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2012高二数学下学期期末考试试题4(含答案)


2012 高二数学下学期期末考试试题 4
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. ) 1.若方程 A. k ? ?1

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 1? k 1? k
B. k ? 1 C. ?1 ? k ? 1 D. k ? ?1 或 k ? 1

2.已知 a ? b = (2, 2, 2 3), a ? b = (0, 2, 0) ,则 cos<a, b > ? A.

6 3

B.

6 6

C.

1 3

D.

1 6

3.已知 M (3,0) 是圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 10 ? 0 内一点,过 M 点最长的弦所在的直线方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

4.以下三个命题:①分别在两个平面内的直线一定是异面直线;②过平面 ? 的一条斜线有 且只有一个平面与 ? 垂直;③垂直于同一个平面的两个平面平行.其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

5.已知二面角 ? ? l ? ? 为锐角,点 A ?? , A 到平面 ? 的距离 AH ? 2 3 , A 到棱 l 的距离

AB ? 4 ,则二面角 ? ? l ? ? 的大小为
A. 15? C. 60? B. 45? D. 30?

A

?
?

l

B H

? 6.已知平面 ? ? 平面 ? , m ? ? , n ? ? ,且直线 m 与 n 不平行.记平面 ?、 的距离为 d 1 ,
直线 m n 的距离为 d2 ,则 、 A. d1 ? d 2 B. d1 ? d 2 C. d1 ? d 2 D. d 1 与 d2 大小不确定

7.一动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8 x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则此动圆必过定点 B. (0, ?2) C. (0, 2) D. (2,0) _ ABC P E F BC CA 8.如图,在正四面体 P 中, D、 、 分别是 AB、 、 的中点, A. (4,0) 则下列四个结论中不成立的是 ... A. BC ? 平面 PDF C.平面 PDE ? 平面 ABC B. DF ? 平面 PAE D.平面 PAE ? 平面 ABC
第 1 页 共 10 页

A D

F E B

C

B C 9.已知球 O 的半径为 1, A、 、 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为
O 到平面 ABC 的距离为

?
2

,则球心

A.

3 3

B.

1 3

C.

2 3

D.

6 3

10. 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 面对角线 A1 B 上存在一点 P , 使得 AP ? D1P D1 C1 取得最小值,则此最小值为 B1 A1 2? 6 A.2 B. 2 D C P C. 2 ? 2 D. 2 ? 2 A B

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 11.已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球体的体积为 ________. 12.如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 3, AD1 ? 5, AB1 ? 7 ,则长方体的对角线 A

AC1 长等于 ________.
D1 A1 B1 D A B C B1 A1 C1 C1 B C

13.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均为 a ,则异面直线 BB1 与 A1C 的距离是 _______. 14.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 引直线交椭圆于 A、 两点,若 AB ? 7 ,则此直线的方程 B 16 12

为 _________. 15.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在侧面 CDD1C1 及其边界上运动,并且 总保持 B1P ? 平面 A1BD ,则动点 P 的轨迹的长度是 _________. D1 A1 B1 P A D B C
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C1

第Ⅱ卷
题号 答案 题号 答案 11 12 1 2 3 4

答 题 卡
5 6 7 8 9 10

13

14

15

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本题满分 12 分)已知方程 x2 ? y 2 ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m2 ) y ? 16m4 ? 9 ? 0 表示一个圆, 求圆心的轨迹方程.

17. (本题满分 12 分)正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 2 ,侧棱长为 2 ,M 是侧棱 PC 的 中点,求异面直线 AP 与 BM 所成角的大小.

P M

D
A B

C

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18. (本题满分 12 分)如图,空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , DE 是 AB 与 CD 的公垂线 段,且 AE ? BE ? DE . C AC ? BD ; (1)证明: (2)若 ?ACB ? 60? ,求直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小. A D E

B

19. (本题满分 12 分)已知椭圆 C1 的方程是

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的 4

左、右顶点,双曲线 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程;

??? ??? ? ? B 且 A?B (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C2 有两个不同的交点 A、 , O O ? 2( O 为原点) ,
求实数 k 的取值范围.

第 4 页 共 10 页

20. (本题满分 13 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面是边长为 2 的正方形, PA ? 底面 ABCD , M、 分别为 AD、 的中点, MQ ? PD 于 Q ,直线 PC 与平面 PBA 所成的角的 N BC

3 . 3 (1)求 PA 的长; (2)求二面角 P ? MN ? Q 的大小; (3)求点 M 到平面 PNQ 的距离.
正弦为

P

Q

A

M

D

B

N

C

第 5 页 共 10 页

21. (本题满分 14 分) 设 x1 、 x2 ? R,常数 a ? 0 .定义运算“ ? ” x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 . : (1)若 x ? 0, 求动点 P( x, x ? a ) 轨迹 C 的方程; (2)若 a ? 2 ,不过原点的直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 T、S,并且与(1)中轨迹 C 交于 不同的两点 P、Q , 试求

| ST | | ST | ? 的取值范围; | SP | | SQ |

(3)设 P( x, y) 是平面上的任一点,定义 d1 ( P ) ?

1 ( x ? x) ? ( y ? y ) 、 2

d 2 ( P) ?

1 ( x ? a ) ? ( x ? a ) . 若 在 ( 1 ) 中 轨 迹 C 上 存 在 不 同 的 两 点 A1 、 A2 , 使 得 2

d1( Ai ) ? ad2 ( Ai )(i ? 1,2) 成立,求实数 a 的取值范围.

第 6 页 共 10 页

高二上数学期末考试题(理)答案
1~5 DABBC 11. 36? 14. 3x ? 2 y ? 2 3 ? 0 6~10 BDCAC 12.3 13.

3 a 2

15. 2

16 解答:要使方程表示圆,则 4(m ? 3)2 ? 4(1 ? 4m2 )2 ? 4(16m4 ? 9) ? 0 .

?x ? m ? 3 1 整理得 7m2 ? 6m ? 1 ? 0 ,解得 ? ? m ? 1 .设圆心的坐标为 ( x, y ) ,则 ? , 2 7 ? y ? 4m ? 1
消去参数 m 可得, y ? 4( x ? 3)2 ?1 ,又? ? ? m ? 1, ? 故圆心的轨迹方程为 y ? 4( x ? 3)2 ?1(

1 7

20 ? x?4. 7

20 20 ? x ? 4) ,即 y ? 4 x2 ? 24 x ? 35( ? x ? 4) . 7 7

BD 17 解答:连结 AC、 交于 O 点,连结 MO .
由 MO ? PA 知, ?OMB 即为 PA 与 BM 所成的角.? P ? ABCD 是正四棱锥,
? PO ? 平面 ABCD .又 AC ? BD, ? PA ? BD, MO ? BD

Rt ?OMB 中, OM ? OB, OM ?

1 1 PA ? 1, BO ? BD ? 1,??OMB ? 45? 2 2

即异面直线 PA 与 BM 所成角的为 45? . 18 解答: (1)由已知 AB ? CD, DE ? CD 可得 CD ? 平面 ABD .又 ?ABD 中, AE ? BE ? DE , DE ? AB
第 7 页 共 10 页

C

A



D

知 AD ? BD, AD ? BD , 又 AD 为 AC 在平面 ABD 内的射影,? AC ? BD (2)连结 CE ,作 DH ? CE 于 H ,连结 BH . 由 AB ? DE , AB ? CD 知, AB ? 平面 CDE , 所以平面 ABC ? 平面 CDE ,又 DH ? CE ,?DH ? 平面 ABC 故 BD 与平面 ABC 所成的角为 ?DBH .
? Rt ?CAD ≌ Rt ?CBD , ? AC ? BC ,又 ?ACB ? 60? ,??ABC 为等边三角形.

3 1 2 a, DE ? a, BD ? a. 2 2 2 2 CD ? DE 6 a ,? DH ? ? a 在 Rt ?CDE 中, CD ? CE 2 ? DE 2 ? 2 CE 6 DH 3 3 ? 故在 Rt ?BDH 中, sin ?DBH ? ,故 BD 与平面 ABC 所成的角为 arcsin . BD 3 3
记 AB ? a ,则 CE ?

A 19 解答: (1)由题意知,椭圆焦点为 F1 (? 3,0)、 2 ( 3,0) ,顶点 A1 (?2,0)、 2 (2,0) . F
所以双曲线 C2 中, a ? 3, c ? 2, b ? 1,故双曲线 C2 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? 2 ?1 ? 3k 2 ? 0 ? ? 2 2 (2) 联立 ? 2 得,(1 ? 3k ) x ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 由题意知,? ? 2 2 2 ?x ? 3y ? 3 ?? ? 72k ? 36(1 ? 3k ) ? 0 ? ?
得 k 2 ? 1, k 2 ? ???????????????????????????????①? 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

1 3

6 2k ?9 , x1 ? x2 ? . 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

??? ??? ? ? ? y1 y2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ,由题 OA ? OB ? 2 ,
知 x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 ? 整理得 (k 2 ? 3)(3k 2 ? 1) ? 0 ? k 2 ? ( ,3)

?9(1 ? k 2 ) 12k 2 ? ?0, 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2


1 3

3 3 1 ) ? ( ,1) . 3 3 3 20 解答: (1)由 PA ? 底面 ABCD 知, PA ? BC ,又 BC ? AB, ? BC ? 平面 PAB .
由①②知, k 2 ? ( ,1) ,故 k 的取值范围是 (?1, ? 故 PC 与平面 PBA 所成的角的正弦为 sin ?BPC ?

BC 3 ? , PC 3

? PC ? 2 3, ? Rt?PAC 中 PA ? PC 2 ? AC 2 ? (2 3) 2 ? (2 2) 2 ,即 PA ? 2
第 8 页 共 10 页

N BC (2)由 M、 分别为 AD、 的中点,? MN ? AD ,又 PA ? MN ,所以 MN ? 平面 PAD ? MN ? MP, MN ? MQ ,故 ?PMQ 为二面角 P ? MN ? Q 的平面角.
由 MQ ? PD ,在 Rt ?PMQ 中, PM ? PA2 ? AM 2 ? 5 , MQ ? MD ? sin ?ADP ?

2 , 2

MQ 10 10 ? ,所以二面角 P ? MN ? Q 的大小为 arccos . PM 10 10 P (3)作 MH ? NQ 于 H 点,
故 cos ?PMQ ? 由 MN ? PD, MQ ? PD ,所以 PD ? 平面 MNQ

?平面 MNQ ? 平面 PNQ
又 MH ? NQ ,?MH ? 平面 PNQ 点 M 到平面 PNQ 的距离即为 MH .

Q

A

M

D H

2 3 2 , NQ ? 在 Rt ???Q 中, MN ? 2, MQ ? 2 2 B MN ? MQ 2 2 MH ? ? ,即点 M 到平面 PNQ 的距离为 . NQ 3 3
21 解答: (1)设 y ?

N

C

x ? a ? ( x ? a ) 2 ? ( x ? a ) 2 ? 4ax ,

又由 y ? 4ax ? 0 ,可得动点 P( x, x ? a ) 轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4ax( y ? 0) .

c (2)由题得 y ? 8x( y ? 0) ,设直线 l : x ? my ? c , 依题意 m ? 0、 ? 0 ,则 T (c, 0) .
2

S、 、 、 都在直线 l 上,则 T P Q

| ST | | ST | | 0 ? c | |0?c| 1 1 ? ? ? ?| c | ( ? ). | SP | | SQ | | xP ? 0 | | xQ ? 0 | | xP | | xQ |

由题, c ? 0, xP ? 0, xQ ? 0 ,∴

?c( xP ? xQ ) | ST | | ST | 1 1 ? ? ?c ? ( ? ) ? | SP | | SQ | xP xQ xP ? xQ
y
2 2

? y2 ? 8x 由? ? x ? my ? c

消去 y 得, x ? (2c ? 8m ) x ? c ? 0 .
2

Q

?? ? ? 2c ? 8m2 ?? ? 4c 2 ? 32m2 (2m2 ? c) ? 0 ? ? ? ? xP ? xQ ? 2c ? 8m2 ? 0 ? 2 ? xP ? xQ ? c ? 0 ?

S T
O

P

1 ?c ? 0, ? m ? ? c 2
2

x

第 21 题(2)图

o

代入 xP ? xQ ? 2c ? 8m2 , xP ? xQ ? c2 得,

| ST | | ST | 8m2 ? ? ?2 ? | SP | | SQ | c

第 9 页 共 10 页

又 m2 ? ? c, c ? 0 知, 即

1 2

8m 2 8m 2 m2 1 ? 4, ? 2 ? ?2 ? ? ,所以 ? c c c 2

| ST | | ST | 的取值范围是 (2, ? ?) . ? | SP | | SQ |
1 1 ( x ? x) ? ( y ? y ) ? x 2 ? y 2 , d 2 ( P) ? ( x ? a) ? ( x ? a) ? x ? a , 2 2
2 2 2 2 a x1 ? a 且 x2 ? y2 ? a x2 ? a

(3)由 d1 ( P) ?

设 A ( x1, y1 ), A2 ( x2 , y2 ) ,依题意则有, x1 ? y1 ? 1

2 2 又 y12 ? 4ax1, y2 ? 4ax2 ,即 x12 ? 4ax1 ? a x1 ? a 且 x2 ? 4ax2 ? a x2 ? a ,

故方程 x2 ? 4ax ? a x ? a 在 x ? ?0, ? ? ? 有两个不等的实数解. 平方整理有, (a ? 1) x2 ? (2a2 ? 4a) x ? a3 ? 0 在 x ? ?0, ? ? ? 有两个不等的实数解.
? ? ? ? (2a 2 ? 4a ) 2 ? 4a 3 ( a ? 1) ? 0 ? 2a 2 ? 4a ? 又 a ? 0 ,得 a ? 1 . ? ? x1 ? x2 ? ?0 a ?1 ? ? a3 ?0 ? x1 ? x2 ? a ?1 ?

故实数 a 的取值范围是 (1, ? ?) .

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