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一道经典高考试题的持续思考


4 2 中学数学教学参考 一
一 一 … … … 一 … … … 一 …   … 一 一 ~ 一 一 一 … … 一 — ~ 一 …

一 一
~ … ,… ~

!   ~ 

置 案  分 析  ~  

解  麓 

…  

2 00

9年 第 6期 ( t旬 I  

塞 心   鬟  

\  

j  

经典寓菏试凰 @ 拣 
蠢 曩 羹 冀 
安振 平 ( 咸 阳师范学 院基 础教 育课 程研 究 中心)  

学 

1 9 9 4年全 国高考 数学 试 题 里有 这 样 一道 经 典 的 
题 目:  

如果令 n —t a n   百 3 7 1 , 6 一t a n   3 百 " 2 , 我们 就将 问题变 化  为如下 的 :   问题 2 设 口, b E( O , 1 ) , 求证 :  
。 上 b 、 口+ 6  
1 一口   ‘1一 b 2 / 1 , 一 a b ’  

问 题 1已 知 z   ,   z ∈ ( o , 号 ) , 求 证 :  
t a n   z1 +t a n  2 ≥2 t a n   .  

当我们 作 出 正切 函数 Y=t a n   z的 图 象 , 利 用 函  数 的 凸性 , 就可 以给 出 此不 等 式 的一 种 直观 解 释. 自   然, 该 考题 的 深 刻 背 景 就 是 著 名 的琴 生 ( J e n s e n ) 不  等式 .   这 是一个 二元 对称 不等式 , 而对 称 的显 著特 点 是  平衡 , 下 面 利 用 平 衡 方 式 给 出 一 种 富 有 启 发 性 的  解答 .  

在罗增 儒 教授 的 文 [ 1 ] 的第 1 5 3页 上 , 探 讨 了上  述不 等式 .  
后来 , 笔 者看 到 了华 东 师范 大学《 数学 教 学 } 1 9 9 9  

年 第 6期 问题 与 解 答 栏 目中 , 其问题第 4 9 8题 是 ( 见  文E 2 ] 、 文[ 3 ] ) :  
问题 3 已知 O <a <1 , O <6 <1 , , 2 ∈N  , 求证 :  
n   上 b   \ 口 ” 十b  
1一 口   ’1— 6 。 / 1 , 一 口 6’  

证 明 : 不 妨 设z ? , z z ∈ ( o , 号 ) , 且  ≥ z z , 则  
t a n   > 0, t a n   ≥o .  

哦, 很有 意思 的 , 原来 , 有 人把 问题 2从 指数方 面 
拓广 为 问题 3了.  

于是 , 原不 等式 等价 于 
t a n  z1 一 t an



≥ t a n   下 x l - t - x 2 一 t a n   z 2 ,  

如果将 分母 里 的减号 变为 加 号 , 就 得 到笔 者 编拟  的2 0 0 8年陕西 省高 中数 学预 赛试题 ( 见 文E 3 ] ) :   问题 4   已知  , . ) , >0 , , 2 ∈N  , 求证 :  

也 就 是 t a n (   一 旦 专 丝 ) ( 1 + t a n   t a n x , - l   - x 2 )  

南+   ≤ 高 .  
在 笔者 的记忆 里 , 想 到 了罗增 儒 教授 曾经把 问题  2改编 为  问题 5 设 口 , b E( O , 1 ) , 求证 :  
n  


≥ t a n (   一 z z ) (   + t a n 半 t a …) ,  
这等 价 于 1 +t a n丑t a n— x  ̄   t— x 2 ≥1 +t a n— x  ̄   - t - x 一 2  
‘t an 恐 ,  

  .

b   、 a+ b  

1 - U b  ̄ 叶 



‘  

也就是 t a n   z l ≥t a n   z 2 .  

笔 者 的感 觉 , 这也 很有 趣 啊 !现在 已经 没 有办 法  查找原 来 的证 明方 法 , 经过 探 究 , 笔 者想 到 了一 种 如  下 的解 答 .   证明: 利用 权方 和不 等式 
X2
2  

从而 , 由前 提 假 设 z   ≥ 。以 及 正 切 函 数 在 

( o , 詈 ) 上 是 递 增 函 数 , 明 显 得 证 .  
值得指出的是 , 文[ 1 ] 的第 3 0 7页 上 , 利 用 单 位 
圆, 给 出 了问题 1的另一 种巧 妙证 法.  

十  

… P

,  

∈ 

于是 
≥ 

+  

一  

+而5 2  

1 9 9 5年 , 笔者在苏州大学《 中学 数 学 月 刊 》 杂 志  上, 做 了这样 的探 究.   原 来 的不 等式 可 以变化 为 

(   a   - k -   b )    ̄  

口+ 6  
一 — — —

1 — - — — a — — b ‘  

需要 说 明的是 , 对 问题 2 , 也 可 以用 同样 的办 法 ,  

实施 其证 明.  

解  曩  中 
?   ~ 一 一 … ,  

爱 案 分 析 

篡:  

_  

篓壁  堂  
20 o9 年 ; 酗 期 U= 旬 l  

一4 3  

既 然问题 2可以做 出它的指 数推广 , 得 到问题 3 ,   那笔者 的思考是 , 问题 2 , 可 以从变 量个 数 的角度 , 给  出推广 吗?经探 究 , 可 以得到  问题 6 设 口 , b , c E( O , 1 ) , 求证 :  

1 c 4 d +1 0 d 4 a  ̄a2 即 2 3 a 4 b +7 b 4 c +1 6 f  .  
. .

同理 

≥n 6 z   ,  

1 一 口   +   ’   1   一。 b + ’   南 1 一 c 。   ≥   1 - a b c . ‘  
证明: 先证 口 ‘ +  +f 4 ≥a b c ( a +6 +f ) . 事 实上 ,   用 4元均值 不等式 , 使得 
a b c ( a +6 +c )   一口? n? b?f + 口? b? b?f + 口 ?b?C?f  
?

# 
丝 

≥ 口 6 c z   ,  
≥口 6 c  

将 这 4式叠 加 , 可得 口   6 +b   c +f   d +d   n ≥a b c d  
( 口 +6 +f + d) .  

≤ { ( 口   + 口   +  +   ) + 寺 (  + 6 4 + 6 4 +   )  
+÷( 口 ‘ +b ‘ +  + )  
一口   +b ‘ +  .  

再用 柯 西不 等式, 易证 堑

≥  鲁 
此, 得 

+ 要 +   X 2 + Y 堑 4   c   ∈   ,   ∈ R , k = l , 2 , 3 , 4 蛐  
Yl
I   C     l

用权 方和不 等式 , 得 
1 一口 。’ 1 一b 。 ‘1 一c 。   口一 n  。 6 一b ‘’f —f 4  
、  

垒 + 鱼+ !一   :+  
( 口 +6 +f ) 0  

+  

口 

  I

6  

1 一n 。 b 。1一 b 。 c   l —c 。 d  1一 d。 口  
一 —

/ ,

旦 _ +— z  一 +—  一 +—  
( n +b +c +  )  

口 +6 + ̄ -( 口   +b ‘ +  )  
 

n一 口   b 。b— b   c ’f— f 4 d 。d — d‘ 口  



( 口+ 6 +f ) 。  


、  




a +b +c -a b c ( a +b +c )  
口 +6 +f  
、  

( a + b + c + d ) -( a 4 b +b 4 c + c 4 d +d 4 a ) 。  
( 口 +b +c + )  



— T 
母 的情 境.  

。  

干  干 
口+ b +C +d  
l — ab c d 。  

很 自然 , 这 一 方法 , 可 以将 问题 5推 广 到 多个 字  接 下来 , 我 们思 考 的是 , 问题 4有 对应 3个 字母  的推广 吗 ?经 过探究 , 得到  问题 7 设 n , b , c E( O , 1 ) , 求证 :  
1   2 +  ≥  1 一 b c   1一 c   口+  。l 一 口。 6   - ab c. ‘  

所 以 
\ 口+ 6 +f +d  
/ , 1一 nb c d ‘  

+  = b  

+ 

C  

+ 

d  

其实, 该题 目的证 明过 程 中 , 蕴 藏 了一个 有 趣 的  不 等式 :   问题 9   已知 口 , b , c , d ∈R+, 且a b c d =1 . 求证 :  
口 ‘ 6 +b   c +  d+ d   口 ≥ 口+ 6 +c + d.  

证明: 采用相类 似 的方法 , 便 得 
口 
—   一   一 .  一  

1 一b z c   1 一f 2 口 ’1 -a 2 b  
a   I   b   l   f 0  

n— n   c ’6 一 ab c 。 ‘c —a  
、  

看来 , 当我 们 的思维 随着 时间 的推移 , 时不 时地 、  
有 意识地 去做 一点 思 考 、 尝试 、 琢磨 、 探 究 和 反思 , 就 

( 口 +6 +c )  

( a ' k - b - k - c ) - a b c (  ̄ + b - k - c ) 。  


不难 得 出一些有 意 义 的 思绪 、 一 些 比较 新 颖 的 问题 ,   这样 的持 续思考 , 也 许 能 够锤 炼 我 们 的 思 维 , 优 化我  们 的品质 , 挖掘我 们 提 出 问题 与 解 决 问题 的潜 能 , 成 
就 自己快 速成 为一 名有 数 学 味 的 、 有 思想 的 、 称 职 的 
教师.  
参 考 文献 

口+ 6 +c  

— T 


。  

若将 如上 问题发展 到 4个 字母 的情 境 , 就 可得 出  个难 度较大 的不等式 :   问题 8 设 口 , 6 , c , d E( 0 , 1 ) , 求证 :  


n   。   b   .   C   。 d   、口 +b +c +d   1 -— a 3 b 十  十  十  —  ’  

1   罗 增 儒 .数 学解 题 学 引 论 [ M] .西 安 : 陕 西 师 范 大 学 出 版 
社, 2 0 0 8  

证明 : 先证 口 ‘ b +b   c + d +d   口 ≥a b c d( a +6 +f  
+ d) .  

2 安 振 平 .数学 问题 的探 究 需 在 变 式 中 行 进 E J ] .数 学 教 学 ,  
2 00 8。 1 1  

利用 5 1 元均值 不 等式 , 得  ≥  研 ,  

3 安振平 , 吕二动.一组代数不等式 的相关探究 [ J ] .数学通 
讯 。 2 0 0 8 。 2 O  


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