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利用函数图像+“秒杀”高考难题


上海中学数学?2014年第、12期

利用函数图像
324002

“秒杀"高考难题
叶水爱

浙江省常山县第一中学

近年来,浙江省高考理科试题中多次出现“乘积 结构”类型的函数试题(2013年第8题,2012年第 17题,2011年第10题,2010年第22题),这些题都 属于

高考难题。通过分析研究,从这些试题乘积结构 的共同特征出发,攻坚克难,笔者发现了几乎可以 “秒杀”此类题的巧妙方法:穿针引线法。 穿针引线法,主要用于函数图形的大体画法:先 求出函数的零点,再从最右上开始穿(z最高次为正 数),遇到奇数次的零点就穿过,遇到偶数次的零点略 过(简称“遇奇穿过,遇偶反弹”原则),利用此法可以 快速绘出乘积结构型函数的基本图像,方便对函数的 整体趋势的判断,在解题中起到“穿针引线”作用. 例1(2013浙江理一8)已知e为自然对数的底 数,设函数厂(z)一(矿一1)(z一1)6(k=1,2),则
( )

0,利用穿针引线的方法画出函数,(z)图像(如图 1),易知1和0都不是函数厂(z)的极值点.
,(工)=(e。一1)(x—1)‘(七=1,2)



一5

\ …5 \
—2 -4



图1

当k=2时,.厂(z)=0有两个重根z一1和根z 一0,由穿针引线,遵循“遇奇穿过,遇偶反弹”的原则 画出函数厂(z)图像(如图2),容易发现z一1是函 数厂(z)的极小值点.故选C. 例2(2012浙江理一17)设盘∈R,若x>0肘 均有[(a一1)X一1](z2~ax—1)≥0,则a一
●___________‘●__________●。-。。一●

A.当奄一1时,.厂(z)在z一1处取到极小值 B.当k一1时,.厂(z)在z一1处取到极大值 C.当k一2时,,(z)在z一1处取到极小值 D.当k一2时,.厂(z)在z一1处取到极大值 解:当志=1时,.厂(z)有两个零点z=1和z一

解:由已知易得口一1>0,令,(z)=[(口~1)z 一1J(x2一口z一1),易知方程z2一口z一1=o两根之

断和纠错的题型,可以使学生深刻理解知识,培养思 维的深刻性. 重视对比,注意运用反例和特例.反例和特例有 鲜明的直观特征,这是由于学生解题时往往错误地 运用基本概念、性质或忽视公式、定理等的使用条件 而得出一些错误的结论.为了引起学生的注意,教学 时可有意搜集一些学生易犯而又意识不到的错误结 论,找出致误原因并展示,这样既易于学生接受,也 利于克服思维定势,深化思维,是消除思维定势负迁 移的有效方法之一. (二)重视数学思想方法的教学 经常性地对所学的知识进行比较与分类,可以 使知识系统化;观察和实验,有助于发现一些数学事 实;演绎与归纳,使逻辑严密;利用数形结合思想解 题,能使问题变得更加形象、直观、简洁,使学生数学 认识得到深化.教学实践中,多采用这类方式和方 法,对学生数学学习的帮助极大,对数学思维的发展 也有很多益处. (三)诱导思维定势的正迁移 当思维定势的正迁移发生作用时,其负迁移作

用自然就消失了. 应用波利亚的“怎样解题表”.坚持让学生按照 波利亚的“怎样解题表”的步骤来解答数学问题,让 学生不再为解题而解题,在解题的过程中逐渐养成 不断思考的习惯,在解题中经常自觉复习知识,使知 识逐渐系统化,诱导学生数学思维定势的正迁移作 用的发生. 重视解题反思,避免思维僵化,使思维定势向正 迁移方向发生作用.在实现用常规方法解题后,要引 导学生养成解题后反思的习惯:你能检验这一结果 或论证吗?你能用不同的方法引导出这一结果吗? 有没有更为简单和直观的方法?你能把这一结果或 方法用于其他问题吗?通过回顾所完成的解答,通 过重新考虑检查这个结果和得出这一结果的思路, 学生们可以巩固知识,发展解题能力,进而培养良好 的思维品质. 在教学中,教师可以做到尽量避免负迁移作用 的发生,让学生的学习更加顺利,对数学的理解更加 深刻.

万方数据

上海中学数学?2014年第12期

47

注重比较分析选择

优化解几解题策略

——解答解析几何问题的基本策略观点
200135

上海市建平中学

徐程

解析几何的学习在高中数学中占有非常重要的 地位.它既注重学生将几何问题转化为代数问题的 能力的培养,又注重学生数学运算能力的培养.特别 是涉及多元变量问题的处理中,如何制定合理运算

程序、选择有效策略,将考验学生分析问题、解决问 题和综合运算的能力.而现实是,学生在解决综合问

题时总是感到运算过程繁琐,运算目标朦胧;构建运
算代数式容易,做出运算结果困难;解题总是陷入会

,(x)=(e。一lXj—1)‘(||}=1,2)


例3(2010浙江理一22)已知a是给定的实常 数,设函数.厂(z)=(z一口)2(z+6)矿,bE R,z—n是 .厂(z)的一个极大值点,求6的取值范围. 解:由已知得方程厂(z)一0有三个根:两个相 等的实数根z—a和另一根z一一b,若a=一b,则 z=n不是.厂(z)的一个极大值点.若口≠b,由穿针引 线法画出图像(如图6),知口>一6时,z一口是函数 厂(z)的一个极小值点;要使.r=a是函数.厂(z)的一 个极大值点,只有a<一b,所以b的取值范围是 6<一a.(如图7)
f(x)=(x一口)2(x+b)ex
Y 4

4 2
一,

x-S"""/42
图2 1
z3




积小于0,所以两根为一正一负,设z,<o,z:>o,记

2—a--—1‘
若z。>z:,由穿针引线法,画出函数,(z)图像

(如图3),知厂(z)在(z:,z。)上函数值小于0. 同样地,如图4,若O<x。<z。,则厂(z)在(z。, z。)上函数值小于0.要使x>O时均有E(a一1)z一 1](z2一口z一1)≥o,由穿针引线法知(如图5),只有



—了—、-.../

户 {|/


一2
-4

当=三是方程z2--ax--1—0的正根时成立.把z=

孑与代入方程X2--ax--1一o,求得口一虿3.
/(x)=【(口一1)x一1】(x2一ax—1)
4 2


图6

,∽=O一口)20+6矿
4. 2

二\./

x?-5芦
图3


\/5

工-5

:/ _厶
4 2


∥/
/、,







5●、



弋U
一-8fi 一10

图4
4 2 |

一5|




图7

从上可见,穿针引线方法虽简,但解题效率很


1[2

高.从解题步骤来看,要按两步走设计:首先看方程 ,(z)一0的根的个数,然后根据“遇奇穿过,遇偶反 弹”的原则,画出乘积结构函数的图像,轻松“秒杀” 高考难题.




图5

万方数据


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