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北京市陈经纶中学高二数学第一学期期中试卷(理科附答案)


期中统练

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每 小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题 p : 若 x ? 10 ,则 x ? 1 ,那么命题 p 的逆否命题为 A. 若 x ? 10 ,则 x ? 1 C. 若 x ? 1 ,则 x ? 10 2.下列四个命题中,正确的是 A.与同一个

平面平行的两条直线平行 B.垂直于同一条直线的两个平面平行 C. 垂直于同一个平面的两个平面平行 D. 与同一直线平行的两个平面平行 3.一个几何体的三视图如图所示, 则此 几何体的体积是 (A) 112 (B) 80 (C) 72 (D) 64 3 B. 若 x ? 1 ,则 x ? 10 D. 若 x ? 10 ,则 x ? 1

4 正视图 侧视图

4 4 俯视图

4.已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0, l2 : x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 之间的距离为 A.1 B. 2 C.
3

D. 2

5.点 P(2,3) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点的坐标是
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A. (?3, ?2) 6.“ a ?

B. (?4, ?3)

C. (?2, ?3)

D. (?3, ?4)

1 ”是“直线 ax ? y ? 4 ? 0 与直线 x ? 2 y ? m ? 0 平行”的 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.必要而不充分条件

7. 已知命题“ (?p) ? (?q) ”是假命题,给出下列四个结论: ① 命题“ p ? q ”是真命题; ③ 命题“ p ? q ”是真命题; 其中正确的结论为 A.①、③ B.②、③ 8.若直线 kx ? y ? 4k ? 0 与曲线 y ? 值范围是 A. ? ? ② 命题“ p ? q ”是假命题; ④ 命题“ p ? q ”是假命题

C.①、④

D.②、④

4 ? x 2 有公共的点,则实数 k 的取
? 1 ? ,0 ? 2 ? ?
3 ? , 0? 3 ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ? D. ? ?

C. ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

? ?

9.已知三棱锥 D ? ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB ? AC ? 3 ,

BC ? 2 ,则二面角 A ? BC ? D 的大小是
A. 45
?

B. 60

?

C. 90

?

D. 120

?

10. 某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影 是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别 是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11、过点 P(2,0)与圆 x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 相交的所有直线中,被圆截得的
2 2

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弦最长时的直线方程是

.

12. 直 线 x ? 2 y ? 5? 0与 圆 x2 ? y 2 ? 8 相 交 于 A 、 B 两 点 , 则

?AB ??

.

13.如图是一个几何体的三视图,根据 图中数据,可得该几何体的表面积是

14. 直 三 棱 柱 ABC? A B C的 各 顶 1 1 1 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于 。

15. 若 点 P 在 直 线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上 , 过 点 P 的 直 线 l 2 与 曲 线

C : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 只 有 一 个 公 共 点 M , 则 PM 的 最 小 值 为
__________. 16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为 两 点

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之 间 的 “ 折 线 距 离 ” . 则 坐 标 原 点 O 与 直 线
2 2 上一点的 “折线距离” 的最小值是____; x ? y ? 1上 圆 2x ? y ? 2 5? 0

一点与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值是____. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17. (本小题满分 8 分) 已知直线 l 过点 (2,1) 和点 (4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于 (0, 3) 点,求圆 C 的 方程.

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18.(本小题 8 分) 正 方 体 A B C D A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 ?

2 ,O 是 AC 与 BD 的 交点, E 为 BB1
的中点. (Ⅰ)求证:直线 B1D ∥平面 AEC ; (Ⅱ)求 证: B1 D ? 平面 D1 AC ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? D1OC 的体积.
A1

D1

C1

B1

E D O A B C

19.(本小题 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和 圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方 程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线

l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。
20. (本小题 10 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 , 底面 ABCD 为直角梯形, 其中 BC∥AD, P AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中 点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; A (Ⅱ) 求异面直线 PA 与 CD 所成角的大 D O 小; (Ⅲ)线段 AD 上是否存在点 Q,使得 B C 它到平面 PCD 的距离为 求出

3 ?若存在, 2

AQ 的值;若不存在,请说明理由. QD
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高二数学期中

答题卡

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 学号 11. 14. 封 线 内 请 不 要 答 题 三、解答题 17. (本小题满分 8 分) ;12. ;15. ;16. ;13. , ; .

姓名 班级



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18. (本小题满分 8 分)

D1

C1

A1

B1

E D O A B C

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19. (本小题满分 10 分)

学号 班级 密 封 线 内 请 不 要 答 题 姓名

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20. (本小题满分 10 分)

P

A O B C

D

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高二数学期中

答题卡

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C B B 2 3
;15. 4

B

B
;13.

C 12π

A

D


C

C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 学号 11.x-2y-2=0;12.

14. 密 封 线 内 请 不 要 答 题

20?

;16.

5,

5 2

.

17. (本小题满分 8 分) 已知直线 l 过点 (2,1) 和点 (4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于 (0, 3) 点,求 圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)由已知得,直线 l 的斜率 k ? 分 所以,直线 l 的方程为 y ? 1 ? x ? 2 即 x ? y ?1 ? 0 . ?????4 分 (Ⅱ)因为圆 C 的圆心在直线 l 上,可设圆心坐标为 (a, a ? 1) , 又因为圆 C 与 y 轴相切于 (0,3) 点,所以圆心在直线 y ? 3 上, 所以, a ? 1 ? 3 ,即 a ? 4 , ??????6 分
3 ?1 ? 1, 4?2

姓名

????2

班级

3 ) 所 以 , 圆 心 坐 标 为 ( 4 ,, 半 径 为

4, 所

??????7 分 以 , 圆
C









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?????8 分 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 . 18. (本小题满分 8 分) 正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长为 2 , O 是 AC 与 BD D1 的 交点, E 为 BB1 的中点. (Ⅰ)求证:直线 B1D ∥平面 AEC ;(3 分) (Ⅱ)求 证: B1 D ? 平面 D1 AC ; 分) (3 (Ⅲ)求三棱锥 D ? D1OC 的体积. 分) (2 略解: (Ⅰ)连结 OE 易证 OE// B1D 又因为 B1D ? 平面 AEC 所以直线 B1D ∥平面 AEC ; (Ⅱ)用三垂线定理证明 B1 D ? AC 同理证明 B1 D ? AD1 又因为 AC ? AD1 =A 所以 B1 D ? 平面 D1 AC ; (Ⅲ) VD ? D1OC ? VD1 DOC ?
2 3
A D O B A1 C1

B1

E C

19.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆
C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .

(1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦 长为 2 3 ,求直线 l 的方程; 分) (5 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 , 它们分别与

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圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 分) (5 解 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0
2 3 2 ) ? 1, 2

由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:
| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1 7 化简得: 24k 2 ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ? 24 ? 1,

求直线 l 的方程为: y?0 或 y??

7 x ? 24 y ? 28 ? 0 (2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为: 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) , 即 : k 1 1 kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k 因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,

7 ( x ? 4) , 即 y ? 0 或 24

两圆半径相等。 由垂径定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |
k 2 ?1 4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 关于 k 的方程有无穷多解,有: ? ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0
解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。
2 2
2 2

20. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD ⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其
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中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; 分) (3 (Ⅱ) 求异面直线 PA 与 CD 所成角的大小; (3 分) (Ⅲ)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它 到平面 PCD 的距离为

3 2

?若存在,求出

AQ 的值;若不存在,请说明理由.(4 分) QD 解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平 面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ) 连结 BO, 在直角梯形 ABCD 中、 BC∥AD, AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边 形, 所以 OB∥DC. 取 PD 得中点 N,连结 ON 所以∠NBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 13 1 14 1 2 , ON ? AP ? BN ? ? ? 2 2 4 4 2 2 2 2 OB ? ON ? BN 1 ?? 所以 cos∠NBO ? 2OB ? ON 2 ? 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 3 3 (Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 . 2 1 设 QD=x,则 S ?DQC ? x ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 2
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在 Rt△POC 中, PC ? OC 2 ? OP2 ? 2, 所以 PC=CD=DP, S?PCD ?
3 3 ? 2)2 ? ( , 4 2

1 3 由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 AQ ? , QD ? ,所以存在点 Q 满足题意, 2 2 AQ 1 此时 ? . QD 3 解法二: (Ⅰ)同解法一. ??? ???? ??? ? ? (Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z OD OP 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意,易得 A(0,-1,0),,C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),

所以 AP ? (0,1,1) , CD ? (?1,1,0) 所以异面直线 PA 与 CD 所成的角是

? 3

3 (Ⅲ)假设存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为 , 2 ??? ? ??? ? 由(Ⅱ)知 CP ? (?1,0,1), CD ? (?1,1,0). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0). ??? ? ?n? ? 0, ?? x ? z ? 0, ? CP 则 ? ??? 所以 ? 0 0 即 x0 ? y0 ? z0 , ? ? x 0 ? y0 ? 0, n? ? 0, CD ? ? ? 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). ?????? CQ?n ??? ? 3 ? 设 Q(0, y,0)(?1 ? y ? 1), CQ ? (?1, y,0), 由 ,得 n 2
?1 ? y 3 ?
1 5 3 , 解 y=- 或 y= (舍去), 2 2 2

1 3 此时 AQ ? , QD ? ,所以存在点 Q 满足题意,此时 2 2 AQ 1 ? . QD 3

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