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2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用


第十二节 定积分的概念与微积分基本定理、 定积分的简单应用

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)定积分的概念、几何意义与性质: ①定积分的定义及相关概念: 一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<?<xi1<xi<?<xn=b,将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi] 上任取一点ξ i(i=1,2,?,n),作和式
n n

? f (?i )?x=?
i ?1 i ?1

b?a f (?i ), 当n→∞ n

时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b] 上的定积分,记作 ? f (x)dx . a
b



?

b

a

[a,b] 叫做 f (x)dx 中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间______

积分变量 f(x)dx 叫做被 积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做_________,_______
积式.

②定积分的几何意义: f(x) f(x)≥0 f(x)<0 边梯形的面积 x=a x=b 表示由直线____,____,y=0 及曲线y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积的相反数

?

b

a

f (x)dx 的几何意义

x=a x=b 表示由直线____,____,y=0 及曲线y=f(x)所围成的曲

f(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方 上有正有负 的曲边梯形的面积

③定积分的性质:
(ⅰ) ?
b a

k ? f ? x ? dx kf(x)dx=__________(k为常数 ).
a b b

b

?a f1 ? x ? dx ? ?a f 2 ? x ? dx (ⅱ) ?a [f1(x)±f2(x)]dx=___________________.
b

?a ? ? (ⅲ)_________=
f x dx

b

?

c

a

f ? x ? dx+? f ? x ? dx (其中a<c<b).
c

b

(2)微积分基本定理: 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么

?

b

a

F(b)-F(a) 这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱 f (x)dx =__________,

布尼茨公式.

(3)定积分的应用:

①定积分与曲边梯形面积的关系:

设阴影部分的面积为S.
(ⅰ)S= ? f(x)dx.
a b

-? f ? x ? dx (ⅱ)S=___________. a

b

?a f ? x ? dx-?c f ? x ? dx (ⅲ)S=________________.
(ⅳ)S= ? f(x)dx- ? g(x)dx= ?a [f(x)-g(x)]dx.
a a b b b

c

b

②定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系:

?a ?a F ? x ? dx (ⅰ)s=_______.(ⅱ)W=________.

b

v ? t ? dt

b

2.必备结论

教材提炼

记一记

设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 (1)若f(x)是偶函数,则 ? f(x)dx=2 ? f(x)dx.
?a a 0 a a

(2)若f(x)是奇函数,则 ? f(x)dx=0.
?a

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:利用定积分求曲边梯形面积的方法.

(2)数学思想:数形结合、分类讨论.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判
b a

(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 ? f(x)dx= (2)定积分一定是曲边梯形的面积.(
b a

? f(t)dt.(
a

b

)

)

(3)若 ? f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定 在x轴下方.( )

【解析】(1)正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关 ,与

积分变量用什么字母表示无关.
(2)错误.不一定是,要结合具体图形来定.

(3)错误.也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积.
答案:(1)√ (2)× (3)×

2.教材改编

链接教材

练一练
3

(1)(选修2-2P55B组T1(3)改编) ?1 3xdx=
x 3 3 3 3 24 3 【解析】? 3 dx ? |1 ? ? ? . 1 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 答案: 24 ln 3 3 x

.

(2)(选修2-2P60A组T6改编)汽车以36km/h的速度行驶,到某处需要减
速停车,设汽车以等减速度a=2m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走

的距离是

m.

【解析】先求从刹车开始到停车所用的时间:t=0时, v0=36km/h=10m/s, 刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=10-2t, 由v(t)=0可得:t=5s, 所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为 ? v(t)dt=
0 5

? (10-2t)dt=
0

5

(10t-t2)|5 =25(m). 0 即汽车从开始刹车到停住,共走了25m. 答案:25

3.真题小试

感悟考题

试一试
2dx,s = x 2 ?
1 2

(1)(2013·江西高考)若s1= 大小关系为( A.s1<s2<s3 C.s2<s3<s1
3

?

2

1

1 dx,s3= x

xdx,则s ,s ,s 的 e 1 2 3 ?
1

2

) B.s2<s1<s3 D.s3<s2<s1
3 3

1 7 2 【解析】选B.因为 s1 ? 1 x 3 |1 ? (23 ? 13 ) ? <3;
2 2 s2=ln x|1 =ln2-ln1=ln2<1;s3= ex |1 =e2-e>3.

所以s2<s1<s3.

(2)(2014·山东高考)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭

图形的面积为(
A.2 2

)
B.4 2
? y ? 4x, ?y ? x ,
3

C.2

D.4

【解析】选D.由 ?
2 0

得交点为(0,0),(2,8),(-2,-8),
4

2 所以S= ? (4x-x3)dx=(2x2- 1 x4) |0 =4,故选D.

(3)(2015·贵阳模拟)已知t>1,若
t 1

2,则t= (2x+1)dx=t ?
1

t

.

【解析】? (2x+1)dx=(x2+x) |1t =t2+t-2, 从而得方程t2+t-2=t2,解得t=2. 答案:2

考点1

定积分的计算

【典例1】(1)(2014·江西高考)若f(x)=x2+2

? f(x)dx,则
0

1

?

1

0

f(x)dx=(
B. ?

)
1 3 C. 1 3 D.1
1

A. ? 1

(2)(2015·石家庄模拟) ? ( 1 ? x 2 ? 1 x )dx=_______. 0
2

【解题提示】(1)利用方程思想求解.
(2) ?
1 0

1 ? x 2 dx利用定积分的几何意义求解.

【规范解答】(1)选B.设 ? f (x)dx ? c, 0 则c= ? (x 2 ? 2c)dx ? ( x 3 ? 2cx) |1 ? 2c, 0? 0 解得c= ? 1 .
3 2
1

1

1 3

1 3

(2) 1 ( 1 ? x 2 ? 1 x)dx ? 1 1 ? x 2 dx ? 1 1 xdx, ?0 ?0 ?0
2

因为

?

1

0

2 2 1 ? x 2 dx 的几何意义是单位圆x +y =1(x≥0,y≥0)与坐标轴围
1

成区域的面积,所以 ? 1 ? x 2 dx ? ? , 0

4 11 1 1 1 1 1 1 ? ?1 2 又 ? xdx ? x 2 |1 则 ? , ( 1 ? x ? x)dx ? ? ? ? . 0 ? 0 2 0 4 4 2 4 4 4 答案:? ? 1 4

【互动探究】若本例(1)条件变为“若 ? (2x ? 1 )dx ? 3 ? ln 2 (a>1)”, 1
a

x

试求a的值.
1 2 a 2 (2x ? )dx ? (x ? ln x) | ? a ? ln a ? 1 ? 3 ? ln 2, 1 ?1 x 2 a ? 1 ? 3, 解得a=2. 所以 ? ? ?ln a ? ln 2,

【解析】由

a

【规律方法】计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常 数的积的和或差.

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分.
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数.

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值.
(5)计算原始定积分的值.

提醒:根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.

【变式训练】(2014·湖北高考)若函数f(x),g(x) 满足

?

1

?1

f (x)g(x)dx

=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1] 上的一组正交函数,给出三组 函数: ①f(x)=sin 1 x,g(x)=cos 1 x;
2 2

②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x2, 其中为区间[-1,1]的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

1 1 1 1 【解析】选C.对于①, ??1 (sin 2 x ?cos 2 x)dx ? ??1 ( 2 sin x)dx 1 ? ? cos x |1 , ?1 ? 0 2 1

则f(x),g(x)为区间[-1,1]上的正交函数; 对于②, ? (x ? 1)(x ? 1)dx ? ? (x 2 ? 1)dx ? ( x 3 ? x) |1 ? 0, ?1 ? ? ?1 ?1
1 1

1 3

4 3

则f(x),g(x)不为区间[-1,1]上的正交函数;
对于③,? x 3dx ? ( x 4 ) |1 , ?1 ? 0 ?1
1

1 4

则f(x),g(x)为区间[-1,1]上的正交函数.
所以满足条件的正交函数有2组.

【加固训练】求下列定积分. (1) ? | 3 ? 2x |dx. 1 (2) ? (3x 3+4sin x)dx. ?5
5
2

3 ? 3 ? 2x , 1 ? x ? , ? 2 【解析】(1)因为|3-2x|= ? ? 3 ? 2x ? 3, ? x ? 2, 2 ? 2 ? 所以 ? | 3 ? 2x |dx
? ? | 3 ? 2x |dx+?2 | 3 ? 2x |dx
3 3 2 1
1

2

? ? (3 ? 2x)dx ? ?2 (2x ? 3)dx
3

3 2 1

2

3 3 2 3 2 3 2 2 ? (3x ? x ) | ?(x 2 ? 3x) |2 ? [3 ? ? ( ) ] ? (3 ? 1 ? 1 ) ? (2 ? 3 ? 2) ? [( ) ? 3 ? ] 3 2 2 2 2 2
2

3 2 1

?

9 9 9 9 1 ? ? 2 ? (?2) ? ? ? . 2 4 4 2 2

(2) ? (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线y=f(x)=3x3+
?5

5

4sin

x所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上方的面积取正号,

在x轴下方的面积取负号. 又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x), 所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数, 所以 ? 所以 ?
0 ?5 5

(3x3+4sin (3x3+4sin

x)dx=- ? (3x3+4sin x)dx,
0

5

?5

x)dx= ??5

0

(3x3+4sin

x)dx+

? (3x3+4sin
0

5

x)dx=0.

考点

定积分在物理中的应用

【典例】(1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇 到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+ 25 (t的单位:s,v的单位:m/s)
1? t

行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln5 C.4+25ln5 B.8+25ln 11
3

)

D.4+50ln2

? x 2 ,0 ? x ? 1 , (2)(2015·郑州模拟)已知作用于某一质点的力F(x)= ? ? x ? 1,1 ? x ? 2

(单位:N),则力F(x)从x=0处运动到x=2处(单位:m)所做的功为
__________. 【解题提示】(1)先求出行驶至停止时所用时间,然后利用定积分求 出汽车行驶的距离. (2)分别在积分区间[0,1]和[1,2]求定积分.

【规范解答】(1)选C.7-3t+

?

4

0

(7 ? 3t ?

25 3 4 )dt ? [7t ? t 2 ? 25ln(1 ? t)] |0 ? 4 ? 25ln 5. 1? t 2

25 =0,t=4或t=- 8 <0,舍去. 1? t 3

(2)根据题意,力F所做的功为 W ? 1 x 2dx ? 2 (x ? 1)dx ? ?0 ?1
1 31 1 2 17 2 x |0 ?( x ? x) |1 ? (J). 3 2 6 17 J 答案: 6

【规律方法】定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t), 那么从时刻 t=a到t=b所经过的路程s= v(t)dt. ?
b b a

(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向 从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W= ? F(x)dx.
a

【变式训练】物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动,物体B

在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A
同向运动,出发后,物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )

A.3

B.4

C.5

D.6
t 0

【解析】选C.由题意知

?

t

0

(3t 2 ? 1)dt ? ? 10tdt ? 5,

t t 即 (t 3 ? t) |0 ? 5t 2 |0 ?5. 解得t=5.

【加固训练】一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3

(m/s)运动.求:
(1)在t=4 s的位置.

(2)在t=4 s内运动的路程.
【解析】(1)在时刻t=4时该质点的位臵为
1 3 4 2 2 4 = (m), (t ? 4t ? 3)dt ? ( t ? 2t ? 3t) | 0 ?0 3 3 4 即在t=4 s该质点距出发点 m. 3
4

(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1]及[3,4]

上的v(t)≥0,在区间[1,3]上,v(t)≤0,
所以t=4 s时的路程为

s=

?

1

0

(t 2 ? 4t+3)dt+ | ? (t 2 ? 4t+3)dt | +? (t 2 ? 4t+3)dt
1 3

3

4

1 3 4 4 4 + + =4(m), 3 3 3

3 2 3 4 = ( t 3 ? 2t 2+3t) |1 3t) |1 | +( t 3 ? 2t 2+3t) |3 ? 0 + | ( t ? 2t +

1 3

1 3

即质点在4 s内运动的路程为4 m.

考点2

利用定积分计算平面图形的面积

知·考情
利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个 重要考向;常与解析几何、概率交汇命题,主要以选择题、填空题的 形式出现,属中低档题.

明·角度 命题角度1:求平面图形的面积或根据面积求参数 【典例2】(2015·青岛模拟)由曲线xy=1,直线y=x,x=3所围成的封

闭平面图形的面积为(
A. 32
9

)

B.4-ln 3

C.4+ln 3

D.2-ln 3

【解题提示】画出平面图形,根据图形确定积分的上、下限及被积函

数.

【规范解答】选B.由曲线xy=1,直线y=x,x=3所围成的封闭的平面图

形如图所示:

x ? ?1, ? xy ? 1, ? x ? 1, 得 ? 或 ? ? 舍 ?. ? y ? x, y ? 1 ? ? ? y ? ?1 y ? x, ? x ? 3, 由? 得 ? ? x ? 3, ? ? y ? 3.

由?

3 故阴影部分的面积为 ? (x ? 1 )dx ? ( 1 x 2 ? ln x)|1 ? 4 ? ln 3. 1 3

x

2

命题角度2:与概率综合应用

【典例3】(2014·福建高考)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)
的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .

【解题提示】本题考查了互为反函数的两个函数在图象上的性质 ,利 用对称性,将问题化为可利用定积分求解面积的问题 .

【规范解答】y=ex和y=ln x互为反函数,不妨将样本空间缩小到左上
方的三角形,

则 P ? S? ? S△
答案:22
e

?

1

0

(e ? e x )dx 1 2 e 2

(ex ? e x ) |1 2 0 ? ? 2. 1 2 e e 2

【易错警示】解答本题有两点容易出错 (1)不清楚两个阴影部分面积相等导致错解. (2)对积分上、下限确定错误.

悟·技法
1.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形. (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和. (4)计算定积分,写出答案. 2.根据平面图形的面积求参数的求解策略 先利用定积分求出平面图形的面积,再据条件构建方程 (不等式)求解.

通·一类

1.(2015·莆田模拟)如图,由函数f(x)=ex-e的图象,直线x=2及x轴所
围成的阴影部分面积等于( A.e2-2e-1 B.e2-2e
2 e C. ? e 2

)

D.e2-2e+1

【解析】选B.由已知得S=
? (e2 ? 2e) ? (e ? e) ? e2 ? 2e.

?

2

1

2 f (x)dx ? ? (e x ? e)dx ? (e x ? ex) |1 1

2

2.(2015·合肥模拟)由曲线f(x)= x 与y轴及直线y=m(m>0)围成的图

形的面积为 8 ,则m的值为(
3

)
C.1 D.8

A.2

B.3

【解析】选A.S=
解得m=2.

?

m2

0

2 3 2 8 m2 (m ? x )dx ? (mx ? x 2 ) |0 ? m3 ? m3 ? , 3 3 3

3.(2015·北京模拟)如图,圆O:x2+y2=π 2内的正弦曲线y=sin x与x轴 围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在 区域M内的概率是 .

? 【解析】阴影部分的面积为 2? sin xdx ? 2(?cos x) |0 ? 4, 圆的面积为 ?3, 0

?

所以点A落在区域M内的概率是 4 . 3 答案: 4
? ?3

自我纠错7

利用定积分求平面图形的面积
4

【典例】(2015·太原模拟)如图,由两条曲线y=-x2,y= ? 1 x2及直线 y=-1所围成的平面图形的面积为___.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在把平面图形的下边界搞错了,误认为y=-x2是 平面图形的下边界而导致失误.

【规避策略】

1.当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象时,可在交点处作x轴
的垂线,从而确定积分上下限,分段求面积.

2.被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减去下边
界的函数解析式.

? y ? ? x 2, 【自我矫正】由 ? 得交点A(-1,-1),B(1,-1). y ? ?1, ? 1 2 ? y ? ? x, 由? 4 得交点C(-2,-1),D(2,-1). ? ? , ? y ? ?1 所以所求面积 S ? 2[ 1 (? 1 x 2+x 2 )dx+ 2 (? 1 x 2+1)dx] ? 4 . ?0 4 ?1 4 3 答案:4 3


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