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湖北省武汉六中等武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期末联考数学(理)试题


武汉市部分重点中学 2014—2015 学年度下学期期末联考

高二数学试卷(理科)
命题学校:武汉六中 命题教师:田传奎 审题教师:黄圣然
试卷满分:150 分

考试时间:2015 年 7 月 2 日上午 8:00-10:00

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每

小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求。) 1. ( x ? 2 y)7 的展开式中的第 4 项为( A. ?35x 4 y3 B. 280 x 4 y3 ) C. ?280 x4 y3 ) D. 35 x 4 y 3

2.已知 ? ? B(n, p) ,且 E (? ) ? 7, D(? ) ? 6 ,则 p 等于( A.

1 7

B.

1 6

C.

1 5

D.

1 4


3.已知随机变量 x 服从二项分布 x~B(6, ),则 P(x=2)等于( A.

80 243

B.

4 243

C.

13 243

D.

13 16

4.在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时,有下列步骤:①对所求出的回归直线方程作出解 释;②收集数据(xi,yi) ,i=1,2,?,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜 集的数据绘制散点图.如果根据可形性要求能够作出变量 x,y 具有线性相关结论,则在下列 操作顺序中正确的是( ) A. ①②⑤③④ B. ③②④⑤① C. ②④③①⑤ D. ②⑤④③① 5.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:

年龄 脂肪

23 9.5

27 17.8

39 21.2

41 25.9

45 27.5

49 26.3

50 28.2

53 29.6

56 31.4

58 33.5

60 35.2

通过计算得到回归方程为

,利用这个方程,我们得到年龄 37 岁时体内脂

肪含量为 20.90%,那么数据 20.90%的意义是: A B C D 某人年龄 37 岁,他体内脂肪含量为 20.90% 某人年龄 37 岁,他体内脂肪含量为 20.90%的概率最大 某人年龄 37 岁,他体内脂肪含量的期望值为 20.90% 20.90%是对年龄为 37 岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计

6.已知随机变量 ? 服从正态分布,则 N(1,4) ,则 P(?3 ? ? ? 1) =(



( 参 考 数 据 : P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 ,

P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
A.0.6826 B.0.3413 C.0.0026 D.0.4772 7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60 ? 的共有( A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对
6



8.某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,求不同安排方案的种数,现有四位同
3 4 5 6 2 学分别给出下列四个结果① C6 ; ②2 ?7; ③ C6 , 其中正确的结论是 ( ? 2C6 ? C6 ? C6



A.① B.②与③ C.①与② D.①②③ 9 将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则不同的 分配方案共有( )种 A.140 种 B.120 种 C.80 种 D.50 种 10.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1﹣p,且各引擎是否有故障是独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常 运行,飞机也可成功飞行,要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 P 的取值范围是( A. B. C. D. ( ,1) ( ,1) (0, ) (0, ) 11.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 , 且是相互独立的,则灯亮的概率是( ) )

A.

1 64

B.

55 64

C.

1 8

D.

1 16

12.执行某个程序,电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色:①有五种 给定的颜色供选用;②每个小圆涂一种颜色,且图中被同一条线段相连的两 个小圆不能涂相同的颜色。若电脑完成每种涂色方案的可能性是相同的,则 执行一次程序后,图中刚好有 四种不同颜色的概率是( ) ;

A.

B.

C.

D.
?? ? , ? 内的值为 ?2 ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在题中横线上) 13.二项式(1+sinx) 的展开式中二项式系数最大的一项的值为 ,则 x 在 ?
6

______. 14.对有关数据的分析可知,每一立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天后混凝土的抗 压度 y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其线性回归方程为 =0.30x+9.7.根据建设项

目的需要,28 天后混凝土的抗压度不得低于 90.7 kg/cm2,每立方米混凝土的水泥用量最少应 为________kg. 15.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 风又下雨的概率为 ,刮四级以上风的概率为

2 ,既刮四级以上 15

1 , 设事件 A 为下雨, 事件 B 为刮四级以上的风, 那么 P (B|A) =________. 10

16.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0﹣1 三角数表、从上往下数, 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,…,第 n 次全行的数 n 都为 1 的是第 2 ﹣1 行;第 62 行中 1 的个数是 . 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 … .............................................. 三、解答题(本大题共 6 个题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 从 4 名男生,3 名女生中选出三名代表, (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种? (3)代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种?(写出必要的过程)

18. (本小题满分 12 分) (1)已知 ( ? 2 x) 展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中
n

1 2

二项式系数最大的项的系数; (2)已知 ( ? 2 x) 展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.
n

1 2

19. (本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所 示:

积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 6 24

不太主动参加班级工作 7 19 26

合计 25 25 50

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽 到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关 系?说明理由.

附: ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 n11n21n12 n22
P(x ≥k) k
2

0.05 3.841

0.01 6.635

20. (本小题满分 12 分)“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开展 对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究, 每次试验一个生物, 甲组能使生物成活的概率为 , 乙组能使生物成活的概率为 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则 称该次试验是失败的. (1)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率; (2)如果乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次 连续失败的概率; (3)若甲乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为 ξ,求 ξ 的期望.

21. (本小题满分 12 分)2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分别叫贝 贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有 8 个相同盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福娃的数量

如下表: 福娃名称 数量 从中随机地选取 5 只. (I)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (II)若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分;若选出的 5 只中仅差一种记 8 分;差两种记 6 分; 以此类推. 设ξ 表示所得的分数,求ξ 的分布列及数学期望. 贝贝 1 晶晶 1 欢欢 1 迎迎 2 妮妮 3

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣ax﹣x . (Ⅰ)若 x=1 为函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f(x)在定义域上的单调性; (Ⅲ)证明:对任意正整数 n,ln(n+1)<2+ .
2

武汉市部分重点中学 2014—2015 学年度下学期期末联考

高二数学试卷(理科)参考答案

一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 D 5 D 6 D 7 C 8 B 9 C 10 B 11 B 12 A

二、填空题: 13.

5? 6

14.270

15.

3 8

16.32

三、解答题
17 解: (1)根据题意,共有 7 人,要从中选出 3 名代表,共有选法 (2)至少有一名女生包括 3 种情况, 1 2 ①、有 1 名女生、2 名男生,有 C3 C4 种情况, 2 1 ②、有 2 名女生、1 名男生,有 C3 C4 种情况, 3 ③、3 名全是女生,有 C3 种情况, 则至少有一名女生的不同选法共有
3

种;

种;

(3)由(1)可得,从 7 人中选出 3 人的情况有 C7 种, 3 选出的 3 人都是男生的情况有 C4 种, 3 选出的 3 人是女生的情况有 C3 种, 则选出的 3 人中,男、女生都要有的不同的选法共有 18 解: (1)∵Cn +Cn =2Cn , 2 ∴n -21n+98=0, ∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, ∴T4 的系数=C7 ( ) 2 =
4 3 4 3 4 3 4 6 5

种.



T5 的系数=C7 ( ) 2 =70. 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. ∴T8 的系数=C14 ( ) 2 =3432. 1 2 (2)由 Cn+Cn +Cn =79,可得 n=12,设 Tk+1 项的系数最大. ∵( +2x) =( ) (1+4x) ,
12 12 12 7 7 7

∴ ∴9.4<k<10.4,∴k=10, ∴展开式中系数最大的项为 T11. T11=( ) C12 4 x =16896x . 19 解:(1)随机抽查这个班的一名学生,有 50 种不同的抽查方法,由于积极参加班级工作的 学生有 18+6=24 人,所以有 24 种不同的抽法,因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加
12 10 10 10 10

班级工作的学生的概率是 P1=

=

, 又因为不太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学 .

生有 19 人,所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是 P2=

(2)由 统计量的计算公式得 = ≈11.538,由于 11.538>10.828,所以可 以有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”. 20 解: (1)甲小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率为: P(A)= = .

(2)根据乙小组在第四次成功前共有三次失败, 可知乙小组共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败, 所以各种可能的情况数为 =12 种, = .

所以所求的概率为 P(B)=12× (3)由题意 ξ 的取值为 0,1,2,3,4, P(ξ=0)= P(ξ=1)= P(ξ=2) = + = P(ξ=3)= P(ξ=4)= ∴ξ 的分布列为: ξ 0 P ? = , + , + = ,

= ,

+

= ,

1

2

3

4

Eξ=

= .

21 解: (Ⅰ)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

P?

1 1 C2 ? C3 6 3 ? ? . 5 56 28 C8

10,8, 6, 4 (Ⅱ) ?的取值为

1 1 C2 ? C3 3 P(? ? 10) ? ? ; 5 28 C8

P(? ? 8) ? P(? ? 6) ?

2 1 1 3 2 C32 (C 2 ? C3 ? C2 ? C32 ) ? C3 ? (C 2 ? C32 ) 31 ? ; 56 C85 1 2 1 3 3 C3 (C 2 ? C32 ? C 2 ? C3 ) ? C32 ? C3 18 9 ? ? ; 5 56 28 C8

P(? ? 4) ?
ξ 的分布列为: ξ

2 3 C2 ? C3 1 ? . 5 56 C8

10 P

8

6

4

3 28

31 56

9 28

1 56

E? ?

30 248 54 4 ? ? ? ? 7.5 28 56 28 56
, ,解得 a=﹣4,

22 解: (1)因为 令 f'(1)=0,即

经检验:此时,x∈(0,1) ,f'(x)>0,f(x)递增;x∈(1,+∞) ,f'(x)<0,f(x)递减, ∴f(x)在 x=1 处取极大值.满足题意. (2) 令 f'(x)=0,得 x=0,或 ①当 , ,又 f(x)的定义域为(﹣1,+∞)

,即 a≥0 时,若 x∈(﹣1,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞) ,

则 f'(x)<0,f(x)递减; ②当 减;若 递减; ③当 ④当 ,即 a=﹣2 时,f'(x)≤0,f(x)在(﹣1,+∞)内递减, , 即 a<﹣2 时, 若 x∈ (﹣1, 0) , 则 f' (x) <0, ( f x) 递减; 若 x∈ (0, ,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减;
2

,即﹣2<a<0 时,若 x∈(﹣1,

,则 f'(x)<0,f(x)递

,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)



则 f'(x)>0,f(x)递增;若

(3)由(2)知当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0) ,即 ln(x+1)≤x+x ,

∵ ∴ ∴

,∴

,i=1,2,3,…,n, , .


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