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数学必修二第一章知识点总结+习题


第一章

空间几何体

1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台; 常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 (2)简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图 1.1-11 中(1) (2)物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图 1.1-11 中(3) (4)物体表 示的几何体。

简单组合体

练习 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的(



A 2、柱、锥、台、球的结构特征

B

C

D

(1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱
' ' ' ' '

AD '
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且 相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何 体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形
' ' ' ' '

③侧棱交于原棱锥的顶点 ________个顶点,

练习 2.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

3.空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平 行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 (1)定义: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正”“高平齐”“宽相等” , , 练习 3.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 )

主视图

左视图

俯视图

练习 4.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是(

).

练习 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆 成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

图(1)

图(2)

练习 6.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为:
5

6

A. 24? cm , 12? cm
2

2

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm
2

2

4、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出 的图形. 斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系 ?x 'O' y ' ,使 ?x 'O' y ' =45 (或 135 ) ,注意它们确定的平面表示水平平面;
0 0

③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持 ‘ 不变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一 半; 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 练习7.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是( .. A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆 练习8. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? )
0



).

2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1? 2

5、空间几何体的表面积与体积

r S侧=2πr?l B

l r

l A

⑴圆柱侧面积; S 侧面 ? 2? ? r ? l ⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l
A l V θ l r h l B 1 弧长 半径 2 图中:扇形的半径长为l, 圆心角为θ,弧AB 的长

AB=2πr

圆锥的侧面展开图是扇形, 扇形面积S扇形

L θ?l(注:扇形的弧长等于 圆心角乘以半径.提醒圆心角 π 为弧度角,例如60° 弧度, 3 π π 45° 弧度,90° 弧度等等) 4 2

O1 r h l

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l 练习 9.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A. )

O2

R

3

B. 2 3

C. 3 3

D. 4 3

说明: 正三棱锥是锥体中底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。 正三棱锥的性质:1. 底面是等边三角形。 2. 侧面是三个全等的等腰三角形。3. 顶 点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心) 。 6 体积公式:

V柱体 ? S ? h

1 V锥体 ? S ? h 3

1 V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3

?

?

练习 10. 已知圆柱与圆锥的底面积相等, 高也相等, 它们的体积分别为 V1 和 V2 , V1 : V2 ? 则

A. 1 : 3

B. 1:1

C. 2 :1

D. 3 :1

练习 11.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 120 0 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形 成的几何体的体积是( )

A.

9 ? 2

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2


练习 12.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8

练 习 13 . 如 图 , 在 多 面 体 ABCDEF 中 , 已 知 平 面 ABCD 是 边 长 为 3 的 正 方 形 ,

EF // AB , EF ?

3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 , 2


E D A

F C B

则该多面体的体积为(

A.

9 2

B. 5

C. 6

D.

15 2

练习 14.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 , 圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面的半径为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 3

7.球的表面积和体积

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3

练习 15.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 练习 16.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则 这个球的表面积是( ) A. 25? B. 50? C. 125? D.都不对 练习 17.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )

A. 3 :1

B. 3 : 2

C. 2 : 3 D. 3 : 3

练习 18(如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱, 求圆柱的表面积


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