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函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用


课时跟踪检测(二十一) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 π 1.设函数 y=3sin(2x+φ)(0<φ<π,x∈R)的图像关于直线 x= 对称,则 φ 等于( 3 π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

)

π 2.(2012· 潍坊模拟)将函数 y=cos 2x 的图像向右平移 个单位,得到函数 y=f(x)· x 的 sin 4 图像,则 f(x)的表达式可以是( A.f(x)=-2cos x C.f(x)= 2 sin 2x 2 ) B.f(x)=2cos x D.f(x)= 2 (sin 2x+cos 2x) 2

π 3.(2012· 天津高考)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移 个单位长度,所得图 4 3π 像经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是( ? ? 1 A. 3 B.1 5 C. 3 D.2 )

4.(2012· 海淀区期末练习)函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,φ∈R)的部分图 像如图所示,那么 f(0)=( 1 A.- 2 C.-1 ) B.- 3 2

D.- 3

5.(2012· 福州质检)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所 示,则函数 f(x)的一个单调递增区间是( 7π 5π A.?-12,12? ? ? π 7π C.?-12,12? ? ? ) 7π π B.?-12,-12? ? ? π 5π D.?-12,12? ? ?

6.(2012· 潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建 立如 图所示的坐标 系,设秒 针尖位 置 P(x, y).若初 始位置为 P0? 3 1? ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的 ? 2 ,2? ) π π B.y=sin?-60t-6? ? ? π π D.y=sin?-30t-3? ? ?

纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( π π A.y=sin?30t+6? ? ? π π C.y=sin?-30t+6? ? ?

π 7.(2012· 南京模拟)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y= ? ?

π f(x)的部分图像如图,则 f?24?=________. ? ? 8.(2012· 珠海模拟)某港口水的深度 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作 y= f(t),下面是某日水深的数据: t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似的看成函数 y=A sinωt+b 的图像,根据以上的数 据,可得函数 y=f(t)的近似表达式为________. 9.给出下列六种图像变换方法: 1 (1)图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ; 2 (2)图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; π (3)图像向右平移 个单位; 3 π (4)图像向左平移 个单位; 3 2π (5)图像向右平移 个单位; 3 2π (6)图像向左平移 个单位. 3 x π 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图像变换到函数 y=sin?2+3?的图像, ? ? 那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即 可). 10.(2012· 苏州模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周 π π π 期为 ,直线 x= 是其图像的一条对称轴,若 A>0,ω>0,0<φ< ,求函数的解析式. 2 3 2

π π 3 11.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4?= . ? ? ? ? 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图像.

x π x π 12.已知函数 f(x)=2 3sin?2+4?cos?2+4?-sin (x+π). ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像,求函数 g(x)在区间[0,π] 6 上的最大值和最小值.

π 1. (2012· 山西四校联考)将函数 y=cos x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度, 10 1 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( 2 π A.y=cos?2x-10? ? ? 1 π C.y=cos?2x-10? ? ? π B.y=cos?2x-5? ? ? 1 π D.y=cos?2x-20? ? ? )

2.电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0, π 1 0<φ< 的图像如图所示,则当 t= s 时,电流强度是( 2 100 A.-5A C.5 3A B.5A D.10A )

3.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺 庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成 本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物?





课时跟踪检测(二十一) A级 π π π 1.选 D 由题意知,2× +φ=kπ+ ,所以 φ=kπ- ,又 0<φ<π,故当 k=1 时,φ= 3 2 6 5π . 6 2.选 B π 平移后的函数解析式是 y=cos 2?x-4?=sin 2x=2sin xcos x,故函数 f(x)的表 ? ?

达式可以是 f(x)=2cos x. π 3.选 D 将函数 f(x)=sin ωx 的图像向右平移 个单位长度,得到的图像对应的函数解 4 π ωπ 3π ?3ωπ ωπ? 析式为 f(x)=sin ω?x-4?=sin?ωx- 4 ?.又因为函数图像过点? 4 ,0?, ? ? ? ? ? ? 所以 sin? 4 - 4 ?= ωπ ωπ sin =0,所以 =kπ,即 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 2. 2 2 π 4.选 C 由图可知,A=2,f?3?=2, ? ? 2π 2π ∴2sin? 3 +φ?=2,∴sin? 3 +φ?=1, ? ? ? ? ∴ 2π π π +φ= +2kπ(k∈Z),φ=- +2kπ(k∈Z), 3 2 6

π 1 ∴f(0)=2sin φ=2sin?-6+2kπ?=2×?-2?=-1. ? ? ? ? 1 2π 5π 5.选 D 由函数的图像可得 T= - ,∴T=π, 4 3 12 5π 则 ω=2,又图像过点?12,2?, ? ? 5π π ∴2sin?2×12+φ?=2,∴φ=- +2kπ,k∈Z, ? ? 3 π π 5π ∴f(x)=2sin?2x-3?,其单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z,取 k=0,即得选项 ? ? ? ? D.

π 6.选 C 由题意可得,函数的初相位是 ,排除 B、D.又函数周期是 60(秒)且秒针按顺 6 2π π π 时针旋转,即 T= =60,所以|ω|= ,即 ω=- . |ω| 30 30 7.解析: 由题中图像可知,此正切函数的半周期等于 3π π 2π π π - = = ,即周期为 ,所以, 8 8 8 4 2

3π 3π 3π ω=2.由题意可知,图像过定点? 8 ,0?,所以 0=Atan?2× 8 +φ?,即 +φ=kπ(k∈Z),所 ? ? ? ? 4 3π π π 以,φ=kπ- (k∈Z),又|φ|< ,所以,φ= .再由图像过定点(0,1),得 A=1.综上可知,f(x) 4 2 4 π π π π π =tan?2x+4?.故有 f?24?=tan?2×24+4?=tan = 3. ? ? ? ? ? ? 3 答案: 3 8.解析:从表可以看出,当 t=0 时,y=10,且函数的最小正周期 T=12, 2π π ∴b=10,由 =12 得 ω= . ω 6 由 t=3 时 y=13 得 π Asin +10=13,∴A=3. 2 ∴y=f(t)的近似表达式为 π y=3sin t+10. 6 π 答案:y=3sin t+10 6 π ?2? ?4? 9.解析:y=sin x― →y=sin?x+3?― → ― ? ? ― x π 2π x π 1 ?6? 1 ?2? y=sin?2+3?,或 y=sin x― →y=sin x― →y=sin ?x+ 3 ?=sin?2+3?. ― ― ? ? ? ? ? 2 2? 答案:(4)(2)(或(2)(6))
?A+n=4, ?A=2, ? ? 10.解:由题意可得? 解得? ? ? ?-A+n=0, ?n=2.

π 又因为函数的最小正周期为 , 2 2π 所以 ω= =4. π 2 π 由直线 x= 是一条对称轴可得 3 π π 4× +φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 5π π 故 φ=kπ- (k∈Z),又 0<φ< , 6 2

π 所以 φ= . 6 π 综上可得 y=2sin?4x+6?+2. ? ? 2π 11.解:(1)周期 T= =π,∴ω=2, ω π π π 3 π ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos +φ=-sin φ= ,∵- <φ<0, ? ? ? ? 2 2 2 π ∴φ=- . 3 π (2)∵f(x)=cos?2x-3?,列表如下: ? ? π 2x- 3 x f(x) 图像如图: - 0 1 2 π 3 0 π 6 1 π 2 5π 12 0 π 2π 3 -1 3π 2 11π 12 0 5π 3 π 1 2

π 3 1 12.解:(1)因为 f(x)= 3sin ?x+2? +sin x= 3cos x+sin x=2 cos x+ sin x= ? ? 2 2 π 2sin?x+3?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 π π π π ∴g(x)=f?x-6?=2sinx- + =2sin?x+6?. ? ? ? ? 6 3 π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+ ∈?6, 6 ?, ? 6 ? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3 π sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 当 x+ = ,即 x=π 时, 6 6

π 1 sin?x+6?=- ,g(x)取得最小值-1. ? ? 2 B级 π 1.选 A 依题意得,将函数 y=cos x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度, 10 π 1 得到的是函数 y=cos?x-10?的图像; 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), ? ? 2 π 所得图像的函数解析式是 y=cos?2x-10?. ? ? T 4 1 1 2.选 A 由函数图像知 A=10, = - = . 2 300 300 100 1 2π ∴T= = ,∴ω=100π. 50 ω ∴I=10sin(100πt+φ). 1 又∵点?300,10?在图像上, ? ? 1 ∴10=10sin?100π×300+φ?, ? ? π π π ∴ +φ= ,∴φ= , 3 2 6 π ∴I=10sin?100πt+6?. ? ? 1 当 t= 时, 100 1 π I=10sin?100π×100+6?=-5. ? ? 3.解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知 这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅 为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100,所以 f(8)=500.
?-A+B=100, ?A=200, ? ? 2π π 根据上述分析可得, =12,故 ω= ,且? 解得? ω 6 ? ? ?A+B=500, ?B=300.

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小, 当 x=8 时 f(x)最大, π 故 sin?2×6+φ?=-1, ? ? π 且 sin?8×6+φ?=1. ? ? 5π 又因为 0<|φ|<π,故 φ=- . 6 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

π 5π f(x)=200sin?6x- 6 ?+300. ? ? π 5π (2)由条件可知,200sin?6x- 6 ?+300≥400,化简,得 ? ? π 5π 1 π π 5π 5π sin?6x- 6 ?≥ ?2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z, ? ? 2 6 6 6 6 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N+,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.


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