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必修5 第二章 §2.5等比数列的前n项和(1)


高二数学 必修 5 第二章 § 2.5 等比数列的前 n 项和(1)
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(2014/9/24)

公式的推导方法三: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn ?1 = a1 ? q(Sn ? an ) .



学习目标
1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

( 1? q S )n ? a1 ? an q (结论同上)

试试:求等比数列

1 1 1 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P55 ~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?

※ 典型例题
例 1、已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

复习 2:前 n 项和 S n 与 a n 的关系是什么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”
变式 1、求 1+ 3+3+3 3+…+243 的值是

新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,? an ? 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ,公比为 q≠0, 公式的推导方法一: ?Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1 ? 则? ?qS ? ? n
? (1 ? q)Sn ?

变式 2、1+ a + a 2 + a 3 +?+ a n 的值为( ). 1 ? an 1 ? a n ?1 1 ? an? 2 A. B. C. D. 以上都不对 1? a 1? a 1? a 例 2、某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今 年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?

当 q ? 1 时, Sn ? 当 q=1 时, Sn ? 公式的推导方法二: 由等比数列的定义, 有



或 Sn ?



变式 3、一个球从 100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它第 10 次 着地时,共经过的路程是多少?(精确到 1m)
a a2 a3 ? ?? ? n ? q , a1 a2 an ?1

S ? a1 a2 ? a3 ? ? ? an S ? a1 ?q. ? n ? q ,即 n S n ? an a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? an

∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上)
1

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其 余的两个.

10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

课后作业 一、基础训练题
1 1 1.在等比数列{an}中 a1=8,q= ,an= ,则 Sn 等于( 2 2 A.31 31 B. 2 C.8 ) D.15 )

2.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,a5=-2,a8=16,则 S6 等于( 21 A. 8 21 B.- 8 ) C.255+127 2 17 C. 8

17 D.- 8

二、提高训练题
11.(2010 年高考天津卷)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 1 { }的前 5 项和为( ) an 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8 12.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5· a2n-5=22n(n≥3),则当 n≥1 时, log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 13.已知数列{an}是等比数列,其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,?).

3.1+ 2+2+2 2+?+128 的值是( A.128+64 2 B.128-64 2

D.255-127 2 )

S5 4.(2010 年高考浙江卷)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( S2 A.11 B.5 C.-8 D.-11 ) D.1

5.在等比数列{an}中,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 等于( A.3 B.-3 C.-1

6.设等比数列{an}的公比为 q(q≠1),则数列 a3,a6,a9,…,a3n,…的前 n 项和为( A.
2n a ( 1 1? q ) 1? q

)

B.

3n a ( 1 1? q ) 1 ? q3

C.

3 3n a ( 1 1? q ) 1 ? q3

D.

3n a ( 3 1? q ) 1 ? q3

7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4=__________.

8.等比数列{an}的公比 q>0.已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=__________. 9.在等比数列{an}中,a3=-12,前 3 项和 S3=-9,求公比 q.

2

必修 5 第二章
1、答案:B

§ 2.5 等比数列的前 n 项和(1)参考答案

?a1q4=-2, ? 2、解析:设公比为 q,由题意,得? 7 ? ?a1q =16, 1 解得 q=-2,a1=- . 8 a1?1-q6? 21 所以 S6= = . 8 1-q 答案:A

3、解析:数列的公差是 2 ,一共 15 项。 答案:C
5 S5 a1?1+2 ? 4、解析:由 8a2+a5=0,得 8a1q+a1q4=0,所以 q=-2,则 = =-11. S2 a1?1-22? 答案:D 5、解析:a4-a3=2(S3-S2),∴a4=3a3,∴q=3. 答案:A

6、解析:由于 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a3n ?

a31 ? q3n .故选 D. 1 ? q3

答案:D 7、解析:设等比数列的公比为 q,则由 S6=4S3 知 q≠1. 1-q6 4?1-q3? ∴S6= = .∴q3=3.∴a1q3=3. 1-q 1-q 答案:3 8、解析:∵{an}是等比数列, + - ∴an+2+an+1=6an 可化为 a1qn 1+a1qn=6a1qn 1, 2 ∴q +q-6=0.又∵q>0,∴q=2. 1 ?1-24? a1?1-q4? 2 15 ∴S4= = = . 2 1-q 1-2 15 答案: 2 9、解:法一:由已知可得方程组 ?a3=a1· q2=-12, ① ?
? 2 ? ?S3=a1?1+q+q ?=-9. ②

1 由于 a1≠0,故 2q2+q=0.又 q≠0,从而 q=- . 2 12 (2)由已知可得 a1-a1(- ) =3,故 a1=4. 2 1n 4[1-?- ? ] 2 8 1 从而 Sn= = [1-(- )n]. 1 3 2 1-?- ? 2 11、解析:选 C.若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2. 1-q 1-q 1 1 - - - 故 an=a1qn 1=2n 1, =( )n 1. an 2 1 1×[1-? ?5] 2 1 1 31 所以数列{ }是以 1 为首项, 为公比的等比数列,其前 5 项和为 S5= = . an 2 1 16 1- 2 12、解析:由 a5· a2n-5=22n(n≥3)得 an2=22n,又 an>0,则 an=2n, log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2,故选 C. 答案:C 13、(1)解 设等比数列{an}的公比为 q(q∈R), - 由 a7=a1q6=1,得 a1=q 6, - - 从而 a4=a1q3=q 3,a5=a1q4=q 2, -1 5 a6=a1q =q . 因为 a4,a5+1,a6 成等差数列, 所以 a4+a6=2(a5+1), - - - - - - 即 q 3+q 1=2(q 2+1),q 1(q 2+1)=2(q 2+1). 1 所以 q= . 2 1?n-1 - - - 故 an=a1qn 1=q 6· qn 1=64? ?2? . ?1-?1?n? 64 n ? ?2? ? a1?1-q ? ?1?n? (2)证明 Sn= = =128? ?1-?2? ?<128. 1 1-q 1- 2

1+q+q2 3 ②÷ ①得 = ,即 q2+4q+4=0. q2 4 所以 q=-2. 1 法二:a3,a2,a1 成等比数列且公比为 . q 13 a3[1-? ? ] q -12?q3-1? 所以 S3=a3+a2+a1= = 2 =-9. 1 q ?q-1? 1- q 所以 q2+4q+4=0,即(q+2)2=0. 所以 q=-2. 10、解:(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).

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