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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十一节函数模型及其应用 理


第十一节 函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指 数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会 生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 知识梳理 1.几类函数模型及其增长差异. (1)几类函数模型. 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0) (2)三种增长型函数之间增长速度的比较. y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的单调性 单调________函数 单调________函数 单调________函数 图象的变化 随 x 值增大,图象与 ________轴接近平行 随 x 值增大,图象与 x 轴接近________ 随 n 值变化而不同 2.解函数应用问题的步骤. (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 第 1 页 共 6 页 以上过程用框图表示如下: 基础自测 1.f(x)=x ,g(x)=2 ,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进 行比较,下列选项中正确的是( ) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析:根据三种函数模型的增长速度可知,选项 B 正确. 答案:B 2.在一次数学试验中,运用图形计算器采集到如下一组数据: 2 x x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 ) 则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数)( x A.y=a+bx B.y=a+b C.y=ax +b 2 D.y=a+ b x 解析:由表格数据逐个验证知,模拟函数为 y=a+bx.故选 B. 答案:B 3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件 1 2 时的生产成本为 C(x)= x +2x+20(万元).一万件售价是 20 万元,为获取更大利润,该企 2 业一个月应生产该商品的数量为______万件. 第 2 页 共 6 页 1 解析:利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142,当 x=18 时,L(x)有最大值. 2 答案:18 4.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中, t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y =ae .若 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了 m 分钟后甲桶中的水只有 升,则 m 的值 8 为________. a 1 解析:令 =aent,即 =ent,① 8 8 1 5n 1 15n 又∵ =e ,故 =e ,② 2 8 比较①②知,t=15,∴m=15-

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