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黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案


大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期期中考试

高三年级数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.已知全集 U ={1,2,3,4,5} ,集合 A={2,3,4} , B ? ? 1,3?,则 (CU A) ? B= ( A.{1} B.{1,5} C.{1,3,5} ) D.{1,4} )

2.命题“ ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是 ( A. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0

B. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0
0.5

3.已知 a ? log0.6 0.5 , b ? ln 0.5 , c ? 0.6 .则( A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? a ? b

) D. c ? b ? a ) D. x ? 2 y ? 7 ? 0

4.过点 P(?1,3) 且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 ) D.

5.已知 tan ? ? 3 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 等于( A.1 B.

5 4
2

C. ?
2

3 4

4 5


6.直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 相交于 A,B 两点,则弦|AB|=(

A.

2 2

B.

3 2

C. 6

D. 2 )

7.若幂函数 f ( x) ? mxa 的图像经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 0 8.已知 tan? ? ? A. ? B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

1 1 2 4

D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

? ?

??

4? ? ? 3 , tan( ? ? ) ? ?3 ,则 tan(? ? ? ) ? ( 5 5?
5 7
C.1 D. ?1



3 4

B. ?

2 9. 直线 y ? k ( x ? 1) 与抛物线 y ? x 相交于 A,B 两点, 则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程是 (



A. y ? x ? 4 x ( x ? 0或x ? 2)
2

B. y ? 2 x ? x ( x ? 0或x ? 2)
2

C. y ? 2 x 2 ? 2 x ( x ? 0或x ? 2)

D. y 2 ? 2 x ( x ? 0或x ? 2)

10. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下图所示, 此函数的解析式为( )

(2 x ? A. y ? sin

?

(2 x ? C. y ? sin

?
3

3



(4 x ? B. y ? 2 sin



5? ) 6 2? (2 x ? ) D. y ? 2 sin 3

x2 y2 11.设 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若在双曲线右支上存在 a b
点P,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF 1 的距离等于 a ,则双曲线的离心率是( )

A.

7 3

B.

1? 7 3

C.

7 3

D.

1? 6 3

12. 定义在 (0, ( )

?
2

) 上的函数 f ? x ? ,f ' ? x ? 是它的导函数, 且恒有 f ' ? x ? ? f ? x ? ? tan x 成立. 则

A. 6 f ?

?? ? ?? ? ?? 2f? ? ?6? ?4?

B. 3 f ?

?? ? ? ? 2 cos1 ? f ?1? ?6?

C. 2 f ?

?? ? ?? ? ?? f? ? ?4? ?3?

D. 2 f ?

?? ? ?? ? ?? f? ? ?4? ?3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知函数 f ? x ? ? ?
? ?

? ?2 x ? x ? 0 ? ,则 f ? f ?? 3?? ? ________。 2 x x ? 0 ? ? ? ?
? ?

14. tan 70 ? tan 50 ? 3 tan 70 tan 50 + 3 的值为________。 15.在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 ( 2 , 点, 以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中, 直线 l 的参数方程为 ?

? ) .在以极点 O 为原 3

? x ? 1 ? 3t (t 为参数) , ?y ? 2 ? t

直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,已知定点 M (1 , 2) ,则|MA|·|MB|=________。

2ax ? a 2 ? 1 16.已知函数 f ( x) ? ,其中 a∈R,在 x∈[0,+∞)上存在最小值,则 a 的取值 x2 ? 1
范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。

17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ?y | y ? a ? 1?, 集合 C= x x ? ax ? 4 ? 0 .命题 p : A ? B ? ? ,命题 q : A ? C
2

?

?

?

?

(Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( 3 cos x ? sin x) sin x , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? 0,

? ?? 上的最大值与最小值. ? 4? ?

19. (本小题满分 12 分)已知平面内一动点 P ? x, y ?( x ? 0 )到点 F (2,0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 2, (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于不同于坐标原点 O 的两点 A, B ,求 ?AOB 面积的最小 值.

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) , ? y ? sin ?

将 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 倍和 2 倍后得到曲线 C2 .以平面直 角坐标系 xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已 知直线 l : ? (2 cos? ? sin ? ) ? 6 . (1)试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最小,并求此最小值.

21. (本小题满分 12 分)已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3) ,且它的 离心率 e ?

1 . 2
2 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点, 若椭圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f ( x ) 的最小值;

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R . 2

(Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x2 ? x1 ,有 成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,恒 x2 ? x1

大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期期中考试

高三年级数学试题(文科)答案
1—5 CDABA 13.18 6—10 CDACD 14.0 11—12BC 16. (﹣∞,1] 15. 4 3 ? 3 17. 【答案】 (Ⅰ) a ? 4 ; (Ⅱ)

试题解析: A ? ?x | 1 ? x ? 3?, B ? ?y | y ? a ? 1?, C ? x x ? ax ? 4 ? 0
2

5 ?a?4 3

?

?

(Ⅰ)由命题 p 是假命题,可得 A ? B=? ,即得 a ? 4 ------5 分 (Ⅱ)? p ? q 为真命题,? p、 q 都为真命题,即 A ? B ? ?, 且A?C

? a ?1 ? 3 5 ? ?有 ? 1 ? a ? 4 ? 0 ,解得 ? a ? 4 .------10 分 3 ?9 ? 3a ? 4 ? 0 ?
18. 【答案】 (1) T ? ? ,增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? Z ; 3 6 ? 1 (2)最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 ,最大值 f ( x) max ? f ( ) ? . 6 2 ? 1 试题解析: f ( x) ? ( 3 cos x ? sin x) sin x ? sin( 2 x ? ) ? 6 2 2π (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? ? π. 2
令?

?

?

?

2

? ?2k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? Z .------6 分 3 6 ? ? ? 2? (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? , 4 6 6 3 1 1 ? 所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以 0 ? f ( x) ? . 2 6 2 当且仅当 x ? 0 时 f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 ? 1 ? ? ? 当且仅当 2 x ? ? ,即 x ? 时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? .------12 分 6 6 2 6 2 2 19. 【答案】 (1) y ? 8x ; (2)8 试题解析: (1)∵平面内一动点 P 到点 F (2,0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 2, ∴当 x ? 0 时,点 P 到 F 的距离等于点 P 到直线 x ? ?2 的距离, 2 ∴动点 P 的轨迹为抛物线,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 8x ; -------5 分 (2)设 A 点坐标为 ( x1 , y1 ) , B 点坐标为 ( x2 , y2 ) ,
过点 F 的直线 l 的方程为 x ? my ? 2 ,代入 y ? 8x ,可得 y ? 8my ? 16 ? 0 ,
2 2

?

?

3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

y1 ? y2 ? 8m, y1 y2 ? ?16 ,∴ ?AOB 面积 s ? y1 ? y 2 ? 64 m 2 ? 64 , ∴ m ? 0 时, ?AOB 面积的最小值为 8. ------12 分 ? x ? 3 cos? 20. 【答案】 (1)曲线 C1 : ? ? 1 ,曲线 C2 的参数方程是 ? ( ? 是参数) . y ? 2 sin ? ?

(2) P? ,1? ,

?3 ? ?2 ?

2 5 5

试题解析: (1)由已知得曲线 C1 的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 1, 所以曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 1 , 因为曲线 C1 的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 1, 所以根据已知的伸缩变换得曲线 C2 的直角坐标方 程是

? x ? 3 cos? x2 y2 ? ? 1 ,所以曲线 C2 的参数方程是 ? ( ? 是参数) . 3 4 y ? 2 sin ? ?

------5 分

?,2 s i n ? ) .由已知得直线 l 的直角坐标方程是 2 x ? y ? 6 ? 0 .所以点 P 到直 ?? ? 4 sin?? ? ? ? 6 3? ? ? 2 5 ? 线 l 的距离 d ? . 当 sin(? ? ) ? 1 即 ? ? 2k? ? 时 . d min ? .此
(2) 设 P( 3 c os

3 6 5 5 ?3 ? ?3 ? 时点 P 的坐标是 P? ,1? . 所以曲线 C2 上的一点 P? ,1? 到直线 l 的距离最小,最小值是 ?2 ? ?2 ? 2 5 .---12 分 5 x2 y2 ? ? 1; 21. 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) (? 2 , 0) ? (0, 2 ) 8 6 x2 y2 解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? 2 ? ?c 1 ?a ? 8 由已知得: ? ? 解得 ? 2 ? ?b ? 6 ?a 2 2 2 2 ?c ? a ? b ? ? x2 y2 ? ? 1 ------4 分 所以椭圆的标准方程为: 8 6 (Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切 t?k 1? t2 所以, ? 1 ? 2k ? ( t ? 0) t 1? k2

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 8 6 8kt 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2 ? ? 8kt ? 6t 因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ? (3 ? 4k 2 ) ? , (3 ? 4k 2 ) ? ? ? ? ? 2 2 2 8k t 6t ? ?1 又因为点 C 在椭圆上, 所以, 2 2 2 (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k 2 )2 ? 2
把 y ? kx ? t 代入

2t 2 2 ?? ? ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t 1 1 2 因为 t 2 ? 0 ,所以 ( 2 ) ? ( 2 ) ? 1 ? 1 t t 2 所以 0 ? ? ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,
2

2 ) -----12 分
1 2

22. 【答案】 (Ⅰ) f (2) ? ?2ln 2 ; (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)存在实数 a ? (??, ? ] . 试题解析: (Ⅰ)由题意,函数 f(x)的定义域为 (0, ??) ,

x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ?1) ? x x ' ∴当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 0 , x ? (2, ??) , f ' ( x) ? 0 . ∴ f ( x ) 在 x=2 时取得极小值且为最小值,其最小值为 f (2) ? ?2ln 2 ----3 分
当 a=1 时, f ( x) ?
'

2a x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ( x ? 2)( x ? a) ? (a ? 2) ? ? , x x x ' ∴(1)当 ?2 ? a ? 0 时,若 x ? (0, ?a) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数;
(Ⅱ)∵ f ( x) ? x ?
'

x ? (?a, 2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; x ? (2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (2)当 a ? ?2 时, x ? (0, ??) 时, f ( x ) 为增函数;
(3)当 a ? ?2 时, x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数;
'

x ? (2, ?a) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; x ? (?a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数------7 分
(Ⅲ)假设存在实数 a 使得对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1≠x2,有 立,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成 x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即: f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 , x2 ? x1 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,只要 g ( x) 在 (0, ??) 为增函数 1 2 又函数 g ( x ) ? x ? 2a ln x ? 2 x . 2 2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1)2 ? 1 ? 2a ' ?2 ? ? 考查函数 g ( x) ? x ? x x x 1 ' 要使 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,只要 ?1 ? 2a ? 0 ,即 a ? ? , 2 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 故存在实数 a ? (??, ? ] 时,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1≠x2,有 ? a恒 2 x2 ? x1
不妨设 0<x1<x2,只要 成立。------12 分


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