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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(复习卷)


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绝密★启用前

2016-2017 学年度???学校 8 月月考卷

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是 ( ① ? // ? ? l ? m ③ l // m ? ? ? ? A.②④ B. ②③④ ② ? ? ? ? l // m ④ l ? m ? ? // ? C. ①③ D. ①②③ )

)

2.设 a,b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 a∥α ,α ⊥β ,则 a∥β B.若 a∥b,a⊥β ,则 b⊥β C.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b D.若 a⊥b,a∥α ,则 b⊥α 3.空间四点最多可确定平面的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 m∥? , n∥? ,则 m∥ n C.若 ? ? ? ? m, n ? ? ,则 n ? ? B.若 ?∥? , m ? ? , n ? ? ,则 m∥ n D.若 m ? ? , m∥n, n ? ? ,则 ? ? ? )

5.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b ,b ∥ c , 则 a ∥ c ; ②若 a ⊥ b ,b ⊥ c , 则a⊥c; ③若 a ∥ y ,b ∥ y , 则 a ∥b ; ④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b .其中正确命题的序号是( A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ )

1 ? 2 AB ,则异面直线 A 1 B与AD 1 所成角的余 6.正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA

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弦值为( )

1 A. 5

2 B. 5

3 C. 5

4 D. 5


7. 如图, 在正方体 ABCD ? A 异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为 ( 1B 1C1 D 1 中,
D1 A1 B1 C1

D A B
?

C

A. 30

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

8.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: (1)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; (2)若 m ? ?

? ,n ? ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ? ,则 l // ? ;

(3)若 ? // ? , l ? ?

(4)若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l // ? ,则 m // n . 其中正确的命题是( A、 (1) (3) C、 (2) (4) ) B、 (2) (3) D、 (3) (4)

9.如下图左是正方体的侧面展开图,l1 、l 2 是两条侧面对角线,则在正方体中,l1 与 l 2 ( )

l1
l2
A.互相平行 C.异面且互相垂直

? 3 ? D.异面且夹角为 3
B.相交且夹角为

10.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,F 为 AD 的中点。那么异面直线 B1C 和 FD1 所成的角 ( )

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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A.30° B. arccos

C. 60° D. 90°

10 10

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.沿对角线 AC 将正方形 A B C D 折成直二面角后,A B 与 C D 所在的直线所成的角等 于 . 12.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 , AA 1 ? 2, AC ? BC ? 1 ,则异
0

AC 所成角的余弦值是____________. 面直线 A 1B 与

13.已知直线 a , b 和平面 ? ,且 a ? b, a ? ? ,则 b 与 ? 的位置关系是

.

14.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M∈AB1,N∈BC1,且 AM=BN≠ 2 ,有 以下四个结论:

①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面 A1B1C1D1;④MN 与 A1C1 是异面直线.其中正确命题 的序号是________.(注:把你认为正确命题的序号都填上) 15.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 是分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,则 A1B 与 EF 所成 角的大小为______. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 16. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 ,点 D 是 AB 的中 点.四面体 B1 ? BCD 的体积是 2 ,求异面直线 DB1 与 CC1 所成的角.

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C1 B1 A1

C A D

B

17.如图,在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB 和 CB 上的点, G , H 分别是 CD 和 AD 上的点,且 于同一点.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

AE CF AH CG ? ? 1,?? ? ? 2 ,求证: EH , BD, FG 三条直线相交 EB FB HD GD
A

E B F C

H G

D

18.已知圆锥母线长为 6,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点, AB 是底面圆 的直径,底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小等于 ? .
P

M

A

O

B

(1)当 ? ? 60? 时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2)当三棱锥 M ? ACO 的体积最大时,求 ? 的值. 19.如图(1) , ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点,将 ?AEF 沿 EF 折起,使 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点,得到 图(2) . (Ⅰ)求证: EF ? A?C ; (Ⅱ)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:对①,由 l ? 平面 ? , ? / / ? ? l ? ? ,又 m ? ? ,因此有 l ? m ,①正确, ②错误, 直线 l 与平面 ? 的关系不确定, 因此 l 与 m 的关系也不确定, ③由 l // m 可得 m ? ? , 因此 ? ? ? ,③正确,④由已知平面 ? 与 ? 的位置关系不确定,因此填空①③. 考点:直线与平面的位置关系. 2.B 【解析】 试题分析:对 A. 若 a 与 β 相交、垂直或 a∥β 都 有可能. B 显然成立.对 C.a、b 平行、 相交或异面都有可能.对 D. b∥α 或 b⊥α 都有可能. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 3.D 【解析】 试题分析: 当四点确定的两条直线异面时, 四点不共面, 此时空间四点确定的平面个数最多, 如三棱锥的顶点和底面上的顶点,这四个点确定 4 个平面,故选 D. 考点:平面的基本性质公理 2 及推论. 4.D 【解析】若 m∥? , n∥? , 则直线 m, n 可以是平行,相交,异面,所以 A 不正确 . 若

?∥? , m ? ? , n ? ? ,则直线 m, n 可以是平行或异面,所以 B 不正确.C 选项显然不正确.
所以选 D. 【考点】1.线面的位置关系.2.空间想象能力. 5.C 【解析】 试题分析:平行有传递性,公理四:平行于同一条直线的两条直线平行,故①正确;垂直于 同一条直线的两条直线的位置关系为平行,异面,相交都用可能,故②不正确;平行于同一 个平面的两条直线的位置关系为平行,相交,异面,故③不正确;垂直于同一个平面的两条 直线平行,故④正确.故选 C. 考点:线线关系的判定 6.D 【解析】 试题分析:如图,连接 A1C1 , BC1 ,在正四棱柱中, AD1 ∥ BC1 ,所以 ?A1 BC1 为异面直线

AD1 , A1 B 所 成 角 . 设 AB ? 1 , 则 AA1 ? 2 , 所 以 在 ?A1 BC1 中 ,
A1 B ? BC1 ? 5, A1C1 ? 2 ,根据余弦定理有 cos ?A1 BC1 ?
4 . 5

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D1 A1 B1

C1

D A B

C

考点:异面直线成角,余弦定理. 7.C 【解析】 试题分析:如图,连接 A1 B 、 DB ,异面直线 A1D 与 D1C 所成的角即为 ?BA1D ,由正方
0 体可知 A 1B ? DB ? A 1D ,所以 ?BA 1D ? 60 .

考点:异面直线所成的角. 8.D 【解析】 试题分析: (1)不正确,面 ? , ? 可能相交。 (2)不正确,当直线 m, n 平行时,? , ? 还可能 相交;根据面面平行的判定定理只有当 m, n 相交时, ? // ? 。 (3)正确,根据面面平行定 义可知 l 与 ? 无公共点, 即可知 l // ? 。 (4) 正确, 因为 ? ? ? ? l , 可知 l ? ? , 又因为 l // ? ,

? ? ? ? n ,则 m // n 。综上可得 D 正确。
考点:1 线面位置关系、面面位置关系;2 线面平行、面面平行的判定;3 线面平行的性质 定理。 9.B 【解析】解:因为正方体的侧面展开图, l1 、 l 2 是两条侧面对角线,则在正方体中, l1 与 l 2 相交且夹角为 10. B
答案第 2 页,总 7 页

? ,选 B 3

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【解析】如图:在正方形 A1ADD1 中.作 D1M//A1D.所以 A1D 与 D1F 所成的角为 ?FD1M .

由余弦定理得 cos ?FD1M =

FD12 ? D1M 2 ? FM 2 . 2FD1 ? D1M
10 . B1C 平行 A 1D . 10

代入数据得由余弦定理得 cos ?FD1M =

所以 B1C 和 FD1 所成的角为 arccos 故答案选 B.

10 . 10

11. 60 0 . 【解析】

试题分析:

?

如图建立空

间直角坐标系,设 OA ? OB ? OC ? OD ? 1 , 则 A(0, ?1,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1) ,

? ( 1 , 1 ,C ? 0D ) ?, 所 以 A B

?

?

| AB? CD | 1 1 ( 0此 , c 1o ,s 1 )? , 因 , 且 ? ? ? ? ? 2? 2 2 | AB || CD |

?

?

? ? (00 ,900 ] ,所以 ? ? 600 .
考点:直二面角的定义,异面直线所成角的求法. 12.

6 6
答案第 3 页,总 7 页

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【解析】 试题分析:由于 AC ∥ AC 1 1 ,所以 ?BAC 1 1 (或其补角)就是所求异面直线所成的角,在

?BAC 1 1 ? 1 1 ? 1 , BC1 ? 5 , cos ?BAC 1 1 中, A 1B ? 6 , AC
考点:异面直线所成的角. 13. b // ? 或 b ? ? 【解析】

6 ?1? 5 6 . ? 2 6 ?1 6

试题分析: 因为 a ? b, a ? ? , 由线面位置关系可知,b 与 ? 的位置关系是 b / /? 或 b ? ? . 考点:线面位置关系、空间想象能力. 14.①③ 【解析】过 N 作 NP⊥BB1 于点 P,连接 MP,可证 AA1⊥平面 MNP,得 AA1⊥MN,①正确;过 M, N 分别作 MR⊥A1B1,NS⊥B1C1 于点 R,S,则当 M 不是 AB1 的中点,N 不是 BC1 的中点时,直线 A1C1 与直线 RS 相交;当 M,N 分别是 AB1,BC1 的中点时,A1C1∥RS,所以 A1C1 与 MN 可以异面, 也可以平行, 故②④错误; 由①正确知, AA1⊥平面 MNP,而 AA1⊥平面 A1B1C1D1,所以平面 MNP ∥平面 A1B1C1D1,故③正确. 15.

? 3

【解析】解:如图,将 EF 平移到 A1B1,再平移到 AC, 则∠B1AC 为异面直线 AB1 与 EF 所成的角 三角形 B1AC 为等边三角形, 故异面直线 AB1 与 EF 所成的角 60°, 16. arctan 【解析】 试题分析:因为 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 ,所以三角形 ABC 是直角三角形.又由直三棱柱

5 4

ABC ? A1B1C1 ,四面体 B1 ? BCD 的体积是 2 . 所以可解得 B1B ? 2 . 又异面直线 DB1 与 CC1 所成的角即 DB1 与 B1B 所成的角.即可解得.
试题解析:直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 CC1 / / BB1 所以 ?DB1B 为异面直线 DB1 与 CC1 所成的角(或其补角) 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 3分

1 1 1 3 VB1 ? BCD ? S ?BCD ? B1 B ? ? ? 4 ? B1 B ? 2 得 B1B ? 2 3 3 2 2

7分

答案第 4 页,总 7 页

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C1 B1 A1

C A D

B

由点 D 是 AB 的中点得 DB ?

5 2

直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 B1B ? BD

5 BD 2 5 ? ? Rt ?B1BD 中 tan ?DB1 B ? B1 B 2 4
5 4 41 ) (或 ?DB1 B ? arccos 4 41 5 4 41 ) 所以异面直线 DB1 与 BC1 所成的角为 arctan (或 arccos 4 41
所以 ?DB1 B ? arctan 考点:1.异面直线所成的角.2.三棱锥的体积.3.解三角形知识. 17.证明过程详见试题解析. 【解析】 试题分析:要证明三线共点,先证明两条直线 EH ? FG ? O ,再证明第三条直线 BD 也经 过点 O 即可. 试题解析:连接 EF、GH,因为

12 分

AE CF AH CG ? ? 1,?? ? ?2 EB FB HD GD
2分 3分 4分 6分 8分 10 分[ 12 分

所以 EF / / AC, HG / / AC, 且 EF ? AC 所以 EH , FG 共面,且 EH 与FG 不平行, 不妨设 EH ? FG ? O 则 O ? EH , EH ? 面ABD, 所以O ? 面ABD ;

因为O ? FG, FG ? 面BCD, 所以O ? 面BCD
又因为 ABD ? BCD ? BD, 所以O ? BD 所以 EH , BD, FG 三条直线相交于同一点 O. 考点:直线之间的位置关系、空间想象能力.

arccos
18. (1)

65 185 arccos 13 或 37 , (2) ? ? 90? .
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【解析】 试题分析: (1)求异面直线所成角,关键在平移,即将空间角转化为平面角.利用中位线实 现线线之间平移. 连 MO ,过 M 作 MD ? AO ,则? MD / / PO ? ?DMC 等于异面直线

MC 与 PO 所成的角或其补角.又 MO / / PB , 所以 ?MOC 为异面直线 OC 与 PB 所成的角或
其补角.明确角之后, 只需在相应三角形中求解即可. (2) 因为三棱锥 M ? ACO 的高确定, 所以要使得三棱锥 M ? ACO 的体积最大只要底面积 ?OCA 的面积最大.而 ?OCA 的两边 确定为半径,因此要使得 ?OCA 的面积最大,只需两半径夹角的正弦值最大,也即为直角. 试题解析:解: (1) 连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC .
P

M

A

D C

O

B

又 PO ? 6 ? 4 ? 2 5 ,? MD ? 5 .又 OC ? 4,OM ? 3 .
2 2

? MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角.

? MO / / PB ,? ?MOC ? 60? 或 120? .
当 ?MOC ? 60? 时,? MC ? 13 .

5分

?

cos ?DMC ?

MD 65 65 ? ?DMC ? arccos MC 13 ,? 13

当 ?MOC ? 120? 时 , ?

MC ? 37 . ?

cos ?DMC ?

MD 185 ? MC 37 , ?

?DMC ? arccos

185 37 arccos 65 185 arccos 13 或 37 .

综上异面直线 MC 与 PO 所成的角等于

8分

答案第 6 页,总 7 页

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(2)? 三棱锥 M ? ACO 的高为 MD 且长为 5 ,要使得三棱锥 M ? ACO 的体积最大只 要底面积 ?OCA 的面积最大.而当 OC ? OA 时, ?OCA 的面积最大. 又 OC ? OP ,此时 OC ? 平面PAB ,? OC ? PB , ? ? 90? 12 分 10 分

考点:异面直线所成角 19.见解析. 【解析】本小题主要考查线线垂直及几何体的体积,考查学生的空间想象能力. (Ⅰ)证法一:在 ?ABC 中,EF 是等腰直角 ?ABC 的中位线, 在四棱锥 A’-BCEF 中, EF ? A ' E , EF ? EC ,

EF ? AC

……………2 分 Ks5uv…4 分 …………6 分 …………2 分

EF ? 平面 A ' EC , 又 A ' C ? 平面 A ' EC , EF ? A ' C 证法二:同证法一 EF ? EC EF ? 平面 A ' EC , EF ? A ' O 又 A ' C ? 平面 A ' EC , EF ? A ' C
(Ⅱ)在直角梯形 EFBC 中,

………4 分 ……………………6 分

EC ? 2, BC ? 4,? S?FBC ?

1 BC ?EC ? 4 , 2

……8 分 ……10 分

又 A ' O 垂直平分 EC, A ' O ?

A ' E 2 ? EO2 ? 3

? 三棱锥 F-A’BC 的体积为:

1 1 4 3 VF ? A ' BC ? VA '? FBC ? S?FBC ?A ' O ? ?4 ? 3 ? 3 3 3

………12 分

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