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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教、学案)


2. 4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的

概念: 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角. 说明: (1)当 θ=0时, a 与 b 同向; (2)当 θ=π 时, a 与 b 反向; (3)当 θ=

? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围是 0?≤?≤180? (2)两向量共线的判定定理 (3)练习 1.若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 ) D.3

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1

(4)力做的功:W = | F || s |cos?,?是 F 与 s 的夹角.

功是标量,力和位移是向量,功是由力和位移确定的,类比这种运算,我们引入“数量积”的概念。 二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 θ,

1

则数量│ a ││ b │cos? 叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即有 a ? b = │ a ││ b │cos?, (其中0≤θ≤π). 并规定: 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? 【平面向量数量积的几点说明】 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ? b ;书写时要特别注意:.符号“ ? ”在向量运算中不是乘 号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a ? 0 ,且 a ? b =0,不能推出 b = 0 因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a ? b = b ? c 如右图: a ? b = │ a ││ b │cos? = │ b ││OA│,

a =c

b ? c = │ b ││ c │cos? = │ b ││OA│
? a ? b =b ? c 但a ? c

(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图

定义:│ b │cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 当? = 0?时投影为│ b │; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为 0;

当? = 180?时投影为 ?│ b │.

2

3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影│ b │cos?的乘积. 探究 1、 :两个向量的数量积的性质:设 a 、 b 为两个非零向量, 1、 a ? b ? a ? b = 0 2、当 a 与 b 同向时, a ? b = | a || b |; 特别的 a ? a = | a |2 或 a ? 探究 2、 :平面向量数量积的运算律 (1) .交换律: a ? b = b ? a (2) .数乘结合律:( ? a )? b = ? ( a ? b ) = a ?( ? b ) (3) .分配律:( a + b )? c = a ? c + b ? c 说明: (1)一般地,( a · b )c ≠a (b · c) (2) a · c =b · c ,c ≠0


当 a 与 b 反向时, a ? b = ?| a || b |.

a?a

a ?b
│ a ? b │ ≤| a || b | cos? = a b

a =b


(3)有如下常用性质: a =| a | , (a +b ) ( c + d )= a · d +b · d c+a · c +b · 三、讲解范例: 例 1.证明:①( a + b ) = a +2 a · b +b
2 2 2

②( a + b ) ? ( a - b )= a - b




例 2.已知│ a │=12,│ b │=9, a ? b ? ?54 2 ,求 a 与 b 的夹角θ 。

? ?

?

?

3

例 3.已知│ a │=6,│ b │=4, a 与 b 的夹角为 60o 求: (1)( a +2 b )· ( a -3 b ). (2)│ a + b │与│ a - b │.

( 利用

a ? a?a



例 4.已知│ a │=3,│ b │=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直.

四、课堂练习: 1.课后练习 1、2、3、题

2.已知│ a │=8,│ b │=10,│ a + b │=16, a 与 b 的夹角θ 的余弦.

五、课堂小结: 1.平面向量的数量积及其几何意义; 2.平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.向量垂直的条件. 六、作业布置:习题 2.4 A 组 1、2、3、题

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