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2016年高三考前模拟试题-理科数学


高三第六次月考理科数学卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 )
2 1. 设 全 集 U ? R , 集 合 A ?

{x | x ? 1 ? 2} 和 B ? { y | y ? lg( x ? 10)} , 则 A ? (CU B ) ?



) A. {x | x ? ?1 或 x ? 3} C. {x | x ? 3} B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?1 或 x ? 1} ) D.2 )

2.复数 z ? A.-1

1 ? 2i (i 是虚数单位)的实部与虚部之和为( 1? i
B. -2
2

C. 1
2

3.下列函数中满足①图象等分圆 O: x ? y ? 1 的面积;②在 R 上单调递增的是( A. y ? x
3

B. y ? tan x

C. y ? x sin x

D. y ? e

?x

? ex


4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输出 S 的值为 16,则输入 m 的值为( A. 5 B.6 C.7 D.8 5. ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 开始 输入 m S=0,i=1 S=S+i i<m 否 输出 S

b sin A ?

1 c sin B ,则 cosC=( 2



2 A. 4
3 C. 4

2 B. ? 4
3 D. ? 4

i=i+2 是

6.已知数列 ?lg an ? 是首项为 ?1 ? lg 2 ,公差为 lg 2 的等差数列,设

Tn = a1 a2 a3 …an,则使 Tn 取最小值的 n 值为( ) A.3 B.4 结束 C.5 D.6 7.最近的两会提出了“去产能,促升级” ,为此处理了某企业,需要对该企业的某些员工进 行安置,若要把某四名员工安排进三个不同的部门,且每个部门至少一人,这样共有 n 种安 排方法,则在 ( x ? A. 4 项

1 n ) 的展开式中,有理项共有( ) 3 x
C. 6 项
2

B. 5 项
2

D. 7 项

8. 已知直线 l 由双曲线 x ? y ? 1 的渐近线向左平移两个单位得到,设直线 l 与抛物线

? x?2 ?2 ? 则在不等式组 ? 表示的区域中任取一点 P,则点 P 落在 y ? x 2 围成的封闭区域 M, 0 ? y ? 4 ? ?
区域 M 内的概率为( A. ) B.

7 16

9 16
2

C.

7 32

D.

9 32

9.已知函数 f ( x) ? 2 f ( ? x) ? x ? 8 x ? 8, 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与坐标 轴围成的三角形面积为( A. ) C.

21 2

B.

21 4

14 3

D.

3 2

?x ? y ? 2 ≥ 0 ? 10. 已知实数 x , 若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的唯一 y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ≥ 0 , ?2 x ? y ? 5 ≤ 0 ?

最优解是 (1 , 3) ,则双曲线 A. ( 2, ? ?)

x2 ? y 2 ? 1 离心率的取值范围是( a2
C. [1, 2)



B. (0, 2)

D. (1, 2)

11.已知函数 f ( x) ? (k ? 1) x ? ln x ,在区间 (0, ??) 内任取两个实数 p, q, 且p ? q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则 k 的取值范围是( p?q
A.(﹣∞,﹣2] C.[2,+∞) B. (﹣∞,﹣1] D.[1,+∞)



12. 如图, F1 , F2 分别为椭圆 C:

x2 y 2 ? ?1的 9 5

左、右焦点,A,B 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两 点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,设 AF2与BF1 的交点为 P,则 PF1 ? PF2 =( A. ) D.

21

B

13 . 3

C.3

13 2

第Ⅱ卷(13-21 为必做题,22-24 为选做题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡 相应的题号后的横线上)

13. 已知 m ? ( x,1), n ? (2, 2 y ? 1) ,若 m ? n 且 x ? y ? 0 ,则 ________. 14.一个几何体的三视图如图所示,且该几何体的体 积为

??

?

??

?

2 1 的最小值为 ? x ? 3y x ? y

4 3 ,则该几何体的表面积为_____________. 3

15.已知 ?ABC 为腰长为 1 的等腰直角三角形,C 为 直 角 顶 点 , 平 面 内 一 点 M 满 足

???? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ???? ???? CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB ? _________ 6 3
16.有下列四种说法: ①若 ? ~ B(4, 0.25) ,则 D? ? 1 ; ②已知直线 a 及三个不重合的平面 ? , ? , ? , 且? ? ? ? a , 则 ? ? ? , ? ? ? 是 a ? ? 的充要 条件. ③函数 f ( x) ? 3sin( ④方程

?
3

? 2 x) 图像关于直线 x ?

5? ? 5? ) 上是增函数 对称,且在区间 ( , 12 6 12

3x 1 ? | x 2 ? 2 x ? |? 1 有两个根. 2 2

其中错误的个数是__________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
17. (本小题满分 12 分) 设公比为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 8, S 2 ? 6 ,数列 {bn } 满足

bn ? log 2 an .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?cn ? 满足 cn ? sin ? ?

? bn ? ? , S n 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证:对任意 ? an ?

n ? N ? , Sn ? 2 ? ? .

18.(本小题满分 12 分) 2016 年两会就“南海问题” , “环保问题” “教育共给侧改革问题”等一系列问题召开了新闻 发布会,某学校高一年级要求每位同学至少观看上述三场发布会中的一场,高一(1)班学 生 50 名学生观看发布会的场数统计如图所示.

(Ⅰ)从该班中任意选两名学生,求他们观看发布会的场数不相等的概率;

(Ⅱ)从该班中任意选两名学生,用 ? 表示这两人观看发布会的场数之差的绝对值,求随机 变量 ? 的分布列及数学期望 E? ; (Ⅲ) 从该班中任意选两名学生, 用? 表示这两人观看的场数之和, 记 “方程 x ? ? x ? 1 ? 0
2

的根一个在区间(3,5)内,一个在区间(3,5)外”为事件 A,求事件 A 发生的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 SBCD 中, BC / / SD , AB ? SD , AB ? BC ? 2 AD ? 2 ,将此梯形沿 AB 折叠成四棱锥 S-ABCD,使 SB 与平面 SAD 所成的角为 450 , SD ? 5 ,M 是棱 SB 的中 点. (1)求证: SA ? 平面 ABCD; (2)求证:AM∥面 SCD; (3)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值. B C

S

A

D

20.(本小题满分 12 分)

y 2 x2 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a >b >0) 的长轴顶点分别为 B1 , B2 ,点 M 在椭圆上且异于 B1 , B2 两 a b
点, O 为坐标原点 , 直线 MB1 与 MB2 的斜率之积为 ?

???? ? ????? MB1 ? MB2 ? ?1 .

3 ,且当 M 位于短轴端点时, 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)从圆 O:x2 + y2 = 5 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B,试问∠APB 的大小是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (1)设函数 h( x) ? f ( x) ?

1? a ,讨论 h( x) 的单调性; x
'

(2)当 a ? ?1, x ? 0 时, f ( x) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值. ln( x ? 1) ? 1

选做题:请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,按所做的 第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)【选修 4-1:几何证明选讲】 如图, AB 是⊙ O 的直径,AB=4,D 为圆上一点,过点 D 作圆的切线 DE,过点 A 作 AE⊥DE 于点 E,交⊙ O 于点 C,CE=1.

(1)求证:AD 平分∠BAE; (2)求

AF 的值. DF

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4—4:极坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? ?1 ? t ( t 为 参 数 ), 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? y ? 1? t

? ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? ) ? m ? 0(m ? 0) , l 与 C 相交于 A B 两点.
4
(Ⅰ)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 AB ? 2 ,求 m.

24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a ,不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 . (1)求实数 a 的值; (2) 若 函 数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) 的 最 小 值 为 k , 且 m ? n ? k ( m ? 0, n ? 0) , 求

?

?

m2 ? 2 n2 ? 1 的最小值. ? m n

理科数学参考答案
一、选择题
1.【答案】 B 【解析】由于 A={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}, B ? { y | y ? 1} ,则 CU B ? { y | y ? 1} 故 A ? (CU B ) ? {x | ?1 ? x ? 1} . 考点:绝对值不等式的求解,对数函数求值域,集合的运算. 2.【答案】 C 【解析】分母实数化乘以它的共扼复数 1+i,

z?

1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? ?1 ? 3i 1 3 ? ? ?? ? i, 1? i 2 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ?
1 3 ,虚部为 ,从而实部与虚部之和为 1. 2 2

z 的实部为 ?

考点:复数的除法运算与复数的实部,虚部的概念. 3.【答案】 A 【解析】 y ? x 是奇函数,等分圆 O 面积,且在 R 上单调递增; y ? tan x 定义域不是 R;
3

y ? x sin x 是偶函数,不能等分圆 O 面积; y ? e ? x ? e x 在 R 上单调递减.
考点:函数的奇偶性,单调性. 4.【答案】B 【解析】根据程序框图,每步的执行结果为:

i ? 1, s ? 1 i ? 3, s ? 4
i ? 5, s ? 9 i ? 7, s ? 16

是 是 是 否

∴输入的 m 值为 6 考点:程序框图,循环结构. 5.【答案】B 【解析】a、b、c 成等比数列,b2=ac, 在△ ABC 中,由正弦定理 又 b sin A ?

a b ,可得 bsinA=asinB, ? sin A sin B

1 c sin B ,可得 c ? 2a ,所以 b2=2a2, 2

根据余弦公式 cos C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 3a 2 ? 4a 2 2 . ? ?? 2ab 4 2a 2a

考点:等比数列,正弦定理,余弦定理. 6.【答案】C 【解析】由题意得, lg a1 ? ?1 ? lg 2 ? ? lg 20 ? lg 又

1 1 ? a1 ? 20 20

lg an ?1 ? lg an ? lg

an ?1 a ? lg 2 ? n ?1 ? 2 , ?an ? 是等比数列. an an

从而 an ?

1 n ?1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1 ? a6 ,∴使 Tn 取得最小值的 n 为 5. 20

考点:等差数列的性质,等比数列前 n 项积的最值问题. 7.【答案】D.
1 1 2 【解析】 把某四名员工安排进三个不同的部门, 且每个部门至少一人, 共有 3C4 ? C3 ? C2 ? 36

种安排方法,? n ? 36 , ( x ?

1 n ) 的展开式的通项为: 3 x

Tr ?1 ? C ?
r 36

? x?

36 ? r

5 18 ? r ? 1 ? r ? ? 3 ? ? C36 ? x 6 , r ? 0,1, 2......36 ,若要是有理项,则 r ? 0,6, ? x?

r

12,18,24,30,36,所以共 7 项,故选 D. 考点:二项式系数的性质 8.【答案】D. 【解析】直线 l : y ? x ? 2 ,不等式组 ?

? ??2 ? x ? 2 ? x?2 ?2 即: ? ,作出两个区域如图所示: ? ?0 ? y ? 4 ?0 ? y ? 4

联立 ?

?y ? x ? 2 ?y ? x
2

消去 y 得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? ?1 .

∴区域 M 的面积为: S ? 而不等式组 ?

?

2

?1

( x ? 2) ? x 2 ?

1 2 1 9 , x ? 2 x ? x 3 |2 ?1 ? 2 3 2

? ? x?2 ?2 表示的区域的面积为 42 ? 16 , ? ?0 ? y ? 4

9 9 从而所求概率为 P ? 2 ? . 16 32
考点:定积分,几何概率模型. 9.【答案】B 【解析】∵ f ( x) ? 2 f ( ? x) ? x ? 8 x ? 8, ? f (? x) ? 2 f ( x) ? x ? 8 x ? 8
2 2

由以上两式可得 从而 f ' ( x) ? 2 x ?

f ( x) ? 4 f ( x ) ? 3x2 ? 8 x ? 24 ,解得

8 f ( x) ? x 2 ? x ? 8 3

8 14 35 35 14 , k ? f ' (1) ? , f (1) ? ,切线方程为: y ? ? ( x ? 1) 3 3 3 3 3

与坐标轴的交点为:(0, 7), ( ?

3 1 3 21 , 0) ,与坐标轴围成的三角形的面积为:S ? ? 7 ? ? . 2 2 2 4

考点:解方程组法求抽象函数的解析式,应用导数求切线方程. 10. 【答案】D 【解析】作出不等式组表示的可行域如图:

将 z ? y ? ax 变形可得 y ? ax ? z ,要使目标函数 y ? ax ? z 只在点 ?1,3? 处取得最大值, 则只需直线 y ? ax ? z 在过点 ?1,3? 时纵截距最大,由图分析可得 a ? k BD ,又 k BD ? 1 ,所 以 a ? 1 ,又所给双曲线的离心率为 e ?

a2 ? 1 1 ? 1 ? 2 ,故 e ? (1, 2) . 2 a a

考点:线性规划,求双曲线的离心率的取值范围. 11.【答案】D 【解析】不妨设 p>q,则 p-q>0,

?

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1? f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? p ? q , p?q

f ( p ? 1) ? ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? (q ? 1) .
令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,则由题意可知函数 g(x)在 (1, ??) 内单调递增,

g ( x) ? kx ? ln x , g ' ( x) ? k ?

1 1 ? 0 在 (1, ??) 内恒成立,? k ? ( ) max ? 1 . x x

考点:构造函数,由函数的单调性求参数的取值范围. 12.【答案】B 【解析】

两式相减得,

4 m ? 4 ? 4? 13 ? 4m ? ? ? 1 ,解得 ? ? 9 5

故 PF1 ? PF2 是定值

13 . 3

考点:直线与椭圆的位置关系.

二、填空题. 13.【答案】 3+2 2 . ?? ? 1 【解析】? m ? n ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,即: x ? y ? ,又 x ? y ? 0 ,则有 2

2 1 2 1 2(x ? y ) x ? 3y ? ?( ? )[( x ? 3y ) ? ( x ? y )] ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2. x ? 3y x ? y x ? 3y x ? y x ? 3y x? y
考点:两向量垂直的充要条件,基本不等式的变形及应用. 14.【答案】 8 ? 7 【解析】由三视图可知,该几何体是一个底面为矩形的四棱锥,设正视图中矩形的一条边长 为 2,另一条边长为 x ,则 V ?

1 4 3 , x ? 2, 所以该四棱锥的底面为正方形, ? 2x ? 3 ? 3 3

侧面为一个边长为 2 的正三角形,两个腰长为 2 的等腰直角三角形,还有一个腰长为 2 2 , 底边长为 2 的等腰三角形,从而表面积为

1 1 1 S ? 2? 2 ? ? 2? 2 ? ? 2? 2 ? ? 2? 7 ? 8 ? 7 . 2 2 2
考点:三视图还原,四棱锥的体积,表面积计算. 15.【答案】 ?

13 36
??? ? ??? ? ???? ? 2 1 3 6

【解析】以 C 为坐标原点,CA,CB 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则 C(0,0),A(1,0),B(0,1), CA ? (1, 0), CB ? (0,1), CM ? ( , )

???? ???? ???? 1 1 ???? 2 5 2 5 13 MA ? (? , ), MB ? ( , ? ) ,从而 MA ? MB ? ? ? ?? . 3 6 3 6 9 36 36
考点:向量的数量积运算的坐标表示. 16. 【答案】2. 【解析】① ? ~ B (4, 0.25), E? ? 4 ? 0.25 ? 1, D? ? 4 ? 0.25 ? 0.75 ? 0.75. 故①错误. ② 设 ? ? ? ? b, ? ? ? ? c , ? ? ? ? a , 过 a 上 一 点 A 作 AB ? b, AC ? c, 则

AB ? ? , AC ? ? ,从而 AB,AC 重合,即: a ? ? ,反之,也正确.故②正确.


5? ? ? 5? ? 5? ? ? ,∴ f ( x) ? 3sin( ? 2 x) 图像关于直线 x ? ) 时, 对称. x ? ( , 3 12 2 3 12 6 12 ? ? ? ? ? 5? 2 x ? ? (0, ) ,∴ f ( x) ? 3sin( ? 2 x) ? ?3sin(2 x ? ) 在区间 ( , ) 上是减函数.故 3 2 3 3 6 12 ? 2?

?

③错误.

3x 1 1 3 ? | x 2 ? 2 x ? |? 1 的根即为 | x 2 ? 2 x ? |? x ? 1 的根, 2 2 2 2 1 3 2 也是 f ( x) ?| x ? 2 x ? | 与函数 f ( x) ? x ? 1 的图像的交点 . 画出 2 2 1 3 2 函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? | 与函数 f ( x) ? x ? 1 的图像如图所示:函 2 2
④方程 数图像有 2 个交点,故原方程有 2 个根.故④正确. 考点: 二项分布的方差,两平面垂直的判定与性质,三角函数的对 称轴和单调性,函数的图像的交点个数问题.

三、解答题
17. 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n , bn ? log 2 2n ? n ; (Ⅱ)见解析.

?a1q 2 ? 8 【解析】 (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,则有 ? ?a1 ? a1q ? 6


解得

?a1 ? 2 ? ?q ? 2

an ? 2n , bn ? log 2 2n ? n .

即数列 {an } 和 {bn } 的通项公式为 an ? 2n , bn ? log 2 2n ? n . (Ⅱ)证明: cn ? sin(?

bn n ) ? sin( n ? ) an 2

? S n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ? 1 ? 1 ? sin
易知 当 x ? (0,

?
2

3? 4? n? ? sin ? ? ? sin n , 8 16 2

) 时,有 sin x ? x 成立,

? Sn ? 2 ?

3? 4? n? ? ?? n 8 16 2 3? 4? n? 令T ? ① ? ?? n 8 16 2 1 3? 4? n? 则 T ? ② ? ? ? ? n ?1 2 16 32 2 1 3? ? ? ? n? ①- ②得 T ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 8 16 32 2 2 ? 1 [1 ? ( ) n ?3 ] 3? 16 n? 2 ? ? ? n ?1 1 8 2 1? 2 n?2 从而 T ? ? ? n ? ? ? 2


Sn ? 2 ? ? .
29 33 3 ; (Ⅱ)分布列见解析,期望值为 ; (Ⅲ) . 49 49 7

考点:等比数列的通项公式,错位相减求和,放缩法证明不等式. 18.【答案】 (Ⅰ)

【解析】 (Ⅰ)从该班任取两名学生,他们观看的场数恰好相等的概率:
P 1 ?
2 2 C5 ? C2 20 25 ? C 20 , ? 2 C50 49

20 29 . ? 49 49 (Ⅱ)从该班中任选两名学生,用 ? 表示这两名学生观看场数之差的绝对值,

故 P2 ? 1 ?

则 ? 的可能取值分别为:0,1,2. P( ? =0)= P( ? =1)=
20 , 49
1 1 1 C1 25 5 C 25 ? C 20 C 25 , ? 2 C50 49

P( ? =2)=

1 C1 4 5 C 20 , ? 2 C50 49

从而 ? 的分布列为: ? 0 P E( ? ) ? 0 ?
20 49

1
25 49

2
4 49

20 25 4 33 +1 ? +2 ? = . 49 49 49 49

(Ⅲ)设函数 f ( x) ? x 2 ? ? x ? 1 ,∵ 2 ≤ ? ≤ 6 ,∴ f ( x) 在区间(3,5)上为增函数,

由题意, 方程 x 2 ? ? x ? 1 ? 0 的根一个在区间 (3, 5) 内, 一个在区间 (3, 5) 外? ?
8 24 , ∴ ?? ? 3 5

? f (3) ? 0 ? f (5) ? 0

又由于 ? 的取值分别为:2,3,4,5,6,故 ? ? 3或4 , 故所求的概率为: P( A) ?
1 1 1 2 C1 3 5 C 25 ? C 20 C5 ? C 25 ? . 2 C50 7

考点:随机事件发生的概率,离散型随机变量的分布列及期望. 19. 【答案】(1)见解析; (2)见解析; (3)

6 3 .

【解析】 (1)由题意知,在四棱锥 S-ABCD 中, AB ? AD, AB ? AS , ∴ AB ? 平面 SAD ,从而 SB 与平面 SAD 所成的角为 ?BSA ,即:

?BSA ? 450 ,? SA ? AB ? 2,
又 AD ? 1, SD ? 5 ,? SA2 ? AD 2 ? SD 2 ,从而 SA ? AD , 又 AB ? AS

AB ? AD ? A

∴ SA ? 平面 ABCD.

(2) 以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

A(0,0,0) , B(0,2,0) , C (2,2,0) , D(1,0,0) , S (0,0,2) , M (0,1,1) .
则 AM ? ? 0,1,1? , SD ? ?1, 0, ?2 ? , CD ? ? ?1, ?2, 0 ? .

???? ?

??? ?

??? ?

? 设平面 SCD 的法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则

z S M B N A D x y C

? ?SD ? n ? 0, ? x ? 2 z ? 0, ?? 即? ? ?? x ? 2 y ? 0. CD ? n ? 0 , ?
令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1 ,于是 n ? (2,?1,1) .

? AM ? n ? 0 ,? AM ? n .
? AM∥平面 SCD.
(Ⅱ)易知平面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? . 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ? , 则

??

?? ? ?1, 0, 0 ? ? ? 2, ?1,1? ? 2 ? 6 ,即 cos? ? 6 . n1 ? n cos? ? ?? ? ? 3 3 1? 6 1? 6 n1 ? n
? 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为

6 . 3

考点:空间直线与平面的平行,垂直关系的证明,二面角的计算. 20.【答案】 (1)

y 2 x2 ? (2)∠APB 的大小为定值,且这个定值为 ? ? 1; 3 2 2. y ? a y ? a y2 ? a2 ? ? ( x ? 0) x x x2

【解析】 (1) 设 M ( x, y ), B1 (0, a ), B2 (0, ?a ) , 则 k MB1 ? k MB2 ?

由题意, M 在椭圆 C 上,可得

y 2 x2 x2 a2 2 2 2 2 , ? ? 1 ? y ? a (1 ? ) ? a ? x , a 2 b2 b2 b2

kMB1 ? kMB2 ?

y ?a ? x2
2 2

?

a2 2 x a2 3 b2 ? ? ? ? ,即 2a 2 ? 3b 2 ① 2 2 x b 2

当 M 在短轴端点时,不妨设 M(b,0), 则 MB1 ? (?b, a ), MB2 ? (?b, ? a ), MB1 ? MB2 ? b ? a ? ?1 ②
2 2

???? ?

?????

???? ? ?????

由①②得

a 2 ? 3, b 2 ? 2
y 2 x2 ? ? 1. 3 2

∴椭圆 C 的方程为:

(2)当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时, 根据对称性,不妨设点 P 在第一象限,则此时点 P 的横坐标为 2 ,代入圆 O 的方程得点 P 的纵坐标是 3 , 因此这两条切线所在的方程分别为 x ? 若角 APB 的大小为定值,则这个定值只能是 当这两条切线的斜率都存在时, 设点 P ( x 0, y 0 ) ,过点 P 的切线的斜率为 k0 ,则切线方程为: y ? y0 ? k0 ( x ? x0 )

2 , y ? 3 , 因此 ?APB ?

?
2

,所以

?
2

(8 分)

联立

? y ? y0 ? k0 ( x ? x0 ) ? 2 消去 y 得 ?y x2 ? ? 1 ? 2 ?3

由于直线 y ? y 0 ? k 0 ( x ? x 0 ), 是椭圆 C 的切线,

故 ? ? ?4k 0 ( y 0 ? k 0 x 0 )? ? 4(3 ? 2k 0 ) 2( y 0 ? k 0 x 0 ) ? 6 ? 0,
2 2 2
2 2 整理得: 2 ? x 0 k 02 ? 2 x0 y 0 k 0 ? ( y 0 ? 3) ? 0,

?

?

?

?

2 y0 ?3 设切线 PA,PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则 k1 , k 2 是上述方程的两个实根,故 k1 k 2 ? ? , 2 2 ? x0

2 2 又点 P ( x 0, y 0 ) 在圆 x ? y ? 5 上,故 x 0 ? y 0 ? 5 所以 k1 k 2 ? ?1 ,所以 ?APB ?

2

2

?
2

.

综上可知,∠APB 的大小为定值,且这个定值为

?
2

.

考点:数量积运算,椭圆的标准方程,直线与椭圆,直线与圆的位置关系综合应用. 21.【答案】 (1)当 a>-1 时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递 增;当 a≤-1 时,h(x)在(0,+∞)上单调递增;(2) kmax ? 3 . 【解析】 (1) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为 (0,??) , x a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] h ' ( x) ? 1 ? ? 2 ? ? x x x2 x2

' ①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 h ( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a

令 h ( x) ? 0 ,? x ? 0,? 0 ? x ? 1 ? a
'

②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, h ( x) ? 0 恒成立,
'

综上:当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减,在 (a ? 1,??) 上单调递增. 当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0,??) 上单调递增. (2)当 a ? ?1, x ? 0 时, f ( x) ?
'

k 恒成立, ln( x ? 1) ? 1

x ?1 [1 ? ln( x ? 1)] 在 (0, ??) 上恒成立, x x ?1 x ? 1 ? ln( x ? 1) 取 h( x ) ? , [1 ? ln( x ? 1)] ,则 h ' ( x) ? x x2 1 x 再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? ? ? 0, x ?1 x ?1
即k ? 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 x0 ? (2,3), x0 ? 1 ? ln( x0 ? 1) ? 0 , 故 x ? (0, x0 ) 时, g ( x) ? 0; x ? ( x0 , ??) 时, g ( x) ? 0,


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