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合肥一中2013届理科数学二轮复习专题讲义专题三:概率与统计(教师版)


合肥一中 2013 届理科数学二轮复习专题讲义 专题三:概率与统计
编写:余雪梅 一、高考回顾
1、 (2010 安徽理-17)某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区,B 肯定 是受 A 感染的.对于 C,因为难以判定他是受 A 还是受 B 感染的, 于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 同样也假设 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是

1 . 2

1 .在这种假定之下,B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一 3

个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程) ,并求 X 的均值(即数学期望). 解:随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3

1 1 3 2 1 1 1 11 X 的均值为 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 6 6
附:X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

P

1 6

1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

在情形①和②之下,A 直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A 直接感染了两个人;在情形⑥之下, A 直接感染了三个人. 2、 (2010 安徽理-21)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再 让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离 程度的高低为其评为. 现设 n ? 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号, 并令 X ? 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. (1)写出 X 的可能值集合; (2)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (3)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(2)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由. 3、 (2011 安徽理-20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且 每个人只派一次, 工作时间不超过 10 分钟, 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出, 再派下一个人. 现在一共只有甲、 丙三个人可派, 乙、 他们各自能完成任务的概率分别 p? , p? , p? p? , p? , p? , 假设 p? , p? , p? 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立. (1)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺 序,任务能被完成的概率是否发生变化? (2) 若按某指定顺序派人, 这三个人各自能完成任务的概率依次为 q? , q? , q? , 其中 q? , q? , q? 是 p? , p? , p? 的 一个排列,求所需派出人员数目 X 的分布列和均值(数字期望) EX ; (3)假定 ? ? p? ? p? ? p? ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字 期望)达到最小.
1

4、 (2012 安徽理-17)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使 用后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是 B 类型 试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有 n ? m 道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类试题的数量. (1)求 X ? n ? 2 的概率; (2)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解析: (1) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (2) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

n n ?1 ? m?n m?n?2

1 2

P( X ? n) ? (1 ? p ) 2 ?
X

1 1 1 2 , P ( X ? n ? 1) ? 2 p (1 ? p ) ? , P ( X ? n ? 2) ? p ? 4 2 4 n n ?1 n?2 1 4 1 2 1 4

P

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4 n n ?1 ? (1) X ? n ? 2 的概率为 m?n m?n?2 (2)求 X 的均值为 n ? 1
2

二、题型示例 《考试说明》 (2013 版)中有以下例题:
1、P139 例 4(2011 湖北) 2、P147 例 27(2011 湖南) 3、P148 例 28(2011 四川) 4、P149 例 29(2011 广东) 5、P158 例 4 (2010 课标) 6、P158 例 5(2010 安徽) 7、P161 例 6(2011 安徽)

三、经典例题
1、有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如 下的列联表. 优秀 10 非优秀 30 总计

105 2 已知在全部 105 人中抽到随机 1 人为优秀的概率为7. (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两 次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 或 10 号的概率. 解析: (1) 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 (2)根据列联表中的数据,得到 2 105×? 10×30-20×45? 2 K= ≈6.109>3.841, 55×50×30×75 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y) . 所有的基本事件有(1,1)(1,2) , ,?, (6,6)共 36 个.事件 A 包含的基本事件有: (1,5)(2,4) , , 8 2 (3,3)(4,2)(5,1)(4,6)(5,5)(6,4) , , , , , ,共 8 个,故 P(A)=36=9. 2、某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩 在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部 分(如图) ,已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中 成绩不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; ... 解析: (1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, 7 ∴此次测试总人数为0.14=50(人) . ∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为 (0.28+0.30+0.14)×50=36(人) . 7? 14 7 ? (2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为50=25,∴X~B?2,25?. ? ?
3

甲班 乙班 合计

P(X=0)=?25?2=625, ? ? P(X=1)=C1?25??25?=625, 2? ?? ? P(X=2)=?25?2=625. ? ?
所求分布列为 1 2 252 49 P 625 625 324 252 49 14 E(X)=0×625+1×625+2×625=25. 3、某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从 2011 级的年龄在 18~19 岁之间的大学生 中随机抽取了一自南方和北方的大学生各 10 名,测量他们的身高,量出的身高如下(单位:cm) 南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163 北方:183,173,169,163,179,171,157,175,178,166 (1)根据抽测结果,画出茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对来自南方和北方的大学生的身高作比较, 写出两个统计结论. (2) 设抽测的 10 名南方大学生的平均身高为 x ,将 10 名同学的身高依次输入按程序框图进行运算,问输出 的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义. (3)若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的大学生中随机抽取 3 名同学,记其中身高不低于平均 身高的同学的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX(均值) . 解析: (1)茎叶图如右图(2 分)统计结论: (给出下述四个供参考,考生只要答对其中两 个即给满分,给出其他合理的答案也可给分)①北方大学生的平均身高大于南方大学生的 平均身高. ②南方大学生身高比北方大学生的身高更整齐;③南方大学生的身高的中位数为 169.5cm,北方大学生的身高的中位数是 172cm.④南方大学生的高度基本上是对称的,而 且大多数集中在均值附近,北方大学生的高度分布较为分散. 分) (4 (2) x ? 169 , S ? 42.6 (6 分) S 表示 10 位南方大学生身高的方差,是描述身高离 , 散程度的量. S 值越小,表示身高越整齐, S 值越大,表示身高参差不齐. 分) (8 (3)记“抽取一位同学恰好抽中身高不低于平均身高的同学”为事件 A,由(2)知来自南 方的大学生平均身高为 169cm,故 P?A? ?
3 k? 3? ? 2 ? 且 X ? B(3, ) .所以 P?X ? k ? ? C3 ? ? ? ? 5
?5? ?5?
k

?18?

324

? 7 ??18? 252
49

?7?

X

0 324 625

6 3 ? . 分) (9 ,随机变量 10 5

X 的可能取值为 0,1,2,3, X P
0
8 125

3? k

?k ? 0,1,2,3? ,
) (14 分)

1
36 125

2
54 125

3
27 125

所以变量 X 的分布列为(见右表格)
? EX ? 0 ? 8 36 54 27 9 3 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? (或 EX ? np ? 3 ? ? 125 125 125 125 5 5 5

4、 (2012 陕西)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从 这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如图所示:

4

(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率. 5+20 1 解析: (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 100 =4,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于 1 200 小时的概率为4. (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品共有 75+70=145(个) ,其中甲品牌产品是 75 个,所以在 75 15 样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是145=29,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时 15 的该产品是甲品牌的概率为29. 5、一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 A= a1

a2

a3

a4

a5 ,其中 A 的各位数字

1 2 中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为3,ak(k=2,3,4,5)出现 1 的概率为3,记 X=a1+a2+a3+

a4+a5(例如:A=10001,其中 a1=a5=1,a2=a3=a4=0,且 X=2) .当启动仪器一次时, (1)求 X=3 的概率; (2)求当 X 为何值时,其概率最大.

?1? ?2? 8 解析: (1)由题意得:P(X=3)=C2?3?2?3?2=27. 4? ? ? ? ?1? 1 ?2? ?1? 8 (2)P(X=1)=C0?3?4=81,P(X=2)=C1?3?1?3?3=81, 4? ? 4? ? ? ?
P(X=3)=81,P(X=4)=C3?3??3?3=81,P(X=5)=C4?3?4=81, 4? ?? ? 4? ?
32 24

?1??2?

32

?2?

16

X=4 的概率最大,最大值为81.
注:如果 x~B(n,p) ,其中 0<p<1,那么使 P(x=k)取得最大值时的 k 值满足 p(n+1)-1≤k≤p(n P? x=k? P? x=k? +1) .这是因为当 P ( x = k )取得最大值时,要同时满足 P? x=k-1? ≥1, P? x=k+1? ≥1,即 n! k k n-k k k n-k k!? n-k? !p Cnp ? 1-p? Cnp ? 1-p? k-1 k-1 n-k+1 ≥ 1 , k+1 k+1 n-k-1 ≥ 1 , 即 ≥1, Cn p ? 1-p? Cn p ? 1-p? n! ? 1-p? ? k-1? !? n-k+1? ! n! k!? n-k? !? 1-p? ? n-k+1? p ? k+1? ? 1-p? ≥1,即 k? 1-p? ≥1, ≥1,即 k≤p(n+1) k≥p(n , n! ? n-k? p ? k+1? !? n-k-1? !p +1)-1,即 p(n+1)-1≤k≤p(n+1) ,所以当(n+1)p 为正整数时有两个 k 值.本题中的 k 值满 2 10 足3×5-1≤k≤ 3 ,即 k=3,但ξ =k+1,故ξ =4 时其概率最大. 6、在1,2,3,4,5的所有排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中, (1)求满足 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 的概率; (2)记 ? 为某一排列中满足 ai ? i ? i ? 1, 2,3, 4,5 ? 的个数,求 ? 的分布列和数学期望.
5 解析: (1)所有的排列种数有 A5 ? 120 个.满足 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 的排列中,若 a1 , a3 , a5 取

集合 ?1, 2,3? 中的元素, a2 , a4 取集合 ?4,5? 中的元素,都符合要求,有 A3 A2 ? 12 个.若 a1 , a3 , a5 取集合
3 2

?1, 2, 4? 中的元素, a2 , a4 取集合 ?3,5? 中的元素,这时符合要求的排列只有 1,3, 2,5, 4 ; 2,3,1,5, 4 ;
4,5,1,3, 2 ; 4,5, 2,3,1 共4个.
故满足 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 的概率 P ?
5
3 2 A3 A2 ? 4 2 ? .????7分 5 A5 15

(2)随机变量 ? 可以取 0,1, 2,3,5 .

P ?? ? 5 ? ?

3 1 1 C5 2C52 1 1 ? , P ?? ? 3? ? 5 ? , P ?? ? 2 ? ? 5 ? , 5 A5 120 A5 12 A5 6 1 3 1 9C5 3 1 ? C5 ? 2C52 ? 9C5 11 ? , P ?? ? 0 ? ? 1 ? ? .????12分 5 5 A5 8 A5 30

P ?? ? 1? ?

?
P

故 ? 的分布列为 0 1

2

3

5

11 30

3 8

1 6

1 12

1 120

? 的数学期望 E? ? 0 ?

11 3 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 1 .????14分 30 8 6 12 120

6


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