+5=45 分钟离开 小轿车在大轿车出发 17 分钟后,才出发,行到中点,大轿车已经行了 17+64÷ 2=49 分钟。 说明小轿车到达中点的时候,大轿车已经又出发了。那么就是在后面一半的路追上的。 既然后来两人都没有休息,小轿车又比大轿车早到 4 分钟。 那么追上的时间是小轿车到达之前 4÷ (1-80%)×80%=16 分钟 所以,是在大轿车出发后 17+64-16=65 分钟追上。 所以此时的时刻是 11 时 05 分。 18、甲、乙两车都从 A 地出发经过 B 地驶往 C 地,A,B 两地的距离等于 B,C 两地的距 离。乙车的速度是甲车速度的 80%。已知乙车比甲车早出发 11 分钟,但在 B 地停留了 7 分钟,甲车则不停地驶往 C 地。最后乙车比甲车迟 4 分钟到 C 地。那么乙车出发后几分钟 时,甲车就超过乙车。 A.25 B.26 C.27 D.28 【解析】

乙车比甲车多行 11-7+4=8 分钟。 说明乙车行完全程需要 8÷ (1-80%)=40 分钟,甲车行完全程需要 40×80%=32 分钟 当乙车行到B地并停留完毕需要 40÷ 2+7=27 分钟。 甲车在乙车出发后 32÷ 2+11=27 分钟到达B地。 即在B地甲车追上乙车。 19、 小明步行从甲地出发到乙地, 李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48 分钟后两人相遇, 李刚到达甲地后马上返回乙地,在第一次相遇后 16 分钟追上小明.如果李刚不停地往返于 甲、乙两地,那么当小明到达乙地时,李刚共追上小明几次? A3 B 4 C 5 D 7 【解析】 当第二次相遇时小明走了 16 份,李刚走了 48*2+16=112 份,速度比为 1:7,当小明走了 1 个全程,李刚走了 7 个全程, 追上次数=(7-1)/2=3 20. 兄、弟一同栽树要 8 小时完成,兄先栽 3 小时,弟再栽 1 小时,还剩 11/16 没有完成, 已知兄比弟每小时多栽 7 棵树,问问这批树共有多少棵?( ) A. 120 B. 112 C. 108 D. 96 哥哥栽 3 小时,弟弟栽 1 小时,相当于,哥哥弟弟一起栽了 1 小时,哥哥再栽 2 小时 所以哥哥的效率是: (5/16-1/8)/2=3/32 弟弟的效率就是:1/8-3/32=1/32 效率差是:3/32-1/32=1/16,对应的是 7 棵树 所以哥哥弟弟共栽了:7*16=112 棵树

19.

【分享】60 道数学题的解析

1. 在乘积 1×2×3×4×............×698×699×700 中,末尾只有( )个零。 A.172 B.174 C.176 D.179 -----------------------------------------【天字一号解析】 此题我们现需要了解 0 是怎么形成的, 情况只有 1 种, 那就是 5 跟一个偶数相乘就可以构成 一个 0, 但是还要注意 25 算几个 5 呢? 50 算几个 5 呢? 125 算几个 5 呢, 具有几个 5 主 要是看他能否被几个 5 的乘积整除, 例如 25=5×5 所以具有 2 个 5, 50=2×5×5 也是 2 个 5 125=5×5×5 具有 3 个 5 方法一: 我们只要看 700 个数字里面有多少个 5 的倍数 700/5=140

还不行 我们还要看有多少 25 的倍数 700/25=28 还要看有多少 125 的倍数 700/125=5 625 的倍数: 700/625=1 其实就是看 700 里有多少的 5^1,5^2,5^3,5^4……5^n 5^n 必须小于 700 所以答案就是 140+28+5+1=174 方法二: 原理是一样的,但是我们可以通过连除的方式不听的提取 5 的倍数 直到商小于 5 700/5=140 140/5=28 28/5=5 5/5=1 答案就是这些商的总和即 174 140 是计算含 1 个 5 的 但是里面的 25 的倍数只被算了一次,所以我们还需要将 140 个 5 的倍数再次挑出含 5 的数字,以此类推,就可以将所有含 5 的个数数清!

2. 王先生在编一本书,其页数需要用 6869 个字,问这本书具体是多少页? A.1999 B.9999 C.1994 D.1995 ――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目是计算有多少页。 首先要理解题目 这里的字是指数字个数,比如 123 这个页码就有 3 个数字 我们通常有这样一种方法。 方法一: 1~9 是只有 9 个数字, 10~99 是 2×90=180 个数字 100~999 是 3×900=2700 个 数字 那么我们看剩下的是多少 6869-9-180-2700=3980 剩下 3980 个数字都是 4 位数的个数 则四位数有 3980/4=995 个 则这本书是 1000+995-1=1994 页 为什么减去 1 是因为四位数是从 1000 开始算的! 方法二: 我们可以假设这个页数是 A 页 那么我们知道,

每个页码都有个位数则有 A 个个位数, 每个页码出了 1~9,其他都有十位数,则有 A-9 个十位数 同理: 有 A-99 个百位数,有 A-999 个千位数 则: A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869 4A-1110+3=6869 4A=7976 A=1994 3. 在一个两位数之间插入一个数字,就变成一个三位数。例如:在 72 中间插入数字 6,就 变成了 762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的 9 倍,求出所有这 样的两位数有多少个? A、 4 B、5 C、3 D、6 ―――――――――――――――――― 【天字一号解析】 我们先进行简单的判断,首先什么数字个位数×9 得到的数个位数还是原来的 乘法口诀 稍微默念一下就知道是 5×9 或者 0×9 (个位数是 0 的 2 位数×9 百位数肯定不等于原来的十位数 所以排除) 好我们假设这个 2 位数是 10m+5 ,m 是十位上数字,我们在这个数字中间插入 c 这个数 字 那么变成的三位数就是 100m+10c+5 根据关系建立等式: 100m+10c+5=9×(10m+5) 化简得到 : 10m+10c=40 m+c=4 注意条件 m 不等于 0, 则有如下结果(1,3) , (2,2) , (3,1) , (4,0) 四组, 答案是选 A

4. 有 300 张多米诺骨牌,从 1——300 编号,每次抽取偶数位置上的牌,问最后剩下的一张 牌是多少号? A、1 B、16 C、128 D、256 ――――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目本身并不难,但是一定要看清楚题目,题目是抽取偶数位置上的牌,1 是奇数位置 上的, 这个位置从未发生变化, 所以 1 始终不可能被拿走, 即最后剩下的就是编号 1 的骨牌。 当然如果每次是拿走奇数位置上的,最后剩下的是编号几呢? 我们做一个试验,将 1 到 100 按次序排开。每轮都拿掉奇数位置上的骨牌。我们发现,骨牌 数目基本上是呈现倍数缩小。 同时我们有一个更重要的发现, 那就是什么样的数字才能确保 它的 1/2 仍然是偶数。这个自然我们知道是 2^n,但是当 2^n=2 时它的一半就是 1,在接下 来的一轮中就会被拿走。 因此我们发现每一轮操作 2^n 位置上的数都会变为 2^(n-1) 当 2^n=1 时 被拿走。按照这样的操作,100 个多米诺骨牌每次少 1/2, 当操作 6 次即剩下的数目小

于 2 个(100÷2^6<2) 。根据上面我们发现的规律,必然是最后留下了 2^6=64 移动到了第 1 位 也就是仅剩下的 1 位。所以答案是 100 内最大的 2^n=64 总结:大家记住这样一个规律 直线排列最后剩下的是总数目里面最大的 2^n 次方 此题 300 内最大的 2 的 n 次方就是 256 所以如果每次拿走奇数位置上的骨牌,那么最后剩下的就是编号 256

5. 两人和养一群羊,共 n 只。到一定时间后,全部卖出,平均每只羊恰好卖了 n 元。两人 商定评分这些钱。由甲先拿 10 元,再由乙拿 10 元,甲再拿 10 元,乙再拿 10 元,最后, 甲拿过之后,剩余不足 10 元,由乙拿去。那么甲应该给以多少钱? A.8 B.2 C.4 D.6 ―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目就是一个常识的题目没有什么可以延伸的空间,所以我就主要介绍一下解答方法。 X^2 是总钱数,分配的时候 10 元, 2 次一轮,最后单下一次, 说明总钱数是 10 的奇数倍 数根据常识,只有个位数是 4,或者 6 才是十位数是奇数,那么个位数都是 6 说明 最后剩下 6 元 乙应该给甲 10-(10+6)/2=2 元

6. 自然数 A、B、C、D 的和为 90,已知 A 加上 2、B 减去 2、C 乘以 2、D 除以 2 之后所得 的结果相同。则 B 等于: A.26 B.24 C.28 D.22 ―――――――――――――――――― 【天字一号解析】 结果相同,我们可以逆推出 A,B,C,D 假设这个变化之后四个数都是 M 那么 A=M-2 B=M+2 C=M/2 D=2M A+B+C+D=90=4.5M M=20,则 B=20+2=22

7. 自然数 P 满足下列条件:P 除以 10 的余数为 9,P 除以 9 的余数为 8,P 除以 8 的余数为 7。如果:100<P<1000,则这样的 P 有几个?

A、不存在 B、1 个 C、2 个 D、3 个 -----------------------------------------【天字一号解析】 根据题目的条件我们看 P=10X+9=10(X+1)-1 P=9Y+8=9(Y+1)-1 P=8Z+7=8(Z+1)-1 这样我们就发现了 P+1 就是 8,9,10 的公倍数 我们知道 8,9,10 的最小公倍数是 360 则 100~1000 内有 2 个这样的公倍数。 所以满足条件的 P 就是 360-1=359, 或者 720-1=719

8. 三个连续的自然数的乘积比 M 的立方少 M,则这三个自然数的和比 M 大多少() A 2M B4M C 6M D 8M ―――――――――――――――― 【天字一号解析】 方法一:特例法你可以随便找 3 个连续自然数试试看, 例如 1×2×3=6 比 6 稍大的立方数是 8 即 2^3=8 8-6 刚好是 2 所以说明 M=2, 那么我们看 1+2+3=6 6-M=4 可见是 2M 方法二: 平方差公式: 我们假设这三个连续自然数中间的数字是 a,那么 这三个数字分别是, a-1,a,a+1 乘积是 a×(a-1)×(a+1)=a×(a^2-1)=a^3-a 跟题目说的比 M^3 少 M 条件对比 我们发现 M 就是 a 再看 (a-1)+a+(a-1)=3a =3M 可见 答案就是 2M

9. 一个 7×7 共计 49 个小正方形组成的大正方形中,分别填上 1~49 这 49 个自然数。每个 数字只能填 1 次。使得横向 7 条线,纵向 7 跳线,两个对角线的共计 16 条线上的数字和相 等!则其中一个对角线的 7 个数字之和是() A 175 B 180 C 195 D 210 ――――――――――――――――――――――――――

【天字一号解析】 这个题目猛一看好复杂,其实仔细看看就会发现端倪。虽然看上去像是一个幻方问题 或者 类似于九宫图,但是这里并不是让你关注这个。 49 个数字全部填入, 满足条件后,我们发现横向有 7 条线 产生 7 个结果 并且相等。那么 这个 7 个结果的和 就是这 7 条线上的所有数字之和, 很明显就发现了 就是 1~49 个数字之 和了 ,根据等差数列求和公式: (首项+尾项)×项数/2=总和 (1+49)×49/2=25×49 则每条线的和是 25×49/7=175 因为对角线和横线 7 条线的任意一条的和相同所以答案就是 175.

10. 把 1~100 这 100 个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从 1 开始,顺时针 方向,留 1,擦去 2,3,4,留 5,擦去 6,7,8……(每擦去 3 个数,留一个数) 。直到最后剩下的 一个数是多少? A、47 B、48 C、49 D、64 ---------------------- 【天字一号解析】 考察点:周期循环等比数列的问题 这个题目考到的可能性不是特别大,但是不排除。就只介绍规律吧。 主要是看间隔编号的个数。 如该题 间隔编号就是 1 个。例如 留 1 拿走 2,留 3 拿走 4,间 隔是 1: 以下公式是按照从去 1 开始的。 那么 公式是: 2/1×(A-2^n) 这是最后剩下的数字 2^n 表示 A 内最大的值 A 表示原始的 编号总数。 间隔是 2:3/2×(A-3^n) 间隔是 3:4/3×(A-4^n) 间隔是 4:5/4×(A-5^n) 特别注意的是:此题的 A 值不是随便定的 必须满足 A-1 要能够除以间隔编号数目。否则 最后的结果就是全部被拿走。 该题答案是: 按照公式 4/3×(100-4^3)=48 但是这是按照去 1 开始得如果是留 1 那么 答案是 48+1=49

11. 下列哪项能被 11 整除? A.937845678 B.235789453 C.436728839 D.867392267 -------------------------------------【天字一号解析】 9+7+4+6+8=34 3+8+5+7=23 34-23=11

所以 答案是 A 所有的奇数位置上的数之和-所有偶数位置上数字之和=11 的倍数 那么这个数就能被 11 整除。 这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律: (1) 1 与 0 的特性: 1 是任何整数的约数,即对于任何整数 a,总有 1|a. 0 是任何非零整数的倍数,a≠0,a 为整数,则 a|0. (2) 若一个整数的末位是 0、2、4、6 或 8,则这个数能被 2 整除。 (3) 若一个整数的数字和能被 3 整除,则这个整数能被 3 整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除,则这个数能被 4 整除。 (5) 若一个整数的末位是 0 或 5,则这个数能被 5 整除。 (6) 若一个整数能被 2 和 3 整除,则这个数能被 6 整除。 (7) 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的 2 倍,如果差是 7 的倍 数, 则原数能被 7 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数, 就需要继续上述 「截尾、 倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断 133 是否 7 的倍数的过程如 下:13-3×2=7,所以 133 是 7 的倍数;又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下:613 -9×2=595 , 59-5×2=49,所以 6139 是 7 的倍数,余类推。 (8)若一个整数的未尾三位数能被 8 整除,则这个数能被 8 整除。 (9)若一个整数的数字和能被 9 整除,则这个整数能被 9 整除。 (10)若一个整数的末位是 0,则这个数能被 10 整除。 (11) 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除, 则这个数能被 11 整除。 11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是 2 而 是 1! (12)若一个整数能被 3 和 4 整除,则这个数能被 12 整除。 (13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的 4 倍,如果差是 13 的 倍数, 则原数能被 13 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数, 就需要继续上述 「截 尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 (14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的 5 倍,如果差是 17 的 倍数, 则原数能被 17 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数, 就需要继续上述 「截 尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 (15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的 2 倍,如果差是 19 的 倍数, 则原数能被 19 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 19 的倍数, 就需要继续上述 「截 尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 (16) 若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除, 则这个数能被 17 整除。 (17) 若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除, 则这个数能被 19 整除。 (18)若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除,则这个数能被 23 整除

12. 甲乙二人分别从相距若干公里的 A、B 两地同时出发相向而行,相遇后各自继续前进,

甲又经 1 小时到达 B 地,乙又经 4 小时到达 A 地,甲走完全程用了几小时 A.2 B.3 C. 4 D.6 ――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目只要抓住固定不变的部分,不管他的时间怎么边速度比是不变的。 假设相遇时用了 a 小时 那么甲走了 a 小时的路程 乙需要 4 小时 根据速度比=时间的反比 则 V 甲:V 乙=4 :a 那么乙走了 a 小时的路程 甲走了 1 小时 还是根据速度比=时间的反比 则 V 甲:V 乙=a :1 即得到 4:a=a:1 a=2 所以答案是甲需要 1+2=3 小时走完全程!

13. 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 八个数字做成的八位数,共可做成______个。 A 2940 B 3040 C 3142 D 3144 ―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目 我在另外一个排列组合的帖子曾经讲过! 我们不妨先把这 8 个数字看作互不相同的数字,0 暂时也不考虑是否能够放在最高位 那么这组数字的排列就是 P(8,8),但是,事实上里面有 3 个 1,和 2 个 2,我们知道 3 个 1 我们在 P(8,8)中是把它作为不同的数字排列的, 现在相同了, 那我们就必须从 P(8,8)中扣除 3 个 1 的全排列 P(3,3)关键这里是怎么扣除呢? 记住因为全排列是分步完成的,我们知 道在排列组合中,分步相乘,分类相加。 可见必须通过除掉 P(3,3)才能去掉这部分重 复的数字形成的重复排列。 2 个 2 当然也是如此 所以不考虑 0 作为首位的情况是 P88/(P33×P22) 现在我们再来单独考虑 0 作为最高位的情况有多少种:P77/(P33×P22) 最后结果就是:P88/(P33×P22)-P77/(P33×P22)=2940

14. A、B、C 三本书,至少读过其中一本的有 20 人,读过 A 书的有 10 人,读过 B 书的有 12 人,读过 C 书的有 15 人,读过 A、B 两书的有 8 人,读过 B、C 两书的有 9 人,读过 A、C 两书的有 7 人。三本书全读过的有多少人?() A.5 B.7 C.9 D.无法计算 ――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目我是借鉴的“天使在唱歌”总结的公式组来解答。 根据题目的不同可以挑选其中的任

意 2 组或者 3 组公式答题。 先来介绍一下公式:

首先这里不考虑都不参与的元素 (1) A+B+T=总人数 (2) A+2B+3T=至少包含 1 种的总人数 (3) B+3T=至少包含 2 种的总人数 这里介绍一下 A、B、T 分别是什么 看图 A=x+y+z; B=a+b+c;T=三种都会或者都参加的人数 看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人?实际上是求 T 根据公式: (1) A+B+T=20 (2) A+2B+3T=10+12+15=37 (3) B+3T=8+9+7=24 (2)-(1)=B+2T=17 结合(3) 得到 T=24-17=7 人 15. 一个 9×11 个小矩形组成的大矩形一共有多少个矩形? A.2376 B.1188 C.2970 D.3200 ―――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目其实很简单,主要是善于抓住题目的关键。这个题目我们看 问有多少个矩形。并 不是我们认为的就是 9×11=99 个。 事实上上上下下, 左左右右可以由很多小的矩形组成新 的大一点的矩形。所以。这个题目看上去比较棘手。那么我们为何不从矩形的概念入手呢。 矩形是由横向 2 条平行线。纵向 2 条平行线相互垂直构成的。

知道这个我们就发现了解题的方法了, 9×11 的格子 说明是 10×12 条线。 所以我们任意在横向和纵向上各取 2 条线 就能构成一个矩形。 所以答案就是 C10 取 2×C12 取 2=2970

16. 一个布袋中有 35 个大小相同的球,其中白、红、黄三中颜色的球各 10 个,另有篮、绿 两种颜色的球分别是 3 个、2 个,试问一次至少取出多少个球才能保证取出的球中至少有 4 个是同一颜色? A、15 B、 16 C、17 D、14 ――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目是抽屉原理题目, 我们在解答抽屉原理题目的时候要学会先找到什么是抽屉。 抽屉 有几个?然后还得注意在给抽屉平均分配的时候,会不会出现抽屉个数减少等问题。 这个题目我们先找什么是抽屉。很明显 颜色就是抽屉。 共计 5 种颜色,我们就确定了 5 个抽屉。 每种颜色的抽屉容量是各不相同的,这就导致后面有可能出现抽屉减少的现象。 要求是至少保证取出的球是 4 个同一颜色的。 我们最接近的是给每个抽屉放 3 个。 3×5=15 但是请注意,绿色的抽屉容量只有 2,所以我们只能放 15-1=14 个。再放就必然导致前面 的 3 个抽屉的某一个达到 4 个同色了。 此题答案选 A

17. 22 头牛吃 33 公亩牧场的草,54 天可以吃尽,17 头牛吃同样牧场 28 公亩的草,84 天可 以吃尽。请问几头牛吃同样牧场 40 公亩的草,24 天吃尽?( ) A.50 B.46 C.38 D.35 ――――――――――――――― 【天字一号解析】 “牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。 至于其原始草量有多少 ?不是我们 关心的内容,为什么这么说,因为在我们计算的时候,实际上是根据差值求草长速度,那么 原有的草量在 2 种情况中都是一样, 差值的时候被相减抵消了。 有些题目可能面积不一样, 但是每亩地的原始草量确实一样的。 再看这个有面积的题目,其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的, 面积不一 样,但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。 根据这个 条件 1: (22×54)/33 这是每公亩的情况 条件 2: (17×84)/28 这是每公亩的情况 相减 (17×84)/28 -(22×54)/33=(84-54)×a a 表示每亩草长速度 解得 a=0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位 最后我们假设 x 头牛 24 天可以吃完 40 公亩草 那么挑选上面的一个情况拿过来做对比:

(22×54)/33-24x/40=(54-24)×0.5 即可解得 x=35 头牛

18. 甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点 离 A 地 4 千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距 B 地 3 千米处第 二次相遇,求两次相遇地点之间的距离 A、2 B、3 C、4 D、5 ―――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目是关于多次相遇问题的类型。我先介绍一下多次相遇问题的模型。 例如:有这样一个多次相遇问题的模型图 S……………M…………N……E SE 这段路程,甲从 S 出发,乙从 E 出发,甲乙两个人在 M 处第一次相遇了,相遇的时候我 们知道 甲行驶了 SM 的长度。甲乙路程之和是 SE 一个完整的路程。 N 点是第 2 次相遇的地点。我们发现 此时从第一次相遇的点 M 开始到第 2 次相遇的点 N。 甲走了 ME+EN,而乙在跟甲相同的时间下走了 MS+SN 我们再次发现:甲乙两者路程之和是 ME+EN+MS+SN=2SE 是 2 倍的全程。 你可以继续研究第 3 次相遇的情况。或者更多次。我们发现: 第一次相遇时,甲的路程或者乙的路程是 1 份的话。第 2 次相遇时 甲或者乙又行驶了 2 倍 的第一次的路程。 看上述题目:我们发现 第一次相遇距离 A 点 4 千米。那么我们知道 从 A 出发的甲是走了 4 千米, 相遇后 2 人继续行驶,在距离 B 点 3 千米处相遇。说明甲又走了 2×4=8 千米 画个图: A. 。 。 。 。 。 。4.。 。 。 。 。3.。 。 。 。 。B 我们发现甲从开始到最后的总路程就是 AB+3 也就是 3 倍的第一次的距离。 所以 AB=3×4-3=9 千米 那么两个相遇点之间的距离就是 9-4-3=2 千米。 选 A

19. 在一条马路上,小明骑车与小光同向而行,小明骑车速度是小光速度的 3 倍,每隔 10 分有一辆公共汽车超过小光,每隔 20 分有一辆公共汽车超过小明,如果公共汽车从始发站 每次间隔同样的时间发一辆车,那么相邻两车间隔多少分钟? A.45 B50 C.60 D.80 ――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 我们知道 间隔一顶的时间就有一辆公交车超过小光或者小明。说明他们之间构成了追击问 题。追击问题就是时间=路程差/速度差。 再看, 当汽车追上小光或者小明的时候, 下一辆公交车在哪里呢就是公交车发车间隔时间的 汽车距离。即发车间隔时间×汽车的速度。这就是汽车跟小光或者小明的路程差。

所以我们发现 小光被超过是 10 分钟,说明 V 车-V 小光=1/10 (1) 小明被超过是 20 分钟 说明 V 车-V 小明=1/20 (2) 我们要求间隔发车时间, 只要知道汽车的速度就可以知道间隔发车时间了因为我们这里的汽 车发车间隔距离都是单位 1. 上面得到了(1) , (2)两个推断。 同时我们知道小明的速度是小光的 3 倍 那么(1)×3-(2)=2 倍的汽车速度了 则汽车速度就是 (3/10-1/20)/2=1/8 则答案是 1/(1/8)=8 分钟。

20. 一只船从甲码头到乙码头往返一次共用 4 小时, 回来时顺水比去时每小时多行 12 千米, 因此后 2 小时比前 2 小时多行 18 千米。那么甲乙两个码头距离是多少千米? A、36 B、45 C、54 D、60 ―――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 前 2 小时是逆水,后 2 小时是部分逆水+顺水 如图: 0.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。逆水。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2(小时) 2.。 。 。逆水。 。 。X 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。顺水。 。 。 。 。 。 。 。4(小时) 我们知道后 2 小时比前 2 小时多行 18 千米 我们看 , 把部分逆水的跟前 2 个小时相互抵消, 其实后 2 个小时就是顺水部分比逆水多出 来的 18,我们知道顺水速度每小时比逆水速度多 12 千米。那么 18 千米需要多少小时? 所以 18/12=1.5 小时 就是顺水时间。即 X 到 4 小时之间的时间间隔。 从而知道逆水时间是 2.5 小时。时间比是 3:5 可见速度比是 5:3 差 2 个比例点 对应 12 千米 则顺水速度是 12/2×5=30 答案是 30×1.5=45

21. 某团体从甲地到乙地,甲、乙两地相距 100 千米,团体中一部分人乘车先行,余下的人 步行, 先坐车的人到途中某处下车步行, 汽车返回接先步行的那部分人, 全部人员同时到达。 已知步行速度为 8 千米/小时,汽车速度为 40 千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地 需要多少时间? A、5.5 小时 B、 5 小时 C、4.5 小时 D、4 小时 ----------------------------------【天字一号解析】 这个题目已经成为典型的形成模型问题了,这个团的人分 2 部分步行, 要得同时到达 那么 必然是步行的路程都相同,乘车的路程也相同。抓住这个我们就好办了! 根据题目条件, 我先给大家画个图 甲...............P.............................Q...............乙

图中:P 是汽车回来接先步行的人的地点 Q 是汽车把先乘车的人放下的地点。 那么我们可以看出,甲~P 是先步行的人步行的举例。Q~乙是先乘车的人步行的举例 甲~P=Q~乙 在根据相同时间内 路程之比=速度比=40:8=5:1 假设先步行的人步行的举例为 1 份, 那么汽车的行驶距离就是 5 份,我们发现 汽车走得路程是 甲~Q~P 这段距离是 5 份, 已知,甲~p=1 份, Q~乙=甲~P=1 份 那么全程就是 甲乙路程=(5+1+2)/2=4 份 则总路程分成 4 个单位 每个单位是 100/4=25 则以先乘车的人为例 计算时间是 75/40+25/8=5 小时 【总结】 这类汽车接送的问题 主要是抓住速度之比转换成路程之比, 进而将问题大大简化。 下面提供 3 道练习题目! 例一:100 名学生要到离校 33 千米处的少年宫活动.只有一辆能载 25 人的汽车,为了使全 体学生尽快地到达目的地, 他们决定采取步行与乘车相结合的办法. 已知学生步行速度为每 小时 5 千米,汽车速度为每小时 55 千米.要保证全体学生都尽快到达目的地,所需时间最 少是?

例二:有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学 校出发的同时,第二班学生开始步行;车到途中某处,让第一班学生下车步行,车立刻返回 接第二班学生上车并直接开往少年宫, 最终两个班的学生同时到达少年宫。 已知学生步行速 度为每小时 4 公里,载学生时车速每小时 40 公里,空车是 50 公里/小时,问第一班的学生 步行了全程的几分之几? A.1/7 B.1/6 C.3/4 D.2/5 例三:甲乙两班同时从学校去公园,甲步行每小时 4 千米,乙步行每小时 3 千米,学校有一 辆汽车,它的速度是每小时 48 千米,这辆汽车恰好只能做一个班的学生,为了使这两个班 学生在最短的时间内到达,那么甲与乙学生需要步行的距离之比是() 。 A、15:11B、17:22 C、19:24D、21:27

22. 从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数有()个? A.25 B.23 C.17 D.7 ―――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目我一般都是从问题提到的对象入手, 自然数的约数?我们知道, 求自然数约数无非 就是将这个自然数分解因式然后看构成的数字形成多少个不同的乘积。 那么这个自然数就可以表示为自然数=A×B A 和 B 都是这个自然数的因数,也就是约数。

很明显一般情况下自然数的约数都是成对出现的,如 12=2×6,12=3×4,12=1×12,2 和 6 是一对,3 和 4 是一对,1 和 12 是一对。既然是成对出现,那么这个自然数理论上说它的 约数应该是偶数个才对。现在是奇数个。 什么样的情况会导致它是奇数个约数呢? 我们发现只有当这个自然数种一对约数相等的时候,就会少了 1 个约数,即 A=B, 那么我 们就看出这个自然数是一个平方数! 360~630 之间的平方数可以这样确定, 我们知道 19 的平方是 361,25 的平方是 625,那 么 这样的自然数就是 19~25 共计 7 个自然数的平方值。

23. 王师傅加工一批零件,每天加工 20 个,可以提前 1 天完成。工作 4 天后,由于技术改 进,每天可多加工 5 个,结果提前 3 天完成,问, :这批零件有多少个? A 300 B280 C360 D270 ――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目我们可以通过比例法来解决。我们知道当 A=m×n 的时候 当 A 固定,m 和 n 就是成反比, 当 m 固定 A 和 n 就是成正比, 当 n 固定,A 和 m 也成正比 看这个题目,注意比较前后 2 种情况, 情况(1) :每天加工 20 个 提前 1 天 情况(2) :先工作 4 天(每天 20 个) ,以后每天是加工 25 个,可以前 3 天 我们发现两种情况对比 实际上情况(2)比情况(1)提前了 3-1=2 天 这 2 天是怎么节约出来的呢? 很明显是因为后面有部分工作每日工作效率提高了,所以那 部分所用时间缩短了 根据 4 天后剩下的总工作量固定。 时间之比=每日效率的反比=20:25=4:5 5-4=1 个比例点。即所提前的时间 2 天 ,1 个比例点是 2 天。说明每日工作 20 个所需时 间是对应的 5 个比例点就是 2×5=10 天, 意思就很清楚了,当工作 4 天后,如果不提高效 率,还是每天 20 个,那么需要 10 天时间 所以这个题目的总工作量是 20×(10+4)=280 个 此题描述比较烦琐, 但是比例法确实是一种快速解答问题的方法, 希望大家能够花点时间去 研究一下。

24. 某工作组有 12 名外国人,其中 6 人会说英语,5 人会说法语,5 人会说西班牙语;有 3 人即会 说英又会说法,有 2 人既会说法又会说西;有 2 人既会说西又会说英;有 1 人这三种语言都会说. 则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多: A1 B2 C3 D5 ――――――――――――---- 【天字一号解析】 在前面的有道题目种我们总结了几个公式: (1)A+B+T=总人数

(2)A+2B+3T=至少包含 1 种的总人数 (3)B+3T=至少包含 2 种的总人数 (4)T 是三者都会的 这里介绍一下 A、B、T 分别是什么 看图 A=只会 1 种的总人数; B=只会 2 种的总人数;T=三种都会或者都参加的人数 根据题目我们得到如下计算: (1)A+B+T+P=12 (P 表示一种都不会说的) (2)A+2B+3T=6+5+5=16 (3)B+3T=3+2+2=7 (4)T=1 我们可以很轻松的得到 B=4,A=5 T=1 那么 P=2 答案就是 A-P=5-2=3

25. 为了把 2008 年北京奥运会办成绿色奥运,全国各地都在加强环保,植树造林。某单位 计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树,现运回一批树苗,已知一条路的 长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米,若每隔 4 米栽一棵,则少 2754 棵;若每隔 5 米栽 一棵,则多 396 棵,则共有树苗:( ) A.8500 棵 B.12500 棵 C.12596 棵 D.13000 棵 ――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目是 2006 年的一道国考试题,题目看上去非常的烦琐复杂,还加上了植树问题。其 实这就考验我们如何能够化繁为简的能力,甚至有些数字更本可以不用。 我们先对题目进行分析。他提供给我们 2 种情况: 情况(1) :每隔 4 米栽 1 棵,则少 2754 棵 情况(2) :每隔 5 米栽 1 棵,则多 396 棵 我们知道这 2 条马路的总长度是固定不变的,我们可以通过这 2 种情况先求出总长度。 4 和 5 的最小公倍数是 20 米 也就是说 每 20 米情况(1)就要比情况(2)多栽 1 棵树。 那么这 2 种情况相差多少颗树 就说明有多少个 20 米。 据题意得 情况(1)跟情况(2)相差 2754+396=3150 棵树 说明总距离是 3150×20=63000 米 我们在回头拿出其中一种情况来分析,就选情况(2) 每隔 5 米栽 1 棵,还多出 396 棵,不考虑植树问题,我们先理论的计算一下。 63000/5+396=12996 棵 这个时候还需要小心我们必须注意 2 条马路是 4 个边 , 根据植树原理, 每个边要多出 1 棵 所 以答案应该是 12996+4=13000 棵

26. 一辆车从甲地开往乙地,如果提速 20%,可以比原定时间提前一小时到达。如果以原速

走 120 千米后,再将速度提高 25%,则可提前 40 分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米? A、240 B、270 C、250 D、300 ―――――――――――――――― 【天字一号解析】这个题目依然可以采用比例法来计算: 从第一句话我们看到 提速之后的速度比是 5:6 那么时间比就是 6:5 差 1 个比例点对应的是 1 小时。 所以可见原速度行驶的话就是 1×6=6 个小时了 再看原速度走了 120 千米。 剩下的路程 速度提高 25%, 那么提高后的速度比是 4:5, 那么剩下部分路程所需时间之比是 5:4 差 1 个比例点对应的就是 40 分钟 (2/3 小时) 那么可以得到如果是原始速度行驶 所需时间就是 5×2/3=10/3 小时。 前面我们知道原始速度行驶需要 6 小时。 后面部分需要 10/3 小时 则 120 千米需要 6- 10/3=8/3 小时 这个时候我们再看:8/3 走 120 千米,6 小时走多少千米呢 8/3:120=6:x x=270 千米。 27. 有一个四位数,它的 4 个数字相乘的积是质数,这样的四位数有多少个? A 4 个, B 8 个 C 16 个 ――――――――――――― D 32 个

【天字一号解析】 这个题目主要是抓住数字的特殊性质 结合其概念来作出有利于解答的判断。 我们发现四个数字之和是质数,从质数的概念除法,质数的约数只有 1 和它本身 由此我们可以肯定这四个数字中只出现 2 个不同的数字 就是 1 和一个质数。就是乘积。 可见这四个数字中有 3 个 1,另外一个是质数 个位数是质数的有,2,3,5,7 这四个。 根据排列组合从四个质数里面选出 1 个, 放入四位数种的任意一个位置。 可见答案是 C4,1×C4,1=16 个

28. 一队法国旅客乘坐汽车去旅游中国长城,要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车 乘了 22 人,结果剩下 1 人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分 乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳 32 人,求起初有()名旅客 A、507 B、497 人 C、529 人 D、485 人 ―――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目我觉得就是一个数字游戏,还是考察的质数概念问题。 还是看情况 情况(1) : 每辆车子 22 人,多出 1 人 情况(2) :开出 1 辆车子,刚好平均。 我们看 如果开出 1 辆车子 我们还是按照每辆车子 22 人 ,那么就多出 22+1=23 人 注意:23 人是质数

不能分解因式, 所以 所以 23 人如果要能被平均分配到剩下的车子上, 说明每辆车子只能再 添 1 人。 不能添 23 人因为车子的最大容量是 32 人 如果再添 23 人那就是 45 人超出容量了。 好,分析到这里我们就知道 开走 1 辆车子 还剩下 23 辆 刚好每辆 1 人。 所以原来是 24 辆车子。 那么总人数就是 22×24+1=529 人

29. 如果 2 斤油可换 5 斤肉,7 斤肉可换 12 斤鱼,10 斤鱼可换 21 斤豆,那么 27 斤豆可换 ( )油。 A.3 斤 B.4 斤 C.5 斤 D.6 斤 ―――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目看上去很好玩,就好像古代尚未有钱币的时候商品的流通就是通过这样的等价交 换。 我们发现起始的油换肉。最重又回来了豆换油。形成了一个循环。 我们可以将兑换左边的物品放在一起,兑换右边的物品放在一起就构成了一个等式关系。 如: 2×7×10×27=5×12×21×A,这样很容易解答出 A=3 答案就是 A 了

30. 若干名家长 (爸爸或妈妈, 他们都不是老师) 和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛, 已知家长和老师共有 22 人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多 2 人,至少有 1 名男老师,那么在这 22 人中,爸爸有多少人? A. 3 B.4 C.5 D.6 ――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目除了总人数没有一个准确的数值, 而问题确实要求一个确切的数值, 由此我们可以 肯定这是一个完全符合极限法的题目,所以的数值只能有一个数值满足。 那么我们就开始按照极限法来假设。 总人数 22, (1)家长比老师多,那么家长至少 12 人 老师最多 10 人 (2)妈妈比爸爸多,那么说明妈妈至少 7 人,爸爸最多 5 人 (3)女老师比妈妈多 2 人 那么女老师至少 7+2=9 人, 因为老师最多 10 人。说明男老 师最多就是 1 人, (4)至少有 1 名男老师。 跟(3)得出的结论形成交集 就是男老师就是 1 名。 以上情况完全符合假设推断。 所以爸爸就是 5 人

31. 某路公共汽车,包括起点和终点共有 15 个车站,有一辆车除终点外,每一站上车的乘客

中,恰好有一位乘客到以后的每一站下车,为了使每位乘客都有座位,问这辆公共汽车最少要 有多少各座位? A53 B54 C55 D56 ―――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目实际上是寻找何时是峰值, 我们按照题目的要求, 所有的条件都是选择最小数字完 成,那么就符合题目的要最少需要安排多少个座位。 题目要求: 汽车驶出起始站 在后面的每站都有人下车,一直到最后一直站。那说明起始站 上车的最少人数应该是 14 人(确保每站都有一个人下车) 同理要的前面上车的人 后面每站都有 1 人下车,说明第 1 站上车的人 至少是 13 人。以此 类推。第 2 站是需要 12 人 ,第 3 站需要 11 人。。。。 我们看车子上面什么时候人数最多。 当上车人数>=下车人数的时候 车子上的人一直在增加。 知道相等 达到饱和 。 我们看到上车的人数从起始站开始,下车的人数也是从起始站开始。列举一下 起始站(上车):14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 起始站(下车):0 ,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,????.. 我们发现当上车人数=7 的时候下车人数也是 7 达到最大值 所以答案是 14+(13-1)+(12-2)+(11-3)+(10-4)+(9-5)+(8-6)=56 人

32. 自然数乘 1999,末尾 6 位数都是 9,是哪个数?( ) A .2001 B.2011 C.2111 D.20001 ――――――――――――― 【天字一号解析】 此题看上去貌似很复杂,其实还是我们常见的考察知识点 我们知道这个数末尾 6 个数字全是 9 ,如果这个数字+1,那么末尾 6 个数字应该都是 0 了

我们根据平方差公示 这个数的开方应该是 3 个 0 A^2-1=(A+1)*(A-1) 因为一个数字是 1999 只能是 A-1=1999 A=2000 那么另外一个数字就是 A+1=2001 选A

33. 参加会议的人两两都彼此握手,有人统计共握手 36 次,到会共有()人。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

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【天字一号解析】 每个人握手的次数是 N-1 次,N 人就握手了 N×(N-1)次 但是每 2 个人之间按照上述方 法计算重复了一次。 所以要除以 2, 即公式是 N×(N-1)÷2=36 这样 N=9 如果不理解。我们还可以这样考虑 假设这些人排成一排。 第一个人依次向排尾走去。一个一个的握手。第 2 个人跟着第一个 人也是这样。第一个人是 N-1 次。第 2 个人是 N-2 次 第 3 个人是 N-3 次 、、、、、、最后第 2 人是 1 次,最后一个人不动,所以他主动握手的次数是 0 次。 这样我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则 我在我的 45 题练习里面解析了关 于线段法则的运用情况 即总握手次数就是 1+2+3+4+5+、、、、、、+N-1 ×项数÷2 计算公式 就是(首项+尾项)

当然如果是这样的题目 你还可以通过排列组合计算 这么多人中 任意挑出 2 人即多少种就 有多少次握手: Cn 取 2=36 也就是 N×(N-1)÷2!=36 解得 N=9 这个只适用于

比较简单的握手游戏 取 2 如果 C 取值大于 2 则就不要用排列组合了,

例如这样一道例题: 某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻的 2 个人握手,整个 游戏一共握手 152 次, 请问这个班的同学有( )人 A、16 B、17 C、18 D、19 【天使在唱歌解析】 此题看上去是一个排列组合题, 但是却是使用的对角线的原理在解决此 题。按照排列组合假设总数为 X 人则 Cx 取 3=152 但是在计算 X 时却是相当的麻烦。 我们 仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握 x-3 次手。每个人都是这样。 则总共握了 x×(x-3)次手。但是没 2 个人之间的握手都重复计算了 1 次。则实际的握手 次数是 x×(x-3)÷2=152 计算的 x=19 人

34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上, 男孩每秒向上行走 2 个阶梯,女孩每 2 秒向上走 3 个阶梯。如果男孩用 40 秒到达,女孩用 50 秒到达,则当电梯停止时,可看到的扶梯级有: A 80 B 100 C 120 D 140 ―――――――――――――― 【天字一号解析】 关于电梯问题实际上也是一种行程问题, 而不是我们所理解的“牛吃草”问题: 但跟行程问 题却又很大的不同!下面就来说说其不同之处! 行程问题里面我们常见的有 2 种 一种是相遇问题:同时想向而行! 何时相遇的行程问题。 一种是追击问题:是一个人在另外一个人的前面,两个人同方向走。后面的人速度快,前面 人速度慢,什么时候能追上的问题。 我们先分析 2 种模型: (1): 人的方向跟电梯方向同向 ,当人在扶梯的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走,方向相同,我们发现虽然方向相 同,但是扶梯是帮助人往同一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数, 说明(人的速度+扶梯的速度)×时间=扶梯级数,这就好比行程问题里面的相遇问题。这 不过这里的方向是同向。 (2):人的方向跟电梯方向反向, 人本来是向上走的,但是扶梯的速度是向下的。行程了 反向, 人走的路程往往被扶梯同时间内出来的级数抵消一部分。 所以人的速度一定要大于扶 梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候,我们不难发现。其实就是(人的速度-扶梯的 速度) ×时间=扶梯级数。 这就好比行程问题里面的追击问题, 只不过这里的方向是相反 ! 我们再来分析例题:首先确定是同向。确定为相遇问题 速度和×时间=电梯级数 对于男生: (2+V 电梯)×40 对于女生: (1.5+V 电梯)×50 建立等式关系: (2+V 电梯)×40=(1.5+V 电梯)×50 解得 V 电梯=0.5 则电梯级数=2.5×40=100 或者 2×50=100

例如我们在举例一个反向的例子: 【例题练习】:商场的自动扶梯匀速自上而下行驶,两个孩子从下往上走,于是在行驶的扶 梯上,男孩每秒向上行走 2 个阶梯,女孩每 2 秒向上走 3 个阶梯。如果男孩用 50 秒到达, 女孩用 40 秒到达,则当电梯停止时,可看到的扶梯级有: A 80 B 100 C 120 D 140

35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水,甲杯盐水重120克,乙杯盐水重80克.现在从两杯 倒出等量的盐水,分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐 水是多少克?

A 24 B 48 C 32 D 16 ―――――――――――――――― 【天字一号解析】 公式: mn/(m+n)=120*80/(120+80)=48 公式的由来是通过 2 个十字交叉法得到的 你假设交换的部分是 a 克盐水 假设 120 克的盐水浓度是 P1, 80 克的盐水浓度是 P2, 交换混合后相同的浓度是 P 那么对于 120 克的盐水来讲建立十字交叉法 120-a(P1) P a(P2) P1-P P-P2

我们得到 (120-a):a=(P-P2):(P1-P) 那么对于 80 克的盐水来讲建立十字交叉法 80-a(P2) P1-P P a(P1) P-P2 我们得到 (80-a):a=(P1-P):(P-P2) 根据这 2 个比例的右边部分我们可以得到 (120-a):a=a:(80-a) 化简得到 a=120×80/(120+80) 说明跟各自的浓度无关!

补充方法: 因为 2 种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将 2 种溶液直接混合,在按照比例分开 成 2 部分。所以我们假设交换了 a 克 a 克相对于 120 克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质量也是同一比例。即 (120-a)/a=120/80 a=48 克 或者 (80-a)/a=80/120 a=48 克

36. 甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆 10 次时乙摇浆 8 次,而乙摇浆 70 次,所走的路 程等于甲摇浆 90 次所走的路程,现甲先摇浆 4 次,则乙摇浆多少次才能追上? A. 14 B.16 C.112 D.124

――――――――――――― 【天字一号解析】 这种类型的题目我们首先求出其速度! 甲摇浆 10 次时乙摇浆 8 次 知道甲乙频率之比=5:4 而乙摇浆 70 次,所走的路程等于甲摇浆 90 次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲: 乙=7:9 所以,我们来看 相同时间内甲乙得速度之比,5×7:4×9=35:36 说明,乙比甲多出 1 个比例单位 现在甲先划桨 4 次, 每浆距离是 7 个单位,乙每浆就是 9 个单位, 所以甲领先乙是 4×7 =28 个单位 而事实上乙每 4 浆才能追上 36-35=1 个单位,说明 28 个单位需要 28×4=112 浆次追上! 选C

37. 一个游泳者逆流游泳,在A桥遗失一只空水壶,水壶浮在水面,随水漂流.游泳者继续逆游 了1小时到达D桥,发觉水壶遗失,休息了12分钟再游回去找寻水壶,又游了1.05小 时后,在B桥找到了水壶.求A,D两桥的距离是A,B两桥距离的几倍. A.1.5 倍 B 4/3 倍 C 2倍 D 2.5 倍 ――――――――――― 【天字一号解析】 B。。。。。A。。。。。。。。。D 从 A 掉下是逆水行使到 D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间 1 小时,从 D 到 B 是顺水行 使,跟水壶的速度差也是静水速度。 所以追上水壶用时也应该是 1 小时。 但是因为中间休 息了 12 分钟,水壶还在飘向 B 所以才会延长了追上的时间延长了 1.05-1=0.05 小时 说明: 水壶速度:游泳者的静水速度=时间的反比=0.05 小时:12 分钟=1:4 AD=1 小时的逆水=(4-1)的水流速度 AB=(1+1.05+0.2)小时的水流速度=2.25 AD:AB=3/2.25=4/3

38. 机场上停着 10 架飞机,第一架起飞后,每隔 4 分钟就有一架飞机接着起飞,而在第一架飞 机起飞后 2 分钟, 又有一架飞机在机场上降落, 以后每隔 6 分钟就有一架飞机在机场上降落, 降落在飞机场上的飞机,又依次隔 4 分钟在原 10 架之后起飞。那么,从第一架飞机起飞之 后,经过多少分钟,机场上第一次没有飞机停留? A 104 B 108 C 112 D 116 ――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目类似于“青蛙跳井”问题, 我们不能直接求最终结果, 否则我们会忽略在临界点状 态的一些变化。 碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生, 发生时的状况怎么样。 这样才好判断。 例如“青蛙跳井”问题, 10 米深的井,青蛙每次跳 5 米 就会下滑 4 米。 问几次能够跳上 来。 这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳 5 米的时候刚好到井口! 也就是说我们只需研 究到青蛙跳到 10-5=5 米的地方,这里都是常规计算 (10-5)/(5-4)=5 次。最后一次的 时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。 同样这个题目很多人做出 116 分钟,其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是 当机场剩下 1 架飞机的时候 假设是 N 分钟剩下一架飞机! N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +(10-1) 为什么两边都+1 那是因为这是植树问题。 从 0 分钟开始计算的 所以要多加 1 次 解得 N=104 分钟 所以我们知道 104 分钟的时候是临界点 飞机场只有 1 架飞机没有起飞。 当 108 分钟的时候,飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在 110 分钟的时候, 所以从 108~110 这段时间是机场首次出现没有飞机的现象! 答案应该选 B 39. 某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分是 75,其中男选手比女选手人数多百 分之八十,而女选手比男选手的平均分高百分之二十,则女选手平均分是多少? A75 B 90 C70 D84 ――――――――――――――― 【天字一号解析】 方法一: 就这个题目你可以建立十字交叉法来解答 假设男生平均成绩是 a,女生 就是 1.2a 男生人数跟女生人数之比就是最终之比 1.8:1=9:5 男生: a 全班平均成绩(75) 女生:1.2a 75-a (5) 1.2a-75 (9)

根据交叉法得到的比例 (1.2a-75):(75-a)=9:5 解得 a=70。女生就是 1.2a=84 方法二: 根据十字交叉法的公式我们发现,0.2a 是多出来的平均值,这就是两者的差值. 根据我们上面衍生出来的公式 应该=最重比例之和 9+5=14 再乘以系数 M 0.2a=14M 得 a=70M 因为分数不可能超过 100 所以 M 只能=1,即 a=70,女生就是 1.2a=84

40. 甲车以每小时 160 千米的速度,乙车以每小时 20 千米的速度,在长为 210 千米的环形 公路上同时、 同地、 同向出发。 每当甲车追上乙车一次, 甲车减速 1/3 , 而乙车则增速 1/3 。 问:在两车的速度刚好相等的时刻,它们共行驶了多少千米?( ) A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 ――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 像这样的行程问题,比例法是最佳的解答方法。 首先我们确定需要几次相遇速度相等 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等 160×(2/3)的 N 次方=20×(4/3)的 N 次方 N 代表了次数 解得 N=3 说明第三次相遇即达到速度相等 第一次相遇前: 开始时 速度是 160:20=8:1 用时都一样, 则路程之比=速度之比 =8:1 所以 8-1=1 圈对应的比例即 210 所以 2 人路程之和是 210÷7×(8+1)=270 第二次相遇前: 速度比是 甲:乙=4:1 用时都一样, 则路程之比=速度之比=4:1 所以 4-1=3 等于 1 圈的距离对应的比例 即 210 所以 这个阶段 2 人路程之和是 210÷3× (4+1)=350 第三次相遇前: 速度比是 甲:乙=2:1 用时都一样,则路程之比=速度之比=2:1 所以 2-1=1 对应的是 1 圈的比例 即 210 所以第 3 阶段 2 人路程之和 是 210÷1× (2+1) =630 则总路程是 270+350+630=1250

41. 有一辆自行车,前轮和后轮都是新的,并且可以互换,轮胎在前轮位置可以行驶 5000 千米,在后轮位置可以行驶 3000 千米,问使用两个新轮胎,这辆自行车最多可以行多远? A 4250 B 3000 C 4000 D 3750

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【天字一号解析】

这个题目主要是看单位内(1 千米)的消耗率,前轮是 1/5000, 后轮是 1/3000 单位内消耗 的总和是 1/5000+1/3000=4/7500, 因为两个轮子的消耗总量是 1+1=2,所以可以行使 2÷ 4 /7500=3750 千米

42. 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字的和,直到不能 写为止,如 257,1459 等等,这类数字有()个 A、45,B、60,C120,D、无数

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【天字一号解析】

此题主要把题目理解清楚,“直到不能为止” 这个是关键 例如: 123,1235,12358,这算一个数字,就是 12358, , 123 和 1235 还能继续往下 写 题目要求不能写为止,所以不符合题目要求, 不过我们也发现 其实我们只要去看前 2 位就可以, 就能区别于其他数字 因为前 2 位决定 后面的数字。 看看前 2 位的组合 10,11,12,13,。。。。。。17,18, 。。。。。。 60,61,62,63 70,71,72 80,81

90, 可见这是呈现一个等差数列规律 个数为 (1+9)×9÷ 2=45

43. 有一水池,单开 A 管 10 小时可注满,单开 B 管 12 小时可注满,开了两管 5 小时后, A 管坏了,只有 B 管继续工作,则注满一池水共用了多少小时?( ) A.8 B.9 C.6 D.10

【天字一号解析】

这个题目我拿出来说,是要引起大家重视的,主要是学会识别题目设置的障眼法,

如果我们按部就班的来做, 恐怕需要多费些时间。 所以我们在看完题目可以迅速的做一个思 考。

什么思考?

题目问: 则注满一池的水共用多少小时?我们知道乙全程都在参与。 所以实际上乙工作了多 少小时,就是我们最终要求的结果。

从工作的情况看,A 参与了 5 小时 则相当于 5/10=1/2 还剩下 1/2 这部分都是乙做的。 乙做 1/2 需要多少时间呢 12×1/2=6 小时 答案就是 6 小时

44. 五个人的体重之和是 423 斤,他们的体重都是整数,并且各不相同。则体重最轻的人 最重可能是() A80 B82 C84 D86

【天字一号解析】

这个题目跟一道分花的题目是“姊妹”题型!我把这个题目作为例题给大家练习

就本题来看。题目要求最轻的人最重是多少? 而且 5 个人的体重各不相同。也就是说,总 体重一定的情况下。数字大的尽可能和数字小的靠近 那样数字小的才会相对最重。

只有连续自然数满足这个条件。

我们看,5 个人的总重量是 423 斤, 根据连续自然数的特征,423/5=中间数(平均数)=8 4 余数是 3

那么我们知道这 5 个自然数的序列是 82,83,84,85,86 还剩下 3 斤不可能分配给最小的 几个人 否则他们就会跟后面的数字重复了 所以这 3 斤应该是分配给最重的几个人, 对轻者 无影响。答案就是 82 选 B

例题:现有鲜花 21 朵分给 5 人,若每个人分得的鲜花数目各不相同,则分得鲜花最多的人 至少分得()朵鲜花。

A.7

B.8

C、9 D.10

45. 有一项工程,甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好甲 用整数天完成;如果按乙、丙、甲次序轮做,比原计划多用 1/2 天完成;如果按丙、甲、乙

次序轮做,也比原计划多用 1/2 天完成。已知甲单独做用 10 天完成,且三个工程队的工作 效率各不相同,那么这项工程由甲、乙、丙三对合作要多少天可以完成? A.7 B.19/3 C.209/40 D.40/9

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【天字一号解析】

我们先把题目告诉我们的条件分类

(1)甲,乙,丙 甲整数天 (注意,甲收尾 刚好完成) (2)乙,丙,甲,多用 0.5 天 (剩余的部分给乙做,也是需要多做 0.5 天,即丙做.) (3)丙,甲,乙,多用 0.5 天。 (剩余的部分给丙做,也是需要多做 0.5 天,即甲做) 甲单独做 10 天完成,甲的工作效率是 1/10 看(3) 甲的 1/10 给丙做,丙需要 1 天 还得让甲做半天。 所以丙的效率是甲的一半。 即为 1/20 再看(2),1/10=乙+1/20×0.5 得到乙的效率是 3/40 合作需要 1/(1/10+3/40+1/20)=40/9 选 D

46. 某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组, 甲组每天能缝制 8 件上衣或 10 条裤子; 乙组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子; 丙组每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子; 丁组每天能缝制 6 件上衣或 7 条裤子。 现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子),则 7 天内这四个组最多可以缝 制衣服多少套) A 110 B 115 C 120 D125

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【天字一号解析】

主要我们采用的主要思路是:让善于做裤子的人做裤子,善于做上衣的人做上衣。这样才能 发挥各自的长处,保证最后的总数最大。相等的可以做机动的补差!进行微调! 综合系数是(8+9+7+6):(10+12+11+7)= 3:4 单独看 4 个人的系数是 4:5 大于综合系数 3:4 等于综合系数 7:11 小于综合系数 6:7 大于综合系数 则 甲,丁做衣服。 丙做裤子。 乙机动 7×(8+6)=98 11×7=77 多出 98-77=21 套衣服 机动乙根据自己的情况 需要一天 12+9 套裤子才能补上 9/(12-9)=3 需要各自 3 天的生 产(3 天衣服+3 天裤子)+1 天裤子 则答案是 衣服 98+3×9=125 裤子是 77+4×12=125

47. 五个瓶子都贴了标签,全部贴错的可能性有多少种? A6 B.12 C.26 ―――――――――――――――――― 【天字一号解析】 首先我们从简单的 1 封信开始 1 封: 不可能贴错 0种

D44

2 封: 贴错的情况是相互交换 1 种 3 封: 贴错的情况是 2 种 4 封: 贴错的情况是 9 种 5 封: 贴错的情况是 44 种

大家就像记住平方数一样记住就可以了, 一般如果考试考到 也就是查不到在 5 以内的情况。

好 我们接着对这些数字形成的数列进行归纳: 0,1,2,9,44 得到了这样一个递归公式: Sn=n×S(n-1)+(-1)^n Sn 表示 n 个贴错的情况种数 如 S1=0 S2=2×S1+(-1)^2=1 S3=3×S2+(-1)^3=2 S4=4×S3+(-1)^4=9 S5=5×S4+(-1)^5=44

48. 某书店得优惠政策,每次买书 200 元至 499.99 元优惠 5%, 每次买书 500 元以上 (含 500 元)优惠 10%,某顾客买了 3 次书,如果第一次于第二次合并买比分开买便宜 13.5 元,如 果三次合并买比三次分开买便宜 39.4。 已知第一次付款是第三次付款得 5/8, 求第二次买了 多少钱书? A115 B120 C125 D130 ――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 第一次与第二次购书的合价=13.5/5%=270

第三次购书优惠=39.4-270*10%=12.4 如果第三次购书原价=12.4/10%=124 则三次购书款=270+124=394, 不符合题意 所以第三次购书款应该是 200 以上的,即已经享受优惠。 则第三次购书原价=12.4/(10%-5%)=248 第一次书价=248*5/8=155 第二次书价=270-155=115

49. 电车公司维修站有7辆电车需要进行维修. 如果用一名工人维修着7辆车的修复时间分 别为12.17.8.18.23.30.14分钟.每辆电车每停开一分钟经济损失为1 1元. 现在由3名工人效率相等的维修电车, 各自独立工作。 要使经济损失减少到最小程度, 最少损失多少钱? A 2321 B 2156 C 1991 D 1859 ――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这是一道统筹问题,抓住题目的关键 :耗时多的放到最后 这样大家等待时间就少 A:8 17 30 耗时=8×3+17×2+30=88 B:12 18 耗时 12×2+18=42 C:14 23 耗时 14×2+23=51 总耗时=88+42+51=181 则费用是 181×11=1991

50. 1^2007+3^2007+5^2007+7^2007+9^2007 的值的个位数是() A、2 B、3 C、5 D、7

――――――――――――――― 【天字一号解析】 这里不再多说 给大家介绍一下我总结的规律 当某 2 个数的个位数之和是 10 的时候这 2 个数字的相同奇数次方的个位数和还是 10, 相同 的偶数次方的个位数相同。 举例: 4^4 跟 6^4: 4+6=10 那么他们的偶数次方个位数相同 4^4=256 6^6=个位数也 是6

4^5 和 6^5 次方 其个位数之和是 4+6=10

此题我们先分组 (1,9)(3,7)(5) 根据上述规律 其次方数是 2007 奇数次方。 那么其个位数之和是 10+10+5=25 则答案是选 C

51. 甲,乙,丙三个人共解出 20 道数学题,每人都解出了其中的 12 道题,每道题都有人解出.只 有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比 容易题多( )题? A、6 B、5 C、4 D、3 ―――――――――――――――― 【天使在唱歌解析】 第三题需要结合文氏图来理解了,画图会很清楚的 http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9818850.html 第 14 题 我们设 A 表示难题,B 表示中档题目,T 表示简单题目 (1) :A+B+T=20 (2) :A+2B+3T=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的 将 (1)×2-(2)=A-T=4 这就是我们要求的难题比简单题目多出 4 可能很多人都说这个方法太耗时了,的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当你完全 了解和熟练运用:A+2B+3T 这个公式的时候,这个题目我在第一部分就有说明! 52. 甲夫妇邀请 乙丙两对夫妇来家做客,大家随意围坐在一个圆桌上用餐。请问每对夫妇 相邻而坐的概率是多大? A. 1/15 B.2/15 C1/5 D.4/15 ――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目我们必须先掌握一个基础知识 环形排列跟直线排列的区别。我们知道直线排列 例如 5 个人站成一排 有多少种方法 P55 =120, 但是如果问 5 个人围成一圈有多少种方法呢? 我们必须注意环形排列的特别之处, 环形 的开始也就是结束。首尾相连的。 所以没有绝对位置之分,只有相对位置。 所以第一个人 一般是作为参照物。不参与全排列。所以 5 个人围成一圈是 P44=24 种方法 再看这个题目。 先看 三对夫妇六个人全排列应该是 P55=120 种 满足条件的情况:我们我可以先将这三对夫妇捆绑 视为 3 个人 那么围成一桌的全排列是 P22=2 种,然后我们再对每对夫妇进行调换位置 那就是 2*2*2=2^3

所以满足情况的方法有 2×8=16 种 答案是 16/120=2/15 53. 一个袋里有四种不同颜色的小球, 每次摸出两个, 要保证有 10 次所摸的结果是一样的, 至少要摸多少次? A 55 B 87 C 41 D 91 ----------------------------【天字一号解析】 这个题目是一个典型的“抽屉原理”题目! 碰到抽屉原理类型的题目,我们首先需要去寻找什么是抽屉。其次是抽屉的个数。 当这些 都确定以后。我们可以根据题目提供的条件 对抽屉进行极限化分配。 什么是抽屉,题目中告诉我们 四种不同颜色的小球任意取 2 个小球组成的不同组合,这里 就是指不同颜色的搭配形成的组合 那么我们看 有多少个抽屉(组合)呢 4 种颜色的搭配应该是 分两种情况 (1) 不同颜色的组合: C(4,2)=6 (2) 相同颜色的组合: C(4,1)=4 很明显了 抽屉(组合)的种数就是 6+4=10 种 要的 10 次所摸的结果一样。最坏的情况就是每种组合都会摸到最大限度 最大限度就是 10-1=9 种 所以答案是 9×10+1=91 选 D

54. 已知连续四个自然数的积是 1680,这四个数的和是( ) A、22 B、24 C、26 D、28 -----------------------------【天字一号解析】 此题是个不错的题目,属于比较简单的题目。方法有 3 种。 方法一:分解因式法 1680=2×2×2×5×6×7 一目了然 这四个数是 5,6,7,8 和为 26。这个方法对于比较小的 数字适合。如果数字比较大的话。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合 数的情况,那么分解因式来解决此类型题目就更加困难。 方法二:数字特性法 这里告诉大家一个数字规律常识:连续四个自然数的乘积必是一个数的平方-1 数字概念特性 N 的平方=(N+1)×(N-1)+1 也就是说 一个数的平方=这个数的两 边数字乘积+1。根据这个我们可以确定 1681 是某个数字的平方=41 的平方 可以直接估 算出来。根据上述特性 1680=40×42 则结果出来了 42=6×7 40=5×8 方法三:排除法 根据选项我们发现最小的是 22,最大的是 28 连续四个自然数之和。大概是在 4~9 这个范 围内的某四个连续自然数,稍微试一试就出来了

55. 甲乙丙三人共同进货回来, 在平均分配的时候, 甲比丙多了 3 吨, 丙比乙少了 3 吨, 为 了公平起见,甲乙各自给了丙 12000 元。 则每吨货值( )元 A、4000 元 B、8000 元 C、16000 元 D、12000 元 ―――――――――――――― 【天字一号解析】 此题非常的好,这是一个参照物选择的问题。从题目表面看似乎就是甲乙跟丙的比较。其实 是三者跟平均数的比较。平均数才是这个题目的参照标准。如此题: 我们知道,甲乙比丙都多了 3 吨,则总共多了 3×2=6 吨。平均分给 3 个人。则每个人是 2 吨。相比原先多出 3 吨的情况,甲乙其实都是只比平均数多了 1 吨。公平起见。每个人都 应该分得平均数。 现在甲乙都是多拿了 1 吨, 则 每个人付出的 12000 元就是 1 吨货物的钱。 此题选 D 56.有 8 件产品,其中有 3 件是次品,能够恰好在第 5 次找出 3 件次品的概率是() A 3/28 B 1/8 C 1/7 D 3/56 ---------------------------【天字一号解析】 这个题目我们先看 8 件产品里面任意去 3 种次品的情况是多少种 C(8,3)=56 再看恰好是第 5 次找到 注意这句话的“恰好”这个词 一般情况是 第 5 次肯定就是最后第 3 个次品被找到 前面 4 种情况就出现了 2 个次品,所以是 C(4,2)=6 种 注意,这里还隐藏了一种情况,那就是前面 5 次都是好成品,没有次品。那么就可以确定 剩下的 3 个都是次品。 则第 5 次能够恰好找到次品的种数是 6+1=7 种 则概率是 7/56=1/8 57.某食堂有大、中、小三种碗共计 1060 只、按照规定,2 人一个小碗,3 人 2 个中碗,5 人 3 个大碗。某日中午该食堂开饭。所有碗都被用光。问此时来进餐的有( )人 A、480 B、600 C、640 D、720 ―――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目相对比较简单,我们先来介绍基础的方法 解法一: 根据食堂规定:2 人一个小碗,3 人 2 个中碗,5 人 3 个大碗 则表示 1 个人占用了 1/2 个小 碗,2/3 个中碗,3/5 个大碗 则一个人需要(1/2+2/3+3/5)=53/30 个碗。1060 个碗中有 1060÷ 53/30=600 个 说明就有 600 个人 解法二: 我们看 2,3,5 的最小公倍数是 30 ,那么我们看 30 人需要 30÷ 2=15 个小碗,30÷ 3×2= 20 个中碗,30÷ 5×3=18 个大碗。则 30 个人总共需要 15+20+18=53 个碗,1060 中有 多少 53 个碗 就有多少个 30 人,1060÷ 53=20 则总人数是 20×30=600 人

58-1. 某品牌啤酒可以用 3 个空瓶再换回 1 瓶啤酒,某人买回 10 瓶啤酒,则他最多可以 喝到()瓶啤酒? A 13 B 14 C 15 D16 58-2. 5 个空瓶可以换 1 瓶汽水,某班同学喝了 161 瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的 空瓶换的,那么他们至少要买汽水多少瓶? ――――――――――――― 【天字一号解析】 这 2 道题目是同属姐妹题。 58-1 这道题目 是通过 3 个空瓶去换 1 瓶啤酒。这里需要了解的是 存在酒瓶相差 1 个的 情况下可以借空瓶的说法。 3 空瓶=1 瓶酒 我们发现这换来的 1 瓶酒 也有一个酒瓶 实际 上我们发现是 2 个空瓶换了一瓶酒(不含瓶子) 而最重的结果也是不留任何空瓶全部兑换 出去了 所以我们实际上就是看 10 个空瓶可以换多少酒瓶里面的酒 10/2=5 瓶 答案就是 10+5=15 再看 58-2, 我们先知道了 总共喝了 161 瓶。 还知道空瓶换酒是 4 个空瓶换 1 瓶酒。假设原来是购买 了 a 瓶酒。根据上述推理 我们可以得到 a+a/(5-1)=161 解得 a=644/5=128.8 这里注意 因为存在借酒瓶的问题。所以碰到小数不管是多少 直接进一 所以答案是 129 或者你可以采用“求余反商”的方法 我们知道 5 个空瓶换一个。 那么实际上这个同学是喝掉了 161 个空瓶的汽水。 应该说 5 个空瓶跟换来的 1 瓶看作一组 就是 5+1=6 个瓶子。 我们看看这 161 里面有多少个 161/6=26 余数是 5 (26+5)/6=5 余数是 1 (5+1)/6=1 实际上就是多喝了 26+5+1=32 瓶 原来购买的就是 161-32=129 瓶! 59. 甲乙 2 人相约中午 12 点至 1 点钟见面,并约定“第一人到达后可以在等第二人 15 分钟 后不见人来就可离去。”假设他们都以各自设想的时间来到见面地点,则他们 2 人能见上面 的机率有多大? A.1/16; B.1/4; C.3/8; D.以上三者均不对 ――――――――――――――― 【天字一号解析】 我们先看这个图形:

我们可以将概率问题转换为计算图形面积问题。 x,y 坐标表示 2 个人等待的时间时刻。 中间部分构成的就是其相交的面积 真个面积 我们把一个单位看作 15 分钟, 那么整个面积就是 4×4=16 个单位。 其中相交 的部分就是中间斜着的部分 面积是 1×1+根号 2×3 根号 2=1+6=7 所以 概率是 7/16 60. 将 50 个苹果分成相同的 3 堆,每堆至少 1 个,有多少种分法? A 200 B 208 C 216 D 243 ---------------------【天字一号解析】 这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究 那么就是 C49 取 2=1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的, 这里是相 同的堆。所以计算重复了我们按照三个堆各不相同为标准,如果三个各不相同,那么插孔法 得到的结果就是 P33=6 种,但是这个题目里面插孔法得到的情况有些不是 6 种的,下面我 们就对这些不是 6 种的情况进行研究。 努力把这些情况恢复到 6 种, 事实上因为不去分 组,所以的 6 种情况都是一样的,所以除以 6 就是我们需要的结果 1,1,48 2,2,46, 3,3,44 4,4,42 .。 。 。 。 。 50/2=25 所以直到 24,24,2 这样的情况少算了 P33-P33/P22=3 次 所以一共少算了 24×3=72

按照标准情况来看应该是 1176+72=1248 种 所以我们每组都需要扣除 6 种情况变为 1 种 因为不区分组 所以答案是 1248/P33=208 种 例一:100 名学生要到离校 33 千米处的少年宫活动.只有一辆能载 25 人的汽车,为了使 全体学生尽快地到达目的地, 他们决定采取步行与乘车相结合的办法. 已知学生步行速度为 每小时 5 千米,汽车速度为每小时 55 千米.要保证全体学生都尽快到达目的地,所需时间 最少是? 解法 A...........P.....R.....C.....S.....T.....Q...........B AQPTRSC=AQ+QP+PT+TR+RS+SC=(55/5)*QB=11QB=11份 总共考虑全程的 6 倍 按例题思路 S1+(1/3+2)=2S (S1=AQ+QP) S2+(1/3+2/3+2*2/3)=2S (S2=PT+TR) S3+(2/3+1+2*1/3)=2S (S3=RS+SC) S1+S2+S3=11 份 11+(1/3+2)+(1/3+2/3+2*2/3)+(2/3+1+2*1/3)=6S 所以总路程 S=3 份 所以汽车走 2 份,人走 1 份 22/55+11/5=13/5 例二:有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学 校出发的同时,第二班学生开始步行;车到途中某处,让第一班学生下车步行,车立刻返回 接第二班学生上车并直接开往少年宫, 最终两个班的学生同时到达少年宫。 已知学生步行速 度为每小时 4 公里,载学生时车速每小时 40 公里,空车是 50 公里/小时,问第一班的学生 步行了全程的几分之几? A.1/7 B.1/6 C.3/4 D.2/5 解析 A.......P........Q..........B (40/5)QB<AQP<(50/5)QB 即 AQP 在10份到12份之间 又 AQP+1+2*1=2S(2倍全程) 所以13<2S<15 即6.5<S<7.5(省略单位均为份) 步行占全程就是1份/S 即应该在1/6.5 到 1/7.5 之间 所以为 1/7 例三:甲乙两班同时从学校去公园,甲步行每小时 4 千米,乙步行每小时 3 千米,学校有 一辆汽车,它的速度是每小时 48 千米,这辆汽车恰好只能做一个班的学生,为了使这两个 班学生在最短的时间内到达,那么甲与乙学生需要步行的距离之比是() 。 A、15:11B、17:22 C、19:24D、21:27

未按天自一号例题思路解析 引用别人的(方法来自 sunbbird) 个人觉得此方法用于变速的解题很好,恒速选天字一号方法很好 解答:先来画个全程图 A。 。 。 。 。 。P..............Q。 。 。 。 。 。B 假设甲班先坐车,A 为学校起点,B 为公园终点,Q 为甲班下汽车的地点,P 为汽车接乙班 的起点 那么 QB 为甲学生步行的距离,AP 为乙学生步行的距离 最短的时间内到达肯定是两个班同时到达终点 B 那么 AQ/V 车+QB/V 甲=AP/V 乙+PB/V 车 (AP+PQ)/48+QB/4=AP/3+(PQ+QB)/48 QB/4-QB/48=AP/3-AP/48 11QB/48=15AP/48 QB/AP=15/11 答案应该是 A 23. 王师傅加工一批零件,每天加工 20 个,可以提前 1 天完成。工作 4 天后,由于技术改 进,每天可多加工 5 个,结果提前 3 天完成,问, :这批零件有多少个? A 300 B280 C360 D270 解析: 设总零件为 X 个 根据前后两次天数一致列方程得: x/20+1=(x-20*4)/25+3+4(切记要+4,因为前面用了4天) 解方程得 x=280 24. 某工作组有 12 名外国人,其中 6 人会说英语,5 人会说法语,5 人会说西班牙语;有 3 人即 会说英又会说法,有 2 人既会说法又会说西;有 2 人既会说西又会说英;有 1 人这三种语言都会 说.则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多: A1 B2 C3 D5 解析,此方法没有天字一号的公式普用 但具体问题具体分析 可解析出每种具体人数 首先:三种都会:1人 只会两种: 只会英法:3-1=2 只会法西:2-1=1 只会西英:2-1=1 只会一种: 只会英:6-1-2-1=2 只会法:5-1-2-1=1 只会西:5-1-1-1=2 一种也不会:12-1-(2+1+1)-(2+1+2)=2 所以只会一种比一种不会多: 2+1+2-2=3 25. 为了把 2008 年北京奥运会办成绿色奥运,全国各地都在加强环保,植树造林。某单位 计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树,现运回一批树苗,已知一条路的

长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米,若每隔 4 米栽一棵,则少 2754 棵;若每隔 5 米 栽一棵,则多 396 棵,则共有树苗:( ) A.8500 棵 B.12500 棵 C.12596 棵 D.13000 棵 设距离为 S,树的树木为 x,根据题意列出方程组 [(3S+6000)/4+1]*4=x+2754 [(3S+6000)/5+1]*4=x-396 根据方程组,消去 S 可以得到: X=13000 一辆车从甲地开往乙地,如果提速 20%,可以比原定时间提前一小时到达。如果以原速走 120 千米后,再将速度提高 25%,则可提前 40 分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米? A、240 B、270 C、250 D、300 设速度为 x,距离为 S,根据两次情况可列方程组: S/(6x/5)=S/x-1;(1) 120/x+(S-120)/(5x/4)=S/x-2/3;(2) 由一式得 s/x=6 (3) 代 2 得 x=45 代入 3 得 s=270 天字一号其他题目暂时没啥补充了


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