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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)


3.1.2
一、基础过关

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

π ? 3 ? π? 1. 已知 α∈? ?2,π?,sin α=5,则 tan?α+4?的值等于 1 A. 7 B.7 1 C.- 7 D.-7

(

)

4 2. 若 sin α= ,tan(α+β)=1,且 α 是第二象限角,则 tan β 的值是 5 4 A. 3 4 B.- 3 C.-7 1 D.- 7

(

)

1 1 π 3π 3. 已知 tan α= ,tan β= ,0<α< ,π<β< ,则 α+β 的值是 2 3 2 2 π A. 4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4

(

)

4. A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 tan A,tan B 是方程 3x2-5x+1=0 的两个实数根, 则△ABC 是 A.钝角三角形 C.直角三角形 5. 1+tan 75° =________. 1-tan 75° B.锐角三角形 D.无法确定 ( )

π ? 1 +α =2,则 6. 已知 tan? 的值为______. 4 ? ? 2sin αcos α+cos2α sin?α+β? 7. 如果 tan α,tan β 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos?α-β? 8. 求下列各式的值: sin 7° +cos 15° sin 8° (1) ; cos 7° -sin 15° sin 8° (2)(1-tan 59° )(1-tan 76° ). 二、能力提升 9. 化简 tan 10° tan 20° +tan 20° tan 60° +tan 60° tan 10° 的值等于 A.1 C.tan 10° B.2 D. 3tan 20° ( )

cos α-sin α 10.已知 α、β 均为锐角,且 tan β= ,则 tan(α+β)=________. cos α+sin α 11.在△ABC 中,求证:tan A B B C C A tan +tan tan +tan tan =1. 2 2 2 2 2 2

12. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β, 它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分 别为 2 2 5 , . 10 5

求:(1)tan(α+β)的值;(2)α+2β 的大小. 三、探究与拓展 π π 2 2 13.已知在△ABC 中,0<A< ,0<B< ,sin A= ,tan(A-B)=- . 2 2 10 11 求:(1)tan B 的值;(2)A+2B 的大小.

答案
1.A 2.C 3.C 4.A 5.- 3 2 6. 3 3 7.- 2 8.(1)原式=2- 3 (2)原式=2 9.A 10.1

11.证明 ∵A+B+C=180° , A B C ∴ + + =90° . 2 2 2 ∴ A+B C =90° - . 2 2 C A+B? 90° - ? =tan? 2? ? ? 2 ? . C 2

∴tan? = 1 tan ∴tan?

A+B? C tan =1. 2 ? 2 ?·



?tan A+tan B?tan C 2 2? ? 2
1-tan A B tan 2 2

=1,

∴tan

A C B C tan +tan tan 2 2 2 2 A B tan . 2 2

=1-tan 即 tan

A B B C C A tan +tan tan +tan tan =1. 2 2 2 2 2 2 2 2 5 ,cos β= . 10 5

12.解 由条件得 cos α= ∵α,β 为锐角,

7 2 ∴sin α= 1-cos2α= , 10 sin β= 1-cos2β= sin α ∴tan α= =7, cos α sin β 1 tan β= = . cos β 2 tan α+tan β (1)tan(α+β)= 1-tan α· tan β 1 7+ 2 1 1-7× 2 5 . 5



=-3.

2tan β (2)∵tan 2β=tan(β+β)= 1-tan2β 1 2× 2 4 = = , 1 ?2 3 1-? ?2? tan α+tan 2β ∴tan(α+2β)= 1-tan α· tan 2β 4 7+ 3 4 1-7× 3



=-1.

3π ∵α,β 为锐角,∴0<α+2β< , 2 3π ∴α+2β= . 4 13.解 (1)∵A,B 是锐角,sin A= 7 2 1 ∴cos A= ,tan A= , 10 7 ∴tan B=tan[A-(A-B)] = tan A-tan?A-B? 1+tan A· tan?A-B? 2 , 10

1 2 + 7 11 = 1 2 1+ ×?- ? 7 11 1 = (或解 tan(A-B) 3 1 -tan B 7 tan A-tan B = = 1 1+tan A· tan B 1+ tan B 7 2 1 =- ,∴tan B= ). 11 3 1 (2)∵tan B= , 3 2 3 2tan B 3 ∴tan 2B= = , 2 = 1 4 1-tan B 1- 9 tan A+tan 2B ∴tan(A+2B)= 1-tan A· tan 2B

1 3 + 7 4 = =1. 1 3 1- × 7 4 1 3 又 tan A= <1,tan B= <1. 7 4 π π ∵A,B 是锐角,∴0<A< ,0<B< , 4 4 3π π ∴0<A+2B< .∴A+2B= . 4 4


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