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3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义


3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
学习目标:理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减法运算的几何意义。 重点:理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律,准确进行加减运算,初步运用加减 法的几何意义解决简单问题。 难点:复数加减法的几何意义及其应用 阅读教材 57-59 页,解决下列问题: (一) 、温故而知新: 3、 复数几何意义 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 一一对应 复平面内的点 z ? a, b ? 一一对应 量 OZ ? ? a, b ? 。 4、回顾以前所学向量知识,作下面两个向量的和向量(平行四边形法则)与差向量(三角形法则)。
? a

对于任意的复数 z1 , z 2 , z 3 ,满足加法的交换 z1 ? z 2 ? 加法的结合律 ( z1 ? z2 ) ? z3 ?

; ;

2、复数代数形式的减法运算法则: 类比实数,规定复数的减法运算是加法运算的逆运 算,即若 z1 ? z ? z2 ,则 z 叫做 z 2 减去 z1 的 差,记作: z ? z2 ? z1 。 ①讨论:若 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,试确定 z ? z1 ? z2 是否是一个确定的值? ②复数 z1 与 z 2 的差的定义设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 则 z1 ? z2 ? 3、应用示例: 例 1:计算 ;

? 2 ? 3i ? ? ?1 ? i ?
; ;

例 2:计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

复平面内的向

4、学生自主训练: 计算: (1) ? 2 ? 4i ? ? ? 3 ? 4i ? ?

(2) 5 ? ? 3 ? 2i ? ?
(4) ? 2 ? i ? ? ? 2 ? 3i ? ? 4i ?

; .

??? ?

(3) ? ?3 ? 4i ? ? ? 2 ? i ? ? ?1 ? 5i ? ?
5、复数加法运算的几何意义

自主探究:在复平面画出复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 4 ? i 所对应的向量 oz1 , oz 2 ,并标出向量 z1 ? z2

???

??? ?

? b
(二) 、新课探究: 1、复数代数形式的加法运算法则及运算律: ① 复数 z1 与 z2 的和的定义设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 则 z1 ? z2 ? ②探究新知(运算律) : ;

(1) ?1 ? 4i ? ? ? 7 ? 2i ?

(2) ? 7 ? 2i ? ? ?1 ? 4i ?

引导: 设复数 z1 ? a ? bi ,z2 ? c ? di 在复平面上所对应的向量分别为 oz1 ,oz2 , 即 oz1 ,oz2

??? ??? ?

???

??? ?

(3) ? ?? 3 ? 3i ? ? ?1 ? i ? ? ? ? ? ?1 ? 3i ?

(4) ? 3 ? 3i ? ? ? ??1 ? i ? ? ? ?1 ? 3i ? ? ?

的坐标分别为 oz1 ? ? a, b ? ,oz2 ? ? c, d ? , 以 oz1 ,oz2 为邻边作平行四边形 oz1 zz2 , 则对角线 oz 对 应的向量是 oz ,由复数加法法则和向量加法法则可知 oz 对应的复数即为 z1 ? z2 ,这就是复数加法 的几何意义。

???

??? ?

???

??? ?

?? ?

?? ?

6、复数减法运算的几何意义: 思考,类比复数加法的几何意义,讨论复数减法的几何意义 7、课外探究,深化认识:① z1 ? z 2 8、学生自主训练: 如图的向量 OZ 对应的复数是 z ,试作出下列运算的结果对应的向量: ② z1 ? z2 ③ z ? z0 ? r 的含义。

(三) 、知能优化训练 1、 (2 ? 3i) ? ( ? 3 ? 7i)= ? 2、 (3 ? 2i) ? (2 ? i) ? (

?
)=1 ? 6i

??? ?

3、已知Z1 ? a ? bi, Z 2 ? c ? di, 若Z1 ? Z 2是纯虚数,则有 ?

?

A.a ? c ? 0且b ? d ? 0

z

z

B.a ? c ? 0且b ? d ? 0 C.a ? c ? 0且b ? d ? 0 D.a ? c ? 0且b ? d ? 0
4、 Z1 ? x ? 2i, Z 2 ? 3 ? yi ( x, y ? R)且Z1 ? Z 2 ? 5 ? 6i, 求Z1 ? Z 2 . (四) 、课堂小结: 1、复数代数形式的加法运算(运算律)及其几何意义;

?1? z ? 1

? 2? z ? i

2、复数代数形式的减法运算及其几何意义; 3、体会类比思想和数形结合思想。 (五) 、课后作业:课本 P61 习题 3.2 A 组 1、2、3 小题。

z

? 3 ? z ? ? ?2 ? i ?


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