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山东省济宁市2014届高考第二次模拟考试理科数学试题及答案


2014 年高考模拟考试 数学(理工类)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县 区和科类填写在答题卡规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:如果事件 A、B 互斥,则 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 锥体的体积公式: V ? 如果事件 A、B 相互独立,则 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 为纯虚数,若 ? 2 ? i ? z ? a ? i (i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为 A. ?

1 2

B.2

C. ?2

D.

1 2
2

2.已知集合 A ? x ? R x ? 1 ? 2 , B ? x ? R x ? 4 ,则A ? B = A. ? ?1 , 2? B. ? ?1 , 2? C. ? 0, 2? D. ? ?2, 3?

?

?

?

?

3.已知具有线性相关的两个变量 x , y 之间的一组数据如下:

且回归方程是 y ? bx ? 3.6 ,则当 x ? 6 时, y 的预测值为 A.8.46 B.6.8 C.6.3 D.5.76
1

?3x ? y ? 13 ?2 x ? 3 y ? 18 ? 4.设变量 x , y 满足约束条件: ? , 则目标函数 z ? 5x ? 3 y 的最大值为 x ? 0 ? ? ?y ? 0
A.18 B.17 C.27 D.

65 3

5.已知函数 f ? x ? ? cos ? 2x ? ? ? 的图象沿 x 轴向左平移 图象,则“ ? ? ?

?
6

? 个单位后,得到函数 g ? x ? 的 12

”是“ g ? x ? 为偶函数”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.16 B.32 C.48 D.144 7.函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1gx 的图象大致是

8.向量 a ? ?1,2? , b ? ?1, ?? ? , 在区间 ? ?5,5? 上随机取一个数 ? , 使向量 2a ? b与a ? b 的 夹角为锐角的概率为 A.

1 2

B.

2 7

C.

3 4

D.

3 5

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,且双曲 a 2 b2
2

2 线的一条渐近线被圆 ? x ? 3 ? ? y ? 8 截得的弦长为 4,则此双曲线的渐近线方程为

A. y ? ?2 x

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

66 x 3

D. y ? ?2 6x

10.已知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? ?? , ? ? ,且函数 y ? f ? x ?1? 的图象关于直线 x ? 1
2

对称, 当 x ? ? 0, ? ?时,f ? x ? ? ? f ? ?

?? ? ? sin x ? ? ln x(其中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数). ?2?
? ? ? 9 ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ?
D. b ? c ? a

若a ? f ?

?

0.2

? , b ? f ? log 3? , c ? f ? log
?

1 3

A. b ? a ? c

B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
2 11.设随机变量 X 服从正态分布 N 1, ? ,若P ?1 ? X ? 2 ? ? p,则P ? X ? 0 ? = ▲ .

?

?

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果 s= ▲ 13. 若函数 y ? e? x 在点( 0 , 1 )处的切线为 l ,则由曲线

y ? e? x ,直线 x ? 1 ,切线 l 所围成封闭图形的面积为 ▲
14.设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1 ,若a x ? b y ? 3, a ? b ? 6 3 ,则

1 1 ? 的最大值为 ▲ x y
15. 对于三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? ,定义
3 2

f ?? ? x? 是y ? f ? x? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的导函数,若方程 f ?? ? x ? ? 0 有实数解 x0 ,则称
点 x0 , f ? ? x0 ? 为函数 y ? f ? x ? 的“拐点” ,可以证明,任何三次函数都有“拐点” ,任 何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,请你根据这一结论判断下列命题: ①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数; ②函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 3x ? 5 的对称中心也是函数 y ? tan
3 2

?

?

?
2

x 的一个对称中心;

③存在三次函数 h ? x ? , 方程 h? ? x ? ? 0 有实数解 x0 , 且点 x0 , h ? x0 ? 为函数 y ? h ? x ? 的 对称中心; ④若函数 g ? x ? ?

?

?

1 3 1 2 5 ? 2 ? ? 3 ? ? 2013 ? x ? x ? ,则g ? ?? g? ? ? ??? ? g ? ?? 3 2 12 ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?
3

?1006.5
其中正确命题的序号为 ▲ (把所有正确命题的序号都填上). 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? ? , 2cos x ? , n ? cos 2 x ? 3 sin 2 x,cos x ,记函数 f ? x ? ? m ? n . (I)求 f ? x ? 的最小正周期及单调减区间; (II)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ?

? 1 ? 2

? ?

?

?

?B? ? ? 1, b ? 3, c ? 2 , ?2?

求 sin A 的值. 17.(本小题满分 12 分) 袋子里有完全相同的 3 只红球和 4 只黑球,今从袋子里随机取球. (I)若有放回地取 3 次,每次取一个球,求取出 1 个红球 2 个黑球的概率; (II) 若无放回地取 3 次, 每次取一个球, 若取出每只红球得 2 分, 取出每只黑球得 1 分, 求得分 ? 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 12 分)

ABC 中,? ACB ? 30 , ? ABC ? 90 ,D 为 AC 中点, AE ? BD 于 E, 如图 1,在 Rt ?
延长 AE 交于 BC 于 F,将 ?ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BCD,如图 2 所示. (I)求证: AE ? 平面 BCD; (II)求二面角 A ? DC ? B 的余弦值; (III)已知点 M 在线段 AF 上,且 EM//平面 ADC,求

AM 的值. AF

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?bn ? 满足S n ? bn ?

n ? 13 ,其中 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. 2

(I)求证:数列 ?bn ? ? 是等比数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式;
4

? ?

1? 2?

(II)如果对任意 n ? N ,不等式
*

12k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 ? n ? 2Sn

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

a ? ln x ? a ? R ? . x

(I)求 f ? x ? 的最小值; (II)当 a ? 2 时,求证: ln ? n ? 1? ? 2 21.(本小题满分 14 分) 如 图 所 示 的 曲 线 C 由 曲 线 C1 :

? i ? 1 ? n ln ? 2e ? ? n ? N ? .
* i ?1

n

i

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? 和 曲 线 a 2 b2

3 1? ? 2 ,点 A、B 分 C2 : x2 ? y 2 ?a ?y ? 0? 组成,已知曲线 C1 过点 ? 3, ? ,离心率为 2 2? ?
别为曲线 C 与 x轴、y 轴的一个交点. (I)求曲线 C1和C2 的方程; (II) 若点 Q 是曲线 C2 上的任意一点, 求 ?QAB 面积的最大值及点 Q 的坐标; ( III ) 若 点 F 为 曲 线 C1 的 右 焦 点 , 直 线

l:y ? kx ? m 与曲线 C1 相切于点 M,且与直线

x?

4 3 交于点 N,过点 F 作 MN 的垂线,垂 3
2

足为 H,求证: FH

? MH ? HN .

5

6

7

8

9

10

11


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