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数学选修2-2》导数及其应用综合测试


数学选修 2-2》导数及其应用综合测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、已知函数 y ? x ? 1 的图象上一点(1,2)及邻近一点 ?1 ? ?x, 2 ? ?y ? ,则
2

?y 等于( ?x

)

A. 2

B. 2x

C. 2 ? ( ?x )

2

D. 2 ? ?x ) A. ?

2、设 f ( x) ?

1 f ( x) ? f (a ) 等于( , 则 lim x ?a x x?a
2

1 a2

B.
)A. ?4

2 a
B. 0

C. ?

1 a

D.

1 a2

3、曲线 y ? ?2 x ? 1 在点 ? 0,1? 处的切线的斜率是(

C. 4 )

D.不存在

4、如果曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,那么( A. f ?( x0 ) ? 0 B. f ?( x0 ) ? 0 C. f ?( x0 ) ? 0 ) C. y ? D.不存在

5、下列函数在点 x ? 0 处没有切线的是( A. y ? 3x ? cos x
2 2

B. y ? x sin x

1 cos x
) D. ( ?

D. y ?

1 ? 2x x

6、函数 y ? 2 x ? ln2 x 的的单调递增区间是 (

A. (0, )

1 2

B. (0,

2 ) 4

C. ( , ?? )

1 2

1 1 ,0) 和 (0, ) 2 2
)

7、 若函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,则 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8、下列各式中值为 1 的是 ( ) A. C.充要条件
1

D.既不充分也不必要条件

1 dx 0 2 0 0 0 2 9、若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x ) 的图象是(

?

1

xdx

B.

? ? x ? 1? dx
1

C.

? 1dx

D.

?

1

)

10、曲线 y ? f ( x) ? ax ? ( )

b 在点 (2, f (2))处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则 a, b 的值分别为 x

1

A. ?

?a ? 1 ?b ? 3

B. ?

? a ? ?1 ?b ? 3

C. ?

?a ? 1 ? b ? ?3

D. ?

? a ? ?1 ? b ? ?3

11、 设函数 y ? f ( x ) 在 (a, b) 上的导函数为 f '( x ) , f '( x ) 在 (a, b) 上的导函数为 f ''( x) ,若在 (a, b) 上, f ''( x) ? 0 恒成立,则称函数函数 f ( x ) 在 (a, b) 上为“凸函数”.已知当 m ? 2 时, f ( x ) ? 1 x 3 ? 1 mx 2 ? x 6 2 在 ( ?1,2) 上是“凸函数”.则 f ( x ) 在 ( ?1,2) 上 A.既有极大值,也有极小值 C.有极大值,没有极小值 ( )

B.既有极大值,也有最小值 D.没有极大值,也没有极小值

12、如图,曲线 y ? f ( x) 上任一点 P 的切线 PQ 交 x 轴于 Q ,过 P 作

PT 垂 直 于 x 轴 于 T , 若 ?PTQ 的 面 积 为
( )A. y ? y ' B. y ? ? y '

1 ,则 y 与 y ' 的关系满足 2
2

C. y ? y '

D. y ? y '
2

二、填空题 13、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是_____________ 14、曲线 y ?
1 2 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 x
.

15、已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 6ax ? b 在 x=2 处取得极值 9,则 a ? 2b ?

y
16、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx(a, b ? R) 的图象如图所示,它与直
3 2

线 y ? 0 在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影 部分)的面积为

O

x

27 ,则 a 的值为 . 4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17、(12 分) 求由曲线 y ? x , y ? x, 及 y ? 2 x 围成的平面图形面积.
2

18、(12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称.
3 2

2

(1)求 a, b 的值;

(2)求 f ( x) 的单调区间及极值.

19、(12 分) 某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? 足: P ?
2

2 3 x (万元),已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 满 75

k ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元. x

(1)设产量为 x 件时,总利润为 L( x ) (万元),求 L( x ) 的解析式; (2)产量 x 定为多少件时总利润 L( x ) (万元)最大?并求最大值(精确到 1 万元).

20、(12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

3

21、(12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x
(2)求 f ( x) 的单调区间;

(1)若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (3)若 f ( x) 的最小值为 1, 求 a 的取值范围。

22、(14 分) 已知函数 f(x)=alnx+x2(a 为实常数). (1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)当 a ? ?2 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

4

参考答案
2 ? ? ?y f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ??1 ? ?x ? ? 1? ? 2 ? ? ? 2 ? ?x 1.D ?x ?x ?x

2.A

f ?( x ) ? ?

1 f ( x ) ? f (a ) 1 , lim ? f ?(a ) ? ? 2 . 2 x ?a x x?a a

3.B ∵ y? ? ?4 x, ∴ k ? y? x ?0 ? 0 . 4.B 由切线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率 k ? ?

1 1 , 即 f ?( x0 ) ? ? ? 0 2 2

1 ? 2 x 在 x ? 0 处不可导. x 1 1 6.C 由 y? ? 4 x ? ? 0, 得 x ? . 2 x
5.D ∵ y ? 7.B 如 y ? x , y? ? 3x , y? x ?0 ? 0 ,但 x ? 0 不是函数的极值点.
3 2

8.C

? 1dx = x
0

1

1 0

? 1? 0 ? 1 .
2

9.A ∵ f ( x) ? x ? bx ? c 对称轴为 ? 距为负,也即直线过第一、三、四象限.

b ? 0, ∴ b ? 0 , f ?( x) ? 2 x ? b 的图象是斜率为正,在 y 轴上的截 2 7 1 x ? 3 .当 x ? 2 时, y ? . 2 4

10.A ? 方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

b 1 ? ?2a ? 2 ? 2 , ?a ? 1, b ? 又 f ?( x) ? a ? 2 ,于是 ? 解得 ? x ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4
11.C 因 f '( x ) ?

1 2 x ? mx ? 1 , f ''( x) ? x ? m ? 0 对于 x ? ( ?1, 2) 恒成立. 2

∴ m ? ( x ) max ? 2 ,又当 m ? 2 时也成立,有 m ? 2 .而 m ? 2 ,∴ m ? 2 . 于是 f '( x ) ?

1 2 x ? 2 x ? 1 ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? 3 (舍去), 2

f ( x ) 在 ( ?1, 2 ? 3) 上递增,在 (2 ? 3, 2) 上递减,只有 C 正确
12.D
5

1 1 1 1 S?PTQ ? ? y ? QT ? ,∴ QT ? , Q( x ? , 0) ,根据导数的几何意义, y y 2 2

k PQ ?

y?0 1 x ? (x ? ) y

? y ' ∴ y2 ? y ' .

13. (2, ??) 14.

f ?( x)? ( x 3 )xe? ? ?

? (x

? ? 3 )?e ?
x

?x (

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 2e)

1 2 和 y ? x 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1,它们与 x 3 x 轴所围成的三角形的面积是 . 4
曲线 y ?

3 4

? f ?(2) ? 0 ?12a ? 12 ? 6a ? 0 ∵ f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 6a ,由已知 ? , ?? f (2) ? 9 ? ?8a ? 12 ? 12a ? b ? 9 解得 a ? ?2 , b ? ?11,∴ a ? 2b ? ?24

15.-24

16.-3 由图知方程 f ( x ) ? 0 有两个相等的实根 x1 ? x2 ? 0 ,于是 b ? 0 , ∴ f ( x ) ? x ( x ? a ) ,有
2

?a 27 x 4 ax 3 ?a a 4 ? ? [0 ? ( x 3 ? ax 2 )]dx ? ?( ? ) ? ,∴ a ? ?3 . 0 4 4 3 0 12

又 ?a ? 0 ? a ? 0 ,得 a ? ?3 .

? y ? x2 ? y ? x2 17.解:由 ? ,得 A(1,1) ,又由 ? ,得 B (2, 4) ?y ? x ? y ? 2x
所求平面图形面积为: S ?

?

1

0

(2 x ? x)dx ?? (2 x ? x 2 )dx ?? xdx ?? (2 x ? x 2 )dx
1 0 1
1 2

2

1

2

1 ? 7 ?1 ? ? ? ? x 2 ? ? ? x 2 ? x3 ? ? . 3 ?1 6 ?2 ?0 ?
18.解:(1)∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)是奇函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x) 得 ?ax ? (a ? 1) x ? 48(a ? 2) x ? b = ?ax ? (a ? 1) x ? 48(a ? 2) x ? b ,
3 2 3 2

于是 2(a ? 1) x ? 2b ? 0 恒成立,∴ ?
2 3

?a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, b ? 0 ; ?b ? 0
2

(2)由(1)得 f ( x ) ? x ? 48 x ,∴ f ?( x ) ? 3x ? 48 ? 3( x ? 4)( x ? 4), 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?4, x2 ? 4 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 ?4 ? x ? 4 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?4 或
6

x ? 4.
∴ f ( x ) 的递减区间为 [?4,4] ,递增区间为 ( ??, ?4) 和 (4, ??) , ∴ f ( x )极大 ? f ( ?4) ? 128 , f ( x )极小 ? f (4) ? ?128 .

25 ? 104 500 k 4 ? 19.解:(1)由题意有 50 ? , , 解得 k ? 25 ? 10 , ∴ P ? x 100 x
2

∴总利润 L( x ) ? x ?

500 2 x3 2 x3 =? ? 1200 ? ? 500 x ? 1200( x ? 0) ; 75 75 x

(2)由(1)得 L?( x ) ? ? 令t ?

2 2 250 250 2 2 ,令 L?( x ) ? 0 ? x ? ? x , 25 x x 25

x ,得

则 x ? 25 ,所以当产量定为 25 时,总利润最大. 这时 L(25) ? ?416.7 ? 2500 ? 1200 ? 883 .

250 2 4 ? t ? t 5 ? 125 ? 25 ? 55 ,∴ t ? 5 ,于是 x ? t 2 ? 25 , t 25

答:产量 x 定为 25 件时总利润 L( x ) 最大,约为 883 万元. 20.解:(1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) ,
' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
' 2

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?
'

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4
' '

(2) 因为当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 21.解:(1) f '( x) ?

5 . 2

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ax ? 1 (1 ? x) 2 (ax ? 1)(1 ? x) 2
2

1 ∵ f ( x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1.

7

(2) f '( x) ?

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x) 2

∵ x ? 0, a ? 0,

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ?). ? a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

(3)当 a ? 2 时,由(2)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; 当 0 ? a ? 2 时,由(2)②知, f ( x) 在 x ?

2?a 2?a ) ? f (0) ? 1, 处取得最小值 f ( a a

综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). 22.解:(1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) , f ?( x) ? 故函数 f (x) 在 (1,??) 上是增函数; (2) f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ?0, x

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2 x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] , x

当 a ? ?2 时, f ?(x) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=时, f ?( x) ? 0 ), 故函数 f (x) 在 [1, e] 上是增函数,此时 [ f ( x)]min ? f (1) ? 1 . ∴当 a ? ?2 时, f (x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1. (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x ,可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ?1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2x ( x ?[1, e] ), x ? ln x
( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) x 2 ? 2x ( x ?[1, e] ),又 g ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 g ( x) ?

当 x ?[1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g '( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号),所以 g (x) 在 [1, e] 上为增函数,
8

故 g (x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,??) .

9


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