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1.2.1 任意角的三角函数(二)


1.2.1

任意角的三角函数(二)
回顾归纳 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时,要确定已知角的终边,再画线,同时 要分清所画线的方向,对于以后研究三角函数很有用处. 变式训练 1 如图在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的是( )

知识梳理 1.三角函数的定义域 函数的定义域是函数概念的三要素之一,对于三角函数的定义域要给予足够的重视,确定 三角函数的定义域时,应抓住分母等于零时比值无意义这一关键,因此需要注意,当且仅当角 的终边在坐标轴上时,点 P 的坐标中必有一个为零,结合三角函数的定义,可以得到三角函数 的定义域如下表. 三角函数 定义域 sin α cos α π ? ? ?α|α∈R,α≠kπ+ ,k∈Z? tan α 2 ? ? 2.三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段,线段的方向表示了三角函数值的正负,线段的 长度表示了三角函数值的绝对值.

A.正弦线 PM,正切线 A′T′ B.正弦线 MP,正切线 A′T′ C.正弦线 MP,正切线 AT D.正弦线 PM,正切线 AT 知识点二 例2 利用三角函数线比较大小

图示

π π 如果 <α< ,那么下列不等式成立的是( ) 4 2 A.cos α<sin α<tan α B.tan α<sin α<cos α C.sin α<cos α<tan α D.cos α<tan α<sin α 回顾归纳 利用三角函数线比较三角函数值的大小,一般先作出正弦线、余弦线比较大 小.然后作出正切线,一般与“1”进行比较. 变式训练 2 若 α 是第一象限角,则 sin α+cos α 的值与 1 的大小关系是( ) A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定 如上图,α 终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂 直 x 轴,有向线段______即为正弦线 如上图,有向线段______即为余弦线 如上图,过(1,0)作 x 轴的垂线,交 α 的终边或 α 终边的反向延长线于 T,有向线段______即为正切线 知识点三 例3 利用三角函数线求函数定义域

正弦线 余弦线 正切线

求函数 f(x)= 1-2cos x的定义域.

自主探究 如何利用三角函数线证明下面的不等式? π? 当 α∈? ?0,2?时,求证:sin α<α<tan α.

求函数 f(x)=ln?sin x-

?

2? 的定义域 2?

知识点一 例1

作出已知角的三角函数线

作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. π 17π 10π (1)- ;(2) ;(3) . 4 6 3

2? 定义域。 2? ? 回顾归纳 求三角函数定义域时,一般应转化为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三 角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时,先在单位圆中作出使每个不等式 成立的角的范围,再取公共部分. 变式训练 3 求函数 f(x)=lg(3-4sin2x)的定义域. 求 f(x)=

1-2cos x+ ln?sin x-

对三角函数线的理解

1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值,三角函数 线的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负,具体地说,正弦线、正切线 的方向同纵坐标轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横坐标轴一致,向右为正,向 左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象直观,为从几何途径 解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角 α 的三角函数线的画 法即先找到 P、M、T 点,再画出 MP、OM、AT. 注意三角函数线是有向线段,要分清始点和终点,字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小,同时它也是以 后学习三角函数的图象与性质的基础. 课时作业 一、选择题 1.角 α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么 α 的值为( π 3π 7π 3π 7π A. B. C. D. 或 4 4 4 4 4 1 2.在[0,2π]上,满足 sin x≥ 的 x 的取值范围为( ) 2 π π 5π A.[0, ] B.[ , ] 6 6 6 π 2π 5π C.[ , ] D.[ ,π] 6 3 6 3.sin 1、cos 1、tan 1 的大小关系为( ) A.sin 1>cos 1>tan 1 B.sin 1>tan 1>cos 1 C.tan 1>sin 1>cos 1 D.tan 1>cos 1>sin 1 3 1 4.若 0<α<2π,且 sin α< ,cos α> ,则角 α 的取值范围是( ) 2 2 π π? π? A.? B.? ?-3,3? ?0,3? 5π π? ?5π ? ? C.? D.? ? 3 ,2π? ?0,3?∪? 3 ,2π? 5.若 θ 是第二象限角,则( ) θ θ A.sin >0 B.cos <0 2 2 θ θ C.tan <1 D.tan >1 2 2 二、填空题 6.集合 A=[0,2π],B={α|sin α<cos α},则 A∩B= _____________________________________________________________________. 3 7.不等式 tan α+ >0 的解集是______________. 3 sin x cos x tan x 8.函数 y= + + 的值域是________. |sin x| |cos x| |tan x| 三、解答题 9.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 终边的范围,并由此写出角 α 的集合.

(1)sin α≥

3 ; 2

1 (2)cos α≤- . 2

θ θ θ 10.设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

)


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