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1.2.2 第一课时 函数的表示方法


1.2.2 函数的表示方法
第一课时 函数的三种表示方法

提出问题

1.从集合与对应的观点分析,函数的定义是什么?

2.函数有哪几种常用的表示法? 3.在日常生活中,我们会遇到许多函数问题,如何选 择适当的方式来表示问题中的函数关系呢?

知识探究: 函数的三种表示方法

某种笔记本的单价是5元,买x (x∈{1,2,3,4,5}) 个笔记本需要y元.试用适当的方式表示函数y=f(x).
思考1:该函数用解析法怎样表示? 提示: y

? 5 x, x ? {1, 2,3, 4,5}

思考2:该函数用列表法怎样表示?

笔记本数x 钱数y

1 5

2 10

3 15

4 20

5 25

思考3:该函数用图象法怎样表示? y 25 20 15 10 5 O

1

2

3

4

5

x

思考4:上述三种表示法各有什么特点?

下表是某校高一(4)班三位同学在高一学年度六次数学 测试的成绩及班级平均分表:
第一次
赵 阳 张 磊 王 琦 98 90 68

第二次
87 76 65

第三次
91 88 73

第四次
92 75 72

第五次
88 86 75

第六次
95 80 82

班平分

88.2

78.3

85.4

80.3

75.7

82.6

思考1:上表反映了几个函数关系?这些函数的自变量是什么? 定义域是什么? 提示: 4个;测试序号;{1,2,3,4,5,6}.

思考2:上述4个函数能用解析法表示吗?能用图象法表示 吗? y
100 90 80 70 60 平均分

赵阳

张磊

王琦 1 2 3 4 5 6

O

x

思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情况,用哪种表 示法为宜?

理论迁移 考点一: 用待定系数法求函数解析式
[例1] (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)

的解析式;

(2)一次函数y=f(x),f(1)=1,f(-1)=-3,求f(3).
k [精解详析] (1)设反比例函数 f(x)= (k≠0), x k 则 f(3)= =-6,解得 k=-18. 3 18 ∴f(x)=- . x

(2)设一次函数 f(x)=ax+b(a≠0). ∵f(1)=1,f(-1)=-3, ? ? ?a+b=1, ?a=2, ∴? 解得? ? ? ?-a+b=-3. ?b=-1. ∴f(x)=2x-1.∴f(3)=2×3-1=5.

[一点通]

1.求函数解析式实际上就是寻找函数三要

素中的对应关系.
2.当已知函数的类型时,可设出其函数解析式,利用 待定系数法求解,这里包含着方程思想的应用.

1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x+3,求f(x).
解:设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b=4x+3,
2 ? ?a =4, ∴? ? ?ab+b=3,

? ?a=2, 解得? ? ?b=1,

? ?a=-2, 或? ? ?b=-3.

故所求的函数为 f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3.

2.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,f(x+1)-f(x) =2x,求f(x)的解析式.
解:由题意,设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=0,∴c=0. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x, 即
? ?2a=2, 2ax+a+b=2x.∴? ? ?a+b=0.

∴a=1,b=-1. 从而 f(x)=x2-x.

考点二: 用换元法、配凑法求函数解析式
[例 2] 求下列函数的解析式: 1+x 1+x2 1 (1)已知 f( )= 2 + ,求 f(x); x x x (2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x).

[精解详析] (1)法一:(换元法) 1+x 1 令 t= = +1, x x 1+x 1+x2 1 1 则 t≠1.把 x= 代入 f( )= 2 + ,得 x x x t-1 1 2 1+? ? t-1 1 f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1. 1 2 1 ? ? t-1 t-1 ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).

法二:(配凑法) 1+x 1+x2+2x-2x 1 1+x 2 1+x-x ∵f( )= + =( )- x x2 x x x 1+x 2 1+x =( )- +1, x x
∴f(x)=x2-x+1. 1+x 1 又∵ = +1≠1, x x ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1(x≠1).

(2)法一:(换元法) 令 x+1=t(t≥1),则 x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1).
法二:(配凑法) ∵x+2 x=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1. 又∵ x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).

[一点通]

1.换元法的应用

当不知函数类型求函数解析式时,一般可采用换元法.所 谓换元法,即将“ x+ 1”换成另一个字母 “t”,然后从 中解出 x 与 t 的关系,再代入原式中求出关于“t”的函数 关系式,即为所求函数解析式,但要注意换元前后自变 量取值范围的变化情况.

2.配凑法的应用 对于配凑法,通过观察与分析,将右端的式子“x+ 2 x ”变成含有 “ x+ 1”的表达式 .这种解法对变 形能力、观察能力有较高的要求.

3.已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式. 解:设x+1=t,则x=t-1, f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数为f(x)=x2+2x-2.

4.已知 f( x-1)=x+2 x,求 f(x).
解:令 t= x-1,则 x=t+1,∴t≥-1. ∴x=(t+1)2. ∴f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3. 又 t+1= x≥0, 故所求解析式为 f(x)=x2+4x+3(x≥-1).

考点三: 函数的图象及应用
[例 3] (12 分)作出下列函数的图象并求出其值域. x (1)y= +1,x∈{1,2,3,4,5}; 2 (2)y=x2+2x,x∈[-2,2].

x [精解详析] (1)用列表法可将函数 y= +1,x∈[1,5], 2 x∈Z 表示为:

x y

1 3 2

2 2

3 4 5 5 7 3 2 2
(2分)

图象如图.

3 5 7 值域为{ ,2, ,3, }. 2 2 2
(2)y=x2+2x=(x+1)2-1,x∈[-2,2].

(6 分)

图象是抛物线y=x2+2x在[-2,2]上的部分,如图所示.

(10分)

由图,可得函数的值域是[-1,8].

(12分)

[一点通] 作函数图象主要有三步:列表、描点、连 线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域 内化简函数解析式,再列表画出图象,并标注一些关键 点,如与坐标轴的交点、最高点、最低点等.

5.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的 定义域是 A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞) ( )

C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-1,0) 解析:由图象知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:C

6.画出下列函数的图象: (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=x2-2x(-1≤x<2); 2 (3)y= ,x∈[2,+∞). x

解:(1)当x=0时,y=1; 当x=2时,y=5. 所画图象如图1所示. (2)y=x2-2x=(x-1)2-1.

当x=-1时,y=3.
当x=0时,y=0. 当x=1时,y=-1. 当x=2时,y=0.所画图象如图2所示.

(3)当x=2时,y=1,其图象如图3所示.

方法规律小结
1.函数的三种表示法的优缺点比较: 优点 解 析 法 缺点 联系 解析列表和图象,

变量关系特明 不形象来不直

显,给定任意 观,变化趋势
自变量,代入 难判断,有些 式子值好求 函数无法用

三法各有优缺点.
面对实际问题时, 根据需要恰当选

优点

缺点

联系

列 不用计算只需看, 变量增多好麻烦, 表 任意给定变量值, 此时难表无限多, 法 表中查找很容易 只限数量不多时 图

解析列表和图

象,三法各有
优缺点.面对实 际问题时,根 据需要恰当选




很形象来很直观, 近似表达对应值, 变化趋势很明显 误差较大误判断

2.作函数图象时应注意以下几点:

(1)在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线 来衬托整个图象; (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标 轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

同学们

再见!


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