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1.2.4函数的表示法(二)(教案)(课堂实录)


1.2.4 函数的表示法(二)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)能根据不同情境,选用恰当的方法,求出已知函数的解析式; (2)会利用函数的图象求函数值域. 2.过程与方法 (1)经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程,熟练掌握求解析式的基本题型及 方法; (2)在运用函数图象求函数值域的过程,体会数形结合思想. 3.情感、态度与价值观 在学习过程中进一步体会发现

规律,应用规律的学习乐趣,从而提高学习数学的兴趣, 提高学生的求知欲. (二)教学重点与难点 重点:求函数解析式的基本题型及方法. 难点:函数图象的应用. (三)教学方法 指导启发式学习法,通过自我尝试与实践,获得知识,形成技能,通过老师的合理恰当 的指导启发,克服学习障碍;学会突破难点,调整和寻找最佳解题方案. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 师生合作总结上节课的基本知识 函数的表示法有三种:解析式、 及基本方法. 复习回顾 图象法、 列表法; 它们之间可相 复习回顾、 重新体会对于特殊函数可进行三 整合知识 互转化, 常见形式有: 解析式 ? 整合知识 种形式之间的互相转化. 图象法,解析式 ? 列表法. 师:分析实现不同形式的转化的意义. 例 1 (1)已知 f (x)是一 学习尝试练习求解,老师指导、点 次函数,且 f [f (x)] = 4x – 1,求 评. 师生合作归纳题型特点及适用方 f (x)及 f (2); 法. 1 x (2) 已知 f (1 ? ) ? , 例 1 解: (1)设 f (x) = ax + b (a≠ 2 x 1? x 0). 求 f (x)的解析式; 则 f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = 掌握求函 1 (3)已知 2 f ( ) ? f (x) = x a2x + ab + b. x 进入课题 数解析式 又 f [f (x)] = 4x – 1, (求函数解 (x≠0),求 f (x)的解析式; 的基本类 ∴a2x + ab + b = 4x – 1. 析式) 型及对应 (4) 已知 3f (x5) + f (–x5) = ? a ? 2, 2 ? a ? 4, 方法. ? ? ? 即? 1 4x,求 f (x)的解析式. ? a b ? b ? ? 1, ?b ? ? ,
? 3

或?

? a ? ?2, ?b ? 1.

∴f (x) = 2x – ,或 f (x) = –2x + 1.
3

1



f (2) ?

11 3

,或 f (2) = –3.
f (1 ? 1 x )

(2)解法一:∵ =
x 1? x
2

=

1 1 x ? x

=
(1 ?

1 1 x )?1?[ 1 x 1 ?1?1 ]



∴f (x) =

1 x ?1? 1 x ?1

=

x ?1 ( x ? 1) ? 1
2

=
x
1 x

x ?1
2

? 2x

.
? 1 t ?1

解法二:设 t = 1+ 又
f (1 ? 1 x ) ? x 1? x
1
2

,则 x

.





f (t ) ?

t ?1 1? (
t ?1

1 t ?1

)

2

= ∴

( t ? 1) ? 1
2

=
t

t ?1
2

? 2t



f (x) ? x

x ?1
2

? 2x

.
1 a )

(3) x = a (a≠0),则 2 f ( 令 a; 令x=
1 a

+ f (a) =

(a≠0),则
f( 1 a ) ? 1 a

2 f (a) +

.
2 3a ? a 3

联立上述两式得 f (a) = ∴f (x) =
2 3x ? x 3

.

(x≠0).

(4)令 x = a,或 x = –a,分别可得
?3 f (a ) ? f (? a ) ? 4a , ? ? 5 5 ?3 f (? a ) ? f (a ) ? ?4 a. ?
5 5

解之得 f (a5) = 2a.

又令 a5 = t, 例 2 设 f (x)是 R 上的函数, ∴ a ? 5 t , 且满足 f (0) = 1,并且对任意实 ∴f (t) = 2 5 t , 数 x, 有 f (x – y) = f (x) – y (2x ∴f (x) = 2 5 x . y, – y + 1),求 f (x)的表达式. 例 2 解: 法一: f (0) = 1, (x – y) 由 f = f (x) – y(2x+y+1). 设 x=y,得 f (0)= f (x)–x (2x–x+1). ∵f (0) = 1,∴f (x)–x (2x–x+1) = 1, ∴f (x) = x2 + x + 1. 法二:令 x = 0,得 f (0–y) = f (0) – y (–y + 1), 即 f (–y) = 1 – y (–y + 1). 又令–y = x 代入上式得 例 3 已知 f (x)为二次函数, f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 且 2 + x + 1. f (x+1)+f (x–1) = 2x –4x, 求 f (x)的表达式. 即 f (x) = x2 + x + 1. 小结:求解析式的基本方法: 例 3 解:设 f (x)=ax2+bx+c (a≠0), (1)待定系数法 则 f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – (2)换元法 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x. (3)配方法 (4)函数方程法.
? 2 a ? 2, ? a ? 1, ? ? ? ?b ? ?2, ∴ ? 2b ? ?4, ? ? ? 2 a ? 2c ? 0, ?c ? ?1.

∴f (x) = x2 – 2x – 1. 师生合作解析例 3、例 4. 师:反映实际问题的函数定义域怎样确 定? 生:解析式有意义和实际问题自身条件 确定. 例 4 解: 矩形的长 AB = 2x, 宽为 a, 例 4 用长为 l 的铁丝变成 则有 2x + 2a + ? x = l, 下部为矩形, 上部为半圆形的框 培养学生 l ? ∴a ? ? x ? x . 2 2 应用举例 架如图所示,若矩形底边长为 应用数学 (函数应用 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 半圆的直径为 2x,半径为 x,所以 知识, 解决 2 问题) 的函数关系式,并指出其定义 实际问题 ? x l ? y ? ?( ? x ? x ) ·2x 域. 的能力. 2 2 2 = ? (2 ? D 2x A B <
l 2??

?
2

)x

2

? lx



C

由实际意义得 ? 2

? ?l x ? x ? 0, ? ? ? 2 ? x ? 0, ?

0<x

.

即y
(0 m

? ? (2 ?

?
2

)x

2

? lx

,定义域为

1 2??

)

.

例 5 解:设票价为 y,里程为 x, 由题意可知, 自变量 x 的取值范围是(0, 例 5 某市“招手即停”公 20]. 共汽车的票价按下列规则制定: 由“招手即停”公共汽车票价的制 (1)5 公里以内(含 5 公 定规则,可得到以下函数解析式: 里) ,票价 2 元; ? 2, 0 ? x ? 5, (2) 公里以上, 5 每增加 5 ? ? 3, 5 ? x ? 1 0 , 公里,票价增加 1 元(不足 5 y ? ? ? 4, 1 0 ? x ? 1 5, 公里的按 5 公里计算). ? 5, 1 5 ? x ? 2 0 . ? 如果某条线路的总里程为 20 公 里, 请根据题意, 写出票价与里 根据这个函数解析式,可画出函数图 程之间的函数解析式, 并画出函 象,如下图. 数的图象. 我们把像例 4 这样的函数 称为分段函数.即在函数的定义 域内, 对于自变量 x 的值的不同 取值区间,有着不同的对应法 则,这样的函数通常叫分段函 数. 生活中, 有很多可以用分段 函数描述的实际问题, 如出租车 的计费、个人所得税纳税额等 等. 1.求函数解析式的方法: 换元法、 配方法、 待定系数 法、赋值法. 师生合作总结. 归纳总结 2. 求实际问题函数解析式,学生整理、小结,老师点评、归纳. 关键找具有因果关系的两个变 量的联系式. 课后作业 1.2 第四课时习案 学生独立完成

整合知识 形成技能.

巩固基础、 提高能力

备选例题
例1 经市场调查,某商品在近 100 天内,其销售量和价格均是时间 t 的函数,且销售
1 3 t? 109 3
f (t ) ? ? 1 2 t ? 52

量近似地满足关系 g (t) = ?

(t∈N*, 0<t≤100), 在前 40 天内价格为 f (t) =

1 4

t

+ 22(t

∈N*,0≤t≤40),在后 60 天内价格为 日销售额的最大值(近似到 1 元). 【解析】前 40 天内日销售额为:
S ? ( 1 4 t ? 2 2 )( ? 1 3 t? 109 3 )

(t∈N*,40<t≤100),求这种商品的

=?

1 12

t

2

?

7 4

t ? 779

1 3

∴S

? ?

1 12

( t ? 1 0 .5 ) ?
2

37849 48

后 60 天内日销售额为:
S ? (? 1 2 t ? 5 2 )( ? 1 3 ( t ? 1 0 6 .5 ) ?
2

t?

109 3 25 24

)

=

1 6

t

2

?

213 6

t?

5668 3

.

∴S

?

1 6

∴得函数关系式
1 37849 ? 2 ? ( t ? 1 0 .5 ) ? (0 ? t ? 4 0 且 t ? N *) ? ? 12 48 S ? ? ? 1 ( t ? 1 0 6 .5 ) 2 ? 2 5 ( 4 0 ? t ? 1 0 0 且 t ? N * ) ?6 24 ?

由上式可知:对于 0<t≤40 且 t∈N*,有当 t = 10 或 11 时,Smax≈809. 对于 40<t≤100 且 t∈N*,有当 t = 41 时,Smax = 714. 综上所述得:当 t = 10 或 11 时,Smax≈809. 答:第 10 天或 11 天日售额最大值为 809 元.


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