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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《函数模型及其应用》 Word版含解析


函数模型及其应用
【选题明细表】 知识点、方法 一次函数、二次函数模型 分段函数模型 指数函数模型 其他问题 一、选择题 1. (2013 浙江温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式: 题号 1、3、11 4、6、7、10 2、8、12 5、9

A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元) 的函数关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( A ) (A)10 元 (B)20 元 (C)30 元 (D) 元 解析:依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, 得 k-m=-0.2, 于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元,选 A. 2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据: x y -2 0.24 -1 0.51 0 1 1 2.02 2 3.98 ) 3 8.02

则下列函数与 x,y 的函数关系最接近的是(其中 a,b 为待定系数)( B x (A)y=a+bx (B)y=a+b (C)y=ax +b
2

(D)y=a+

解析:由数据知 x,y 之间的函数关系近似为指数型,故选 B. 3.(2013 海口市调研)若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃 烧 5 cm,则燃烧剩下的高度 h(cm) 与燃烧时间 t(小时) 的函数关系用 图象表示为( B )

解析:根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为 B. 4.(2013 福州模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在 280 万元及以下的税率为 p%,超过 280

万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是 ( D ) (A)560 万元 (B)420 万元 (C)350 万元 (D)320 万元 解析:设该公司的年收入为 x,纳税额为 y, 则由题意,得 y=

依题意有,

=(p+0.25)%.

解之得 x=320(万元). 故选 D. 5.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果 如下表. 表 1 市场供给量 单价(元/kg) 供给量(1000 kg) 2 50 2.5 60 3 70 3.3 75 3.5 80 4 90

表 2 市场需求量 单价(元/kg) 需求量(1000 kg) 4 50 3.5 60 3.2 65 2.8 70 2.4 75 2 80

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在的区间是 ( C ) (A)(2.4,2.5) (B)(2.5,2.8) (C)(2.8,3) (D)(3,3.2) 解析:由表 1、表 2 可知,当市场供给量为 60~70 时,市场单价为 2.5~3,当市场需求量为 65~70 时,市场单价为 2.8~3.2,所以市场供需平衡点应在 2.8~3 内,故选 C. 6.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数 y=f(x)的图象,当血液中 药物残留量不小于 240 毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效,

则第二次服药最迟的 时间应为( C ) (A)上午 10:00 (B)中午 12:00 (C)下午 4:00 (D)下午 6:00 解析:当 x∈[0,4]时,设 y=k1x, 把(4,320)代入,得 k1=80, ∴y=80x. 当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b.

把(4,320),( 20,0)代入得

解得 ∴y=400-20x. ∴y=f(x)=

由 y≥240,得



解得 3≤ x≤4 或 4<x≤8, ∴3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午 4:00.故选 C. 二、填空题 7.(2013 河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动, 规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠;②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元,其中 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的 部分给予 7 折优惠,辛云和她母亲两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设她们一次性购买 上述同样的商品,则应付款额为 元. 解析:依题意,价值为 x 元商品和实际付款数 f(x)之间的函数关系式为 f(x)= 当 f(x)=168 时,168÷0.9≈187<200,故此时 x=168; 当 f(x)=423 时,423÷0.9=470∈(200,500], 故此时 x=470. 所以两次共购得价值为 470+168=638 元的商品, 又 500×0.9+(638-500)×0.7=546.6 元, 即若一次性购买上述商品,应付款额为 546.6 元. 答案:546.6 3 8.(2013 长春模拟)一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏 -bt 3 出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae (cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析:依题意有 a·e
-b×8

= a,

∴b=

,

∴y=a·

若容器中只有开始时的八分之一, 则有 a· = a.

解得 t=24, 所以再经过的时间为 24-8=16 min. 答案:16 9.某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售 额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总 额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是 . 2 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%) , 则一月份到十月份的销售总额是 2 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ], 2 2 根据题意有 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ]≥7000,即 25(1+x%)+25(1+x%) ≥66, 2 令 t=1+x%,则 25t +25t-66≥0, 解得 t≥ 或 t≤- (舍去),

故 1+x%≥ , 解得 x≥20.故 x 的最小值为 20. 答案:20 三、解答题 10.(2013 南充高中第六次月考)今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后 的第一个重大节假日,10 月 3 日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重 庆游玩.该车队是由 31 辆车身长都约为 5 m(以 5 m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个 长为 2725 m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25 m/s).匀速通过该隧道时,设车队的速度为 x m/s.根据安全和车流的需要,当 0<x≤12 时,相邻两车之间保持 20 m 的距离;当 12<x≤25 时, 相邻两车之间保持 m 的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所

用的时间为 y(s). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度. 解:(1)当 0<x≤12 时, y= 当 12<x≤25 时, y= = = ;

=5x+

+10,

所以,y= (2)当 0<x≤12 时,在 x=12(m/s)时, ymin= =290( s);

当 12<x≤25 时,y=5x+

+10≥2

+10=250(s),

当且仅当 5x=

,即 x=24(m/s)时取等号.

因为 x=24∈(12,25], 所以当 x=24(m/s)时,ymin=250(s). 因为 290>250,所以当 x=24(m/s)时,ymin=250(s). 即该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250 s 及此时该车队的速度为 24 m/s. 11.(2013 内江市第一次模拟)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价 不低于成本单价,且获利不得高于 45%, 经试销发现,销售量 y(件)与销售单价 x(元)满足 y=-x+120. (1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (2)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的 范围. 解:(1)设该商场获得利润为 W 元,则 2 2 W=(x-60)(-x+120)=-x +180x-7200=-(x-90) +900, 由题意可知 60≤x≤87. 2 ∵函数 W=-x + 180x-7200 在区间[60,87]上是增函数, 2 ∴当 x=87 时,Wmax=-(87-90) +900=891. ∴当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元. 2 (2)由 W≥500,得-x +180x-7200≥500, ∴70≤x≤110. 又∵60≤x≤87,∴70≤x≤87, ∴销售单价 x 的范围是[70,87]. 12.(2013 武汉模拟)我国加入 WTO 时,根据达成的协议,若干年内某产品市场供应量 p 与关税的 关系近似满足 p(x)= (其中 t 为关税的税率,且 t∈ ,x 为市场价格,b,k 为正常数),

当 t= 时的市场供应量曲线如图所示.

(1)根据图象,求 b,k 的值; (2)记市场需求量为 a,它近似满足 a(x)= ,当 p=a 时的市场价格称为市场平衡价格.

当市场平衡价格控制在不低于 9 元时,求关税税率的最小值. 解:(1)由题图知,t= 时,



解得

(2)当 p=a 时,得

=

,

解得 t=

=

=

-

.

令 m=

,

∵x≥9, ∴m∈ ,

∴t=- (17m -m-2),

2

∴对称轴为 m= ∈

且开口向下.

∴m= 时,t 取得最小值 此时 x=9,

,

所以税率 t 的最小值为

.


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