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1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系教案


1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题的相互关系

教学目标 1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念. 2.掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系,会用等价命题判断四种命题的真假. 教学重点与难点 重点: (1)会写四种命题并会判断命题的真假; (2)四种命题之间的相互关系. 难点: (1)命题的否定与否命题的区别

; (2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命 题; (3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假. 教学过程 定义1:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题 叫做原命题的逆命题. 定义2:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件 的否定和结论的否定, 那么我们把这样的两个命题叫做互否命题. 其中一个命题叫做原命题, 另一个命题叫做原命题的否命题. 定义3:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论 的否定和条件的否定, 那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题. 其中一个命题叫做原 命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题. 小结: (1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题就是它的逆命题: (2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题就是它的否命题; (3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题就是它的逆否命题. 强调:原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 5.四种命题的形式 原命题:若 P,则 q.则: 逆命题:若 q,则 P. 否命题:若¬P,则¬q. (说明符号“¬”的含义:符号“¬”叫做否定符号. “¬p”表示 p 的否定;即不是 p;非 p) 逆否命题:若¬q,则¬P. 6.巩固练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假: (1) 若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (2) 若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; 2 (3) 若 x =1,则 x=1; (4) 若整数 a 是素数,则是 a 奇数。 7.思考、分析 结合以上练习思考:原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系? 通过此问,学生将发现: ①原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③原命题为真,它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。 结合以上练习完成下列表格:
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原 命 题 真 假

逆 真

命 题

否 命 题 假 真

逆 否 命 题 真 假



由表格学生可以发现:原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,逆命题与否命题也 总是具有相同的真假性. 由此会引起我们的思考: 一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢? 让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系. 学生通过分析,将发现四种命题间的关系如下图所示:

8.总结归纳 若 P,则 q. 原命题 互 互 否 互 否命题 互 若¬P,则¬q. 逆 为 为 逆 逆 否 互 逆 否

若 q,则 P. 逆命题

互 否

逆否命题 若¬q,则¬P.

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个 命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题, 来间接地证明原命题为真命题.
9.例题分析 2 2 例 4: 证明:若 p + q =2,则 p + q ≤ 2. 分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。 2 2 将“若 p + q =2,则 p + q ≤ 2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考 2 2 虑证明它的逆否命题“若 p + q >2,则 p + q ≠2”为真命题,从而达到证明原命题为真 命题的目的. 证明:若 p + q >2,则 p + q
2 2 2


2

1 1 1 2 2 2 2 [ (p -q) +(p +q) ]≥ (p +q) > ×2 =2 2 2 2

所以 p + q ≠2. 这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。

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练习巩固:证明:若 a -b +2a-4b-3≠0,则 a-b≠1. 10:教学反思 (1)逆命题、否命题与逆否命题的概念; (2)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性; (3)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系; (4)原命题与它的逆否命题等价;否命题与逆命题等价. 11:作业 P9:习题 1.1A组第2、3、4题

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