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高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》2.3.2.1抛物线的几何性质


一、温故知新

问题1:抛物线的定义是?
平面内与一个定点F和一 条定直线l的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线 .定点F叫 做抛物线的焦点;定直线l 叫 做抛物线准线.

l

y

P

o

F(

p ,0 ) 2


x

问题2:抛物线的标准方程有哪几种形式?
l

图 y
O



标准方程

焦点坐标

准线方程

F
l
O

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

p ( , 0) 2
p (? ,0) 2 p (0 ,) 2 p (0 ? ) , 2

p x?? 2
p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y
F

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

二、探索新知:抛物线的几何性质
y

1、

范围

由抛物线y2 =2px(p>0) 有 2 px ? y ? 0
2

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增 大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

??0 x

p?0

o

p F ( ,0 ) 2

x

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y )

对称

( x, ? y)
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与 它的对轴的交点叫做 抛物线的顶点。

?

o

y2

= 2px (p>0)中,

p F ( ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0. 即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

归纳:抛物线的几何性质
图形 y 标准 方程 x y 焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 轴
x≥0

顶点 离心 坐标 率

o
o
y

x轴 (0,0) e=1

x

x≤0

x轴 (0,0) e=1

y≥0

o o
y

x x
y≤0

y轴 (0,0) e=1

y轴 (0,0) e=1

特点:
4 3

y2=4x

y2=2x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=x 1 y 限延伸,但它没有渐近线; y2= x
2 1

2.抛物线只有一条对称轴,没有
-2 2 4 -1

2

6

8

10

P(x,y)

对称中心;

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

o

p F ( ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线;
-5

4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

通过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O

P ( x 0 , y0 )
F
x

通径的长度:2P

P越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫

做抛物线的焦半径。
焦半径公式:|PF|=x0+p/2

三、典例精析

坐标轴

例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(2, 2 2),求它的标准方程. ?

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, 2 2 ), ?
2

所以设方程为: y ? 2 px 又因为点M在抛物线上: 所以:?2 (
2

( p ? 0)

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2 因此所求抛物线标准方程为:2 ? 4 x y

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论.

例2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴, 抛物线上一点 ? -5,y 0 ? 到焦点的距离是6,求 抛物线的方程.
解:依题意可设抛物线的方程为y ? ?2 px,
2

p ? p ? 焦点F ? - , 0 ? , 准线方程为x= 2 ? 2 ? p 则5+ =6 2 所以p=2 所以抛物线的方程为y ? ?4x
2

例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分(如 图),光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直 径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点 位置.

解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角 坐标系,使反光镜的顶点(抛物线的顶点)与原点 重合,x轴垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).由已知可得 点A的坐标为(40,30),代入方程得

302=2p×40,解得p=

45 4

所以所求抛物线的标准方程为y2=
45 焦点坐标为( ,0) 8

45 2

x,

四、课堂练习 1 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦 点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线通径长 16 是 . 2已知点A(-2,3)与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 4 的焦点的距离是5,则p=————
2

3.抛物线

的弦AB垂直x轴,若 y ? 4x
2

|AB|= 4 3 ,则焦点到AB的距离————

2

五、归纳总结

1、知识小结:抛物线的性质和椭圆与双曲 线比较起来,差别较大:它的离心率等于1;它 只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条 准线;没有对称中心;没有渐近线。抛物线的 通径为2P, 2p越大,抛物线的张口越大.
2、方法小结:利用类比的方法学习了抛 物线的几何性质;注意数形结合的应用。

六、作业布置

书67页第6题,第8题
练习册36-38页


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